Les maths au collège : Cours, Techniques et Exercices

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Les maths au college : Cours, Techniques et Exercices Denis LE FUR College Zephir, Cayenne 11 mars 2004L’objet de ce document est de fournir aux eleves de niveau 3eme un recueil de cours, de techniques et d’exercices sur les di erentes connaissances exigibles en mathematiques au college. Ainsi, chaque chapitre contiendra un cours sommaire, des exercices corriges, puis une serie d’exercices mettant en oeuvre les notions etudiees dans ce chapitre. Ce document regroupant a la fois des notions du programme de 3eme mais aussi des annees precedentes, le plan choisi ne correspond pas a une progression d’un cours de 3eme. Pour atteindre une notion, l’eleve pourra s’aider de la table des matieres mais aussi de l’index situe en n de document. Cee document s’adrese egalement aux parents et aux enseignants : les parents pourront s’en servir pour apprendre a leurs enfants a y chercher la reponse a un probleme, a travailler sur la methodologie m^eme s’ils ne ma^ trisen t pas au depart le contenu; les enseignants auront une base de discussion sur leur pratique pedagogique. Une version informatique de ce document sous forme de c hier PDF contenant des liens hypertextes est aussi disponible. 2/ 175Table des matieres Table des matieres 5 I Partie geometrique 7 1 Le triangle rectangle 9 1.1 Le cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.1.1 Le theoreme de Pythagore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.1.2 Triangle rectangle et cercle circonscrit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.1.3 Trigonometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.2 Les exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.2.1 Exercices corriges . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.2.2 Autres exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2 Les droites paralleles 21 2.1 Le cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.1.1 Le theoreme de Thales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.1.2 La reciproque du theoreme de Thales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.1.3 Droite des milieux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.1.4 Angles et parallelisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.2 Les exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.2.1 Exercices corriges . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.2.2 Autres exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3 Les polygones 31 3.1 Le cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3.1.1 Generalites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3.1.2 Les triangles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3.1.3 Les quadrilateres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 3.1.4 Autres polygones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 3.2 Les exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 3.2.1 Exercices corriges . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 3.2.2 Autres exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 4 Les droites remarquables 39 4.1 Le cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 4.1.1 Medianes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 4.1.2 Mediatrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 4.1.3 Hauteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 4.1.4 Bissectrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 4.2 Les exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 4.2.1 Exercices corriges . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 4.2.2 Autres exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 3TABLE DES MATIERES TABLE DES MATIERES 5 Les angles 47 5.1 Le cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 5.1.1 Les categories d’angles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 5.1.2 Relations entre deux angles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 5.1.3 Angles inscrits et angles au centre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 5.2 Les exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 5.2.1 Exercices corriges . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 5.2.2 Autres exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 6 Longueurs, aires et volumes 53 6.1 Le cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 6.1.1 Longueurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 6.1.2 Aires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 6.1.3 Volumes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 6.2 Les exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 6.2.1 Exercices corriges . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 6.2.2 Autres exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 7 Les transformations 61 7.1 Le cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 7.1.1 Symetrie centrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 7.1.2 Symetrie axiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 7.1.3 Translation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 7.1.4 Rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 7.2 Les exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 7.2.1 Exercices corriges . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 7.2.2 Autres exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 8 Geometrie dans l’espace 73 8.1 Le cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 8.1.1 Les paves droits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 8.1.2 Les Pyramides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 8.1.3 Les c^ones de revolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 8.1.4 La sphere et la boule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 8.1.5 Agrandissement et reduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 8.2 Les exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 8.2.1 Exercices corriges . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 8.2.2 Autres exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 9 Geometrie analytique 91 9.1 Le cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 9.1.1 Utilisation d’un repere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 9.1.2 Milieu d’un segment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 9.1.3 Vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 9.1.4 Distance entre deux points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 9.1.5 Droites dans un repere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 9.2 Les exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 9.2.1 Exercices corriges . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 9.2.2 Autres exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 II Partie numerique 105 10 Le calcul numerique 107 10.1 Le cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 10.1.1 Priorites sur les operations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 10.1.2 Les nombres relatifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .