fiches mathematiques - rappel math

François

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• Langue: Français

Extrait

        Quelques outils mathématiques nécessaires aux cours de thermodynamiques classique et statistique         avant propos    Les lois de la thermodynamique permettent d’étudier l’état d’un système 1 et de prédire son évolution lorsqu’un paramètre est volontairement ou non modifié 2 . Le système est défini par un ensemble de variables et de fonctions d’état que l'on choisit. Ces fonctions doivent cependant obéir à certaines règles pour ne pas trahir les principes 3  de fondamentaux conservation d’énergie et d’évolution (entropie) sur lesquels reposent la thermodynamique.  On pourrait ainsi écrire que l’étude thermodynamique d’un système consiste "tout simplement" à étudier une fonction, à plusieurs paramètres,f(x,y,z,…)qui doit obéir à ces principes fondamentaux.L’étude de cette fonction permet plus spécifiquement de déterminer les points particuliers (ex : min et max, point d’inflexion,…) qui nous renseignerons sur les propriétés du système, sur les relations entre les différents paramètres et sur leur évolution respective en cas de changement. Les fonctions que l’on utilise habituellement sont les fonctions :U, H, F, G….et les variables : ,P, T, V, S, [C], Pour bien comprendre un ….. cours de thermodynamique, il faut donc bien maîtriser les outils mathématiques associés à l’étude des fonctions.     L’objectif de ce mémorandum est de rappeler de manière succincte ces outils afin que vous puissiez suivre avec moins de difficulté le cours dispensé cette année (nb: ce texte n’est pas un cours de mathématique) Nous vous engageons à revoir son contenu. Cet effort vous en évitera bien d’autres.  

                                                           1 Lois qui posent les relations mathématiques entre les différentes variables qui caractérisent le système étudié 2 changement de volume, de température, de pression, ajout de matière, réaction chimique….etc…. 3 1 er et 2 nd principes

Pr. Francois Henn, Université de Montpellier II  Introduction à la Thermodynamique Statistique : Master 1 ere année 2007-2008

 

 

    4 Dérivées et Différentielles

  I) Dérivées     a) dérivée d’une fonction de fonction   Soity=f(u)etu=h(x). Sifest dérivable enu 0 =h(x 0 )etuenx 0 alors :  1      xd yd  x    ud yd    u .    x du d    x  

 

0 0 0 ex : Si fy ln( ( x )), alors dy 1  f1 d( ( x )) 1 f ' ( x )   dx f ( x ) dx f ( x )   Cette relation est très utile en thermodynamique lorsque l’on effectue des changements de variable. Ex : comment varie la fonction f(T) si l’on connaît f(P) et P(T).  

  b) fonction inverse   si une fonction y=f(x) inversible et dérivable, et de dérivée non nulle, alors la fonction est   inversex1f %1 ( x )est dérivable e t:

d( f %1  dx( y )) 1   dy d( f ( x ))   ex : on cherche la dérivée de ln(x) Siy ln( x ), alorsx1e y   Dérivonsx1f %1 ( x ) :  df % d 1 y )y( 1e y   %1  1 ( x ))d( f 1 Puis on replace y: fd d (y) y 1e y 1e ln( x ) 1x1 (f)x dx (d) , d'où d( x ) x

    II) Les différentielles   a) définition soity=f(x), x dans et défini admettant une fonction dérivéef ' ( x )1 d différentielle le produit de la dérivée par l’accroissementdx: d f ( x ) f ' ( x ).dx 

f ( x )  on appelle dx ,

                                                           4 vous trouverez en annexe une liste des fonctions les plus usitées avec leurs fonctions dérivée et primitive

Pr. Francois Henn, Université de Montpellier II  Introduction à la Thermodynamique Statistique : Master 1 ere année 2007-2008