Les fonctions réelles

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COURS DE MATHEMATIQUES
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Les fonctions reelles
Somme et produit
Ce cours porte exclusivement sur les notions de somme et de produit re-
latives aux fonctions reelles.
1 L’idee generale
Une fonction reelle est un operateur qui associe automatiquement a un
nombre reel, appele antecedent, un autre nombre reel, appele image.
Une fonction est telle qu’un antecedent n’a qu’une seule image, mais qu’une
image peut avoir plusieurs antecedents.
2 La theorie
2.1 La somme de deux fonctions
Soient f et g deux fonctions reelles de nies sur un m^eme ensemble de
de nition D (voir le cours \Les fonctions reelles - Intervalles et en-
semble de de nition ").
La somme des deux fonctions f et g est une fonction notee f + g, de nie
8x2 D par (f + g)(x) = f(x) + g(x).
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2.2 Le produit d’une fonction par un reel
Soit f une fonction de nie sur un ensemble de de nition D.
Soit un reel quelconque.
Le produit de la fonction f par le nombre reel est une fonction notee f ,
de nie 8x2 D par ( f )(x) = f (x).
2.3 Le produit de deux fonctions
Soient f et g deux fonctions reelles de nies sur un m^eme ensemble de
de nition D.
Le produit des deux fonctions f et g est une fonction notee fg, de nie 8x2 D
par (fg)(x) = f(x)g(x).
2.4 Le quotient de deux fonctions
Soient f et g deux fonctions reelles de nies sur un m^eme ensemble de
de nition D.
f
Le quotient des deux fonctions f et g est une fonction notee , de nie 8x2 D
g
f f(x)
tel que g(x) = 0 par (x) = .
g g(x)
3 ...

Sujets

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Extrait

COURS DE MATHEMATIQUES Fichier.pdfducoursenvideodumeˆmenom

Lesfonctionsreelles

Somme et produit Ce cours porte exclusivement sur les notions de somme et de produit re- lativesauxfonctionsreelles.

1 L’ideegenerale Unefonctionreelleestunoperateurquiassocieautomatiquementaun nombrereel,appeleantecedent,unautrenombrereel,appeleimage. Unefonctionesttellequ’unantecedentn’aqu’uneseuleimage,maisqu’une imagepeutavoirplusieursantecedents.

2 Latheorie 2.1 Lasomme de deux fonctions Soientfetgledesembctonxfeudmeennmˆesuruniesdellsereeoisn denitionD(voir le cours “ctonsfLeeernsiotnI-sellsellavreeten- semblededenition”). La somme des deux fonctionsfetgetoeoinntsefenutcnof+gd,enie ∀x∈Dpar (f+g)(x) =f(x) +g(x).

1

2.2 Leproduit d’une fonction par un reel SoitfesfuornucntenisondenuineentioimelbdedenD. Soitrunlqee.ecleuuqno Le produit de la fonctionfelerbrenemoaplrnnioctonefunsteeetof, denie∀x∈Dpar (f)(x) =f(x).

2.3 Leproduit de deux fonctions Soientfetgsnrtcoisedeellessueniˆemerunmelbmesneedeudonxf denitionD. Le produit des deux fonctionsfetgnofeoitcenutsnnoteef g,denie∀x∈D par (f g)(x) =f(x)g(x).

2.4 Lequotient de deux fonctions Soientfetgˆenmenmembsedeleselledseinurusreeoisnnotcuefxd denitionD. f Le quotient des deux fonctionsfetgontincfoeetnoneid,eenutse∀x∈D g   f f(x) tel queg(x)6= 0 par(x.) = g g(x) 3 Attention! Ilnefautpasconfondreproduitdedeuxfonctionsaveccomposeededeux fonctions (voir le cours “Lfoeslee-selitcnrsnosotioCpmoin”).

Danslecasduquotientdedeuxfonctions,ilnefautpasoublierdeverier quelafonctionsitueeaudenominateurnedoitjamaisˆetrenulle.

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4 Exercicespratiques 4.1 Exercice1 1 1 Calculer la somme des deux fonctionsf:x7→etg:x7→ x+ 1x1 sur l’intervalleD=R {1; 1}. Ici,nuln’estbesoindedeterminerl’ensemblededenitiondesfonctions fetgeutDdeopnlinlees.usiqsuq’usp,upifetgoseintndemrlsuesmeˆe intervalle, leur somme est possible. (f+g)(x) =f(x) +g(x) 1 1 (f+g)(x) =+ x+ 1x1 x1x+ 1 (f+g)(x) =+ (x+ 1)(x1) (x+ 1)(x1) x1 +x+ 1 (f+g)(x) = (x+ 1)(x1) 2x (f+g)(x) = 2 x1 La somme des deux fonctionsfetgest donc la fonctionf+gedeni 2x ∀x∈D=R {1; 1}par (f+g)(x.) = 2 x1

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4.2 Exercice2 2 2x1 Calculer le produit de la fonctionf:x7→leerelrap=1. x+ 3 Avantdes’interesserauproduit,ilfauts’occuperdel’ensemblededenition de la fonctionf. Ici,fruseinedtseR {3}(voir le cours “Les fonctions reelles-Intervallesetensemblededenition”).

(f)(x) =f(x) 2 2x1 (f)(x) = (1) x+ 3 2 12x (f)(x) = x+ 3 Le produit de la fonctionfparlereelest donc la fonctionfnieed 2 12x ∀x∈D=R {3}par (f)(x.) = x+ 3

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4.3 Exercice3 1 2 Calculer le produit des deux fonctionsf:x7→etg:x7→xx 2 x1 sur l’intervalleD=R {1; 1}.

Ici,nuln’estbesoindedeterminerl’ensemblededenitiondesfonctions fetgp,iulpsuqseutdesilu’Dee.nonqsiupfetgdesontsurlniesˆeemme intervalle, leur produit est possible.

(f g)(x) =f(x)g(x) 1 2 (f g)(x() =xx) 2 x1 2 xx (f g)(x) = 2 x1 x(x1) (f g)(x) = (x1)(x+ 1) x (f g)(x) = x+ 1 Le produit des deux fonctionsfetgest donc la fonctionf giened∀x∈ x D=R {1; 1}par (f g)(x.) = x+ 1

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4.4 Exercice4 2 Calculer le quotient des deux fonctionsf:x7→6xet+ 2g:x7→2x+ 4.

Avantdes’interesserauquotient,ilfautd’uneparts’occuperdel’en- semblededenitiondesfonctionsfetgd’ettrau,ireqreuperavtegn’est jamais nulle.

Ici,fetgelvrlanietmeˆeemrlsuesniedtnosD=R. De plus, la fonctiong est strictement positive surD=Rtoeitnedfsnotcoiconsequent,lequraP.ns fetgest possible.   f1 (x) = (6x+ 2) 2 g2x+ 4   f6x+ 2 (x) = 2 g2x+ 4   f3x+ 1 (x) = 2 g x+ 2 f Le quotient des deux fonctionsfetgofalcnodtseeniedontinc∀x∈ g   f3x+ 1 D=Rpar (x.) = 2 g x+ 2

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