Physique NYB

Jacques Bridet

Description

1 Physique NYB Plan du chapitre 4 Travail, énergie potentielle électrique. Potentiel électrique. Conservation de l'énergie. 1) Travail et énergie potentielle de deux charges ponctuelles. a) Travail infinitésimal dW=F ds cos  b) Composante radiale Fr= 2r qQk et 2r kQEr  . c) Travail quelconque pour une force radiale : dW = Fr dr  W1 2 =  21rr r drF d) Énergie potentielle U=-W e) Propriété : la force électrique est conservative.

• ij ji
• f
• u u
•  
• r1 r2
• énergie potentielle
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• charges

Sujets

• Énergie
• Charge
• Calcul
• Potentiel
• Système

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Extrait

Physique NYB
Plan du chapitre 4
Travail, énergie potentielle électrique.
Potentiel électrique.
Conservation de l’énergie.

1) Travail et énergie potentielle de deux charges ponctuelles.
a) Travail infinitésimal dW=F ds cos 
kQqQ
b) Composante radiale F = k et E  . r r2 2r r
r 2
c) Travail quelconque pour une force radiale : dW = F dr  W = F dr r 1 2 r r 1
d) Énergie potentielle U=-W
e) Propriété : la force électrique est conservative.

x2r 2
2) Différence de potentiel électrique. V (r ) – V (r ) =  E dr ; V(x ) –V(x ) =  E dx 2 1 2 1r xr 1 x1

N Qi3) Potentiel produit en P par un système de charges V = k . P 
ri 1 ip

Énergie potentielle d’une charge q située en P : U = q V P

N Q Qi j4) Énergie potentielle d’un système de charges U= k .  ri  j ij

5) Mouvement de charges dans un potentiel et conservation de l’énergie. K+q V=W ext

6) Lignes et surfaces équipotentielles.

7) Potentiel à la surface et à l’intérieur d’un conducteur à l’équilibre électrostatique.

8) Résumé et applications.

a) Calcul du potentiel d’un système de charges.
b) Calcul de l’énergie potentielle d’une charge q dans le potentiel
d’un système de charges Q , Q , Q ,… 1 2 3
c) Calcul de l’énergie potentielle d’un système de charges Q , Q , Q ,…. 1 2 3
d) Mouvement de charges dans un potentiel.
e) Calcul de la différence de potentiel et du potentiel à partir du champ.
dV dV
f) Calcul du champ à partir du potentiel. E =  ; E =  r x
dr dx
1 Chapitre 4
Travail, énergie potentielle électrique, potentiel électrique, conservation de l’énergie.

1. Travail et énergie potentielle de deux charges
ponctuelles Figure 1
y a. Travail dW de la force électrique sur un
déplacement ds très petit (infinitésimal) 2
Travail W sur un déplacement quelconque.
y q2
Une charge q de déplace sous l’action de plusieurs

forces dont la force électrique F exercée par une
charge Q. On veut calculer le travail de cette force
entre les points 1 et 2 (voir figure 1). r2
 Le travail d’une force constante est défini comme le
ds  
1 produit scalaire de la force F par le déplacement s :  y1 q W  F  s  Fscos 
 est l’angle entre la force et le déplacement. r1 Q Comme la force électrique est variable, on doit,
x pour appliquer la formule précédente, découper le
x x2 1 déplacement en un très grand nombre de petits 
dséléments ; sur un de ces éléments, on peut
considérer la force comme constante et calculer le travail dW par :
 
dW  F  ds  F ds cos  (Forme polaire du produit

Figure 2 F scalaire) 
Sur la figure 2, on a grossi le déplacement ds . Celui-ci étant
très petit, on peut le considérer comme rectiligne.
 

ds
r2   
F
q

Q

On peut aussi exprimer le travail dW dans sa forme cartésienne
en utilisant les composantes cartésiennes dx et dy du vecteur
Fy ds et les composantes cartésiennes F et F de la force x yF
 (voir figure 3) : dy ds     Fx r2 F  F i  F j et ds  dxi  dyj x ydx
x
dW  F dx  F dy (Forme cartésienne) x y
Figure 3


Travail quelconque: pour aller du point 1 au point 2, le travail serait :
x y2 2
W  F dx  F dy Où x , y , x , y sont les coordonnées des points 1 et 2. 1 1 2 21 2 x y x y1 1
Sous cette forme, le calcul du travail nécessite une intégrale en deux dimensions (x et y), ce qui peut être
compliqué. On s’arrangera toujours pour avoir à calculer une intégrale à une dimension.
2 
b. Composante radiale de F et de E .
Dans les cas à symétrie sphérique et

L’axe radial r est toujours centré sur la charge qui Figure 4 cylindrique, la force F est toujours selon
exerce la force et dirigé vers la charge qui subit la force.
une direction radiale, alors il est plus simple L’axe est donc toujours sortant.
de considérer la composante radiale F de la r 
force : on a alors F  F u . r Q u F n’a qu’une composante en r (voir figure u
q kQqF F 4) et : (équation 1) r 2rr
r Attention : dans cette définition les charges apparaissent en valeur
F
algébrique et non plus en valeur absolue comme auparavant.

q r
r 
u F Q r

u

Fq


r

On définit aussi la composante radiale du champ électrique en P qui est un point d’observation.
 
E  E u r
kQ
Avec : E  (équation 2) r 2r

Figure 5  Q P u u 
r Er
P P r
E P r P
r
E 
 uE P P u
P
Qr
3 c. Travail quelconque fini pour une force radiale.
On peut écrire le travail dW en termes de la composante radiale :

Le petit déplacement ds est décomposé en ses
 
composantes radiale ds et tangentielle ds (voir figure r t
Figure 6
2) 
Arc de cercle de rayon r F
  dr      
 dW  F  ds  F  ds  F  ds Car ds  ds  ds t r t rdsr    or F  ds  F  ds  Fds cos90  0 2   t t t
  ds dW  F  ds  F drDonc : r r r rds 2 t   
F    
Car F  F u et ds  dr u u q r r
r
Q Cette expression va simplifier le calcul du travail.
Le travail de la force électrique (cas radial) dans le
déplacement de 1 à 2 est la somme de tous les travaux
dW entre les deux points considérés (voir figure 7).

Cette somme s’obtient par une intégrale :

Figure 7 F
q
r2
W  F dr (équation3) 1 2 rr1
r2 
Q F
r1 q
Dans le cas d’une charge ponctuelle ou un cas à symétrie sphérique, le calcul est simple :
r21
r kqQ r  kqQ kqQ 2
 W  dr  kqQ    (Équation 4) 1 2  2  r1 r 1 r r 2 1 r1
d. Travail quelconque pour une force à symétrie plane
Dans les cas à symétrie plane la force est toujours parallèle à une
Figure 8
direction particulière x, y ou z.
 Alors le travail de la force se calcule par une équation analogue à q F
l’équation 3 :
q Pour une force parallèle à x :
x2 W  F dx (équation 5) 1 2  xF x1
x x1 2 Avec des expressions analogues pour des forces parallèles à y ou z.

Dans la figure 8, on n’a pas représenté les charges qui produisent la force sur q. Elles pourraient être dues à une
distribution volumique de charge  de longueur L dans la quelle la charge q se déplace.
On peut montrer que la force subie par une charge q est :

F  q 2x  L  x
2 0Milieu de densité électrique
uniforme  La force ne dépend que de x
4 x
0 L e. Variation d’énergie potentielle électrique U et Énergie potentielle électrique U.
Définitions :
(i) Variation infinitésimale (= très petite variation qui tend vers zéro) d’énergie potentielle :
dU= - dW
(ii) Variation quelconque d’énergie potentielle :
U  U(r ) U(r )  W (Équation 6) 2 1 1 2

Remarque: l’explication du signe – est donnée plus bas dans cette section. Une interprétation physique de l’énergie potentielle est donnée dans la section 5.

Cas particulier radial: la variation d’énergie potentielle de la charge q quand elle se déplace du point 1 au
point 2 (voir figure 1) est donnée(en utilisant les équations 4 et 6) par :
 kqQ kqQ 
 U  U(r ) U(r )  W   (Équation 7) 2 1 1 2  r r2 1 

Énergie potentielle U
C’est la variation d’énergie potentielle U qui a un sens physique intrinsèque, c'est-à-dire indépendant de toute
convention. Mais pour des raisons pratiques dans le but de faciliter les calculs, on veut donner un sens à
l’énergie potentielle U. Pour cela, on doit choisir arbitrairement une « énergie de référence », c'est-à-dire un
endroit où l’énergie potentielle a une valeur donnée prévue à l’avance. Souvent, on va choisir que l’énergie
potentielle est nulle à l’infini :U( )  0 . Attention : ce choix n’est pas toujours possible comme on le verra
plus loin.
Dans le cas de deux charges ponctuelles, ce choix est possible :
Posons :
r   Avec U( )  01
Et r  r 2
kqQ kqQ 
L’équation 6 devient : U(r) U( )     
r  
kqQ
U(r)  (Équation 8)
r
L’unité d’énergie est la même que celle de travail : le Joule (1J = 1N.m).

5
Explication du signe – dans la définition de U
Figure 9 Évolution spontanée ou forcée d’un système
Soit une charge