Sur la détermination des sorties plates par calcul formel

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• cours - matière potentielle : construction en maple

Sur la determination des sorties plates par calcul formel Felix Antritter1, Jean Levine2 1 Automatisierungs- und Regelungstechnik, Universitat der Bundeswehr Munchen Werner-Heisenberg-Weg 37, DE-85579 Neubiberg, Germany 2 Centre Automatique et Systemes, Ecole des Mines de Paris, ParisTech 35, rue Saint-Honore, 77305 Fontainebleau Cedex, France , Resume— Dans ce papier, nous etudions la possibilite de determiner les sorties plates d'un systeme non lineaire par calcul formel.

• elementaires associees aux actions elementaires
• infinite de coor- donnees
• µ0∧ avec µ0 ∈ λ
• operateur µ ∈
• identification composante par composante
• ddt
• x0
• ordres
• ordre

Sujets

• Murray
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• Fließ
• Koronowo

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Extrait

Sur

la

d´etermination par calcul

des sorties formel

1 2 FelixAntritter, JeanLne ´ evi

plates

1 Automatisierungs-undRegelungstechnik,Universita¨tderBundeswehrM¨unchen Werner-Heisenberg-Weg 37, DE-85579 Neubiberg, Germany

2 ´ CentreAutomatiqueetSyst`emes,EcoledesMinesdeParis,ParisTech 35,rueSaint-Honore´,77305FontainebleauCedex,France

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R´esum´e´eitdessoplibioidualsnipreecap´sten,uoDans— de´terminerlessorties platest`emenond’unsysraperiae´nil calcul formel. Rappelons qu’une sortie plate est une sor- tieg´en´eralise´eparticuli`eretellequetouteslescourbes inte´gralesdusyst`emepeuvents’exprimercommelesimages, paruneapplicationinfinimentde´rivable,descomposantes decettesortieplateetd’unnombrefinidesesde´rive´es successives par rapport au temps. Nous utilisons ici les ca- ract´erisationsr´ecentesde[1],[2]danslecadredesvari´ete´s dejetsd’ordreinfini(voirparex.[3],[4]).Les´etapessuc- cessivesdel’algorithmeformelsontdiscute´essurl’exemple classiqueduv´ehiculenonholonome. Mots-cle´sle,erentielutedid´ffsep,alitn´liireame`eonsn—tsyS sortie plate, calcul formel.

I. Introduction Consid´eronslesyste`menonline´aire

˙x=f(x, u)

(1)

o`ux= (x 1 , . . . , x n ´ed’urteecevtles),tatu= (u 1 , . . . , u m ) levecteurdesentr´ees,m≤n, etfune fonction me´romorpheentoussesarguments. Onditquecesyst`emeestlleitneralptnemetiff´ed, ou, plus bri`evement,plat([5], [6]), si et seulement s’il existe un vec- teury= (y 1 , . . . , y m :ntfiari´e)v (i)yussee´vire´dsestesptumeroatrappsparsivecces y˙, y¨, . . .leelntmed´inenepsftnotcnonnoiedtn,s (ii)yest une fonction dex,uet d’un nombre fini de d´erive´essuccessivesdescomposantesdeu, (iii)xetupeuvent s’exprimer en fonction des composantes dey’utdedsesedinfierbmonnssuccess´eriv´eevise: (α) (α+1) x=ϕ(y, y˙, . . . , y), u=ψ(y, y˙, . . . , y) pour un multi-entierα= (α 1 , . . . , α m ) bien choisi, et avec α α 1 m (α) d y 1 d y m la notationy= ( α 1 , . . . , αm ). dt dt Un vecteurysiuotnasecedorpsi´pr´eetstsepeapel´jsortie plate. Ceconceptainspire´unelitt´eratureimportanteetungrand nombre d’applications pratiques et industrielles (voir par ex.[3]pourunsurvey).Sonprincipalavantagere´sidedans lasimplicit´edelasolutiondesprobl`emesdeplanification de trajectoireet de´oturesuitedetrajectoireavecstabilpi. Plusieursformalismesont´et´eintroduitspourl’´etudede cetteclasseremarquabledesyst`emes:desapprochesde

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ge´ome´triediffe´rentiellededimensionfinie([7],[8],[9], [10]),d’alg`ebrediffe´rentielle([11],[12],[13]),deg´eome´trie diffe´rentielledesjetsetproongationsinfinies([4],[14],[15], [16],[17]).Parmicescontributions,lacaracte´risationdela platitudediff´erentielleprendunelargepart([12],[7],[18], [8], [13], [19], [20], [21], [17], [22], [9], [10], [1], [2]).

Nousreprenonsicilesr´esultatsde[1],[2]dansleforma- lismedesvari´et´esdejetsd’ordreinfini([4],[23],[15],[24]), lessyste`mese´tantrepr´esent´essousformeimplicite,obte- nusa`partirde(1)ene´liminantlevecteurd’entr´eesu. On rappellelesnotionsd’e´quivalencedeLie-Ba¨cklundetd’iso- morphismedeLie-Ba¨cklunddanscecontexte,ainsiqueles conditionsne´cessairesetsuffisantesdeplatitudeentermes dematricespolynoˆmialesetdeformesdiffe´rentielles.Cette approchepeuteˆtrevuecommeunege´ne´ralisationaux syste`mesnonline´airesde[25]etpermetd’obtenirdes conditions qui sont invariantes par extension dynamique endog`ene.

Lesconditionsobtenuesfontappel`adesop´erateurs diffe´rentielsquicombinentdesaspectsge´ome´triques commelade´rivationexte´rieureetleproduitext´erieurdes formesdiff´erentielles,`adesaspectsd’alg`ebrenoncommu- d tativesurlespolynoˆmesdea`coefficientsm´eromorphes. dt Lesapplicationsr´ecentesdecalculformel,commeMaple ouMathematica,proposentdenombreusesfonctionnalit´es danslecadredechacundecesdomainesse´pare´ment, maisunenvironnementcommunreste`aconstruire.Dans cepapier,nousde´taillonslaconstructiondesope´rateurs consid´er´esetmontronscommentilspeuventeˆtrepro- gramm´esdansunlangageformelstandardcommeMaple 11.

Cepapierestorganise´commesuit:lasectionIIest consacre´e`aladescriptiondessyste`mesimplicitessurles vari´et´esdejetsd’ordreinfini.Lesnotionsd’e´quivalence deLie-B¨acklundetd’isomorphismedeLie-Ba¨cklundsont rappel´esdanscecontexte,afind’introduirelaplatitude diffe´rentielle.DanslasectionIII,nousrappelonslescondi- tionsne´cessairesetsuffisantesde[1],[2]etlasectionIV ´etudieend´etaillesope´rateursetconditionsintroduites, conduisant`al’algorithmede´velopp´edanslasectionIII. Enfin, dans la section V, nous montrons comment fonc-

tionnel’algorithmesurl’exemplebienconnuduve´hicule non holonome.

II.Syste ` mesimplicitescommande ´ ssurles vari ´ et ´ esdejetsd’ordreinfini ´ Etantdonn´eeunevarie´te´diffe´rentielleanalytiqueXde dimensionn, on note son espace tangent au pointx∈X par T x XtpenTar,teosfinrbe´atgnX. SoitFune fonction n−m me´romorphedeTXdansReemt`ysnoisO.cnlese`dre implicitesous-de´termine´ F(x, x= 0 (2)˙ ) ∂F re´gulierausenso`urg=n−mdans un ouvert dense ∂˙x convenable de TX. D’apre`slethe´ore`medesfonctionsimplicites,toutsyst`eme explicite (1) avecx∈X, (x, f(x, u))∈T x Xpour toutu m ∂f dans un ouvertUdeRrgntfiari=v,e´mdans un ou- ∂u vert convenable deX×Uolacteeerrton´rmtenlafesmeutˆ,p en (2), et inversement. Un champ de vecteursfqtutourpod,enepd´uix∈X, de m mvraailbendentesesind´epu∈Rnoc¸re´mafedoromeph ∂f m avec rg =mdans un ouvert deX×R,tetfiina´vre ∂u F(x, f(x, u)) = 0 pour toutu∈U, est ditcompatible avec(2).Notonscependantquelarepr´esentationimplicite (2),contrairementa`(1),al’avantagee´videntd’eˆtreinva- rianteparextensiondynamiqueendog`ene(voir[4]pourune de´finitionpr´ecise). Dans[4](voiraussi[15]ou`uneapprochesimilairea´ete´ d´eveloppe´einde´pendamment),lesyste`meinfinidecoor- donn´ees(x, u) = (x, u,˙u, . . .tant)´atee´nirtdoiu,tepmrte de prolonger le champ de vecteursfsous la forme n m X X X ∂ (k+1) ∂ f(x, u) =f i (x, u) +u j (k) ∂x i ∂u i=1j=1 k≥0 j pourlesyste`mesousformeexplicite(1). D’apre`s[1],[2],nousadoptonsladescriptionexternede lavarie´t´eprolonge´econtenantlessolutionsde(2):soitla def def n varie´te´dedimensioninfinieXd´niefiarepX=X×R= ∞ n n X×R×R×. . .,constitu´enienu’de´de´tinfiabbromendele n copies deR, munie de la topologie produit, et on suppose donne´elasuiteinfiniedecoordonn´eesglobalesdeX: x= (x 1 , . . . , x n , x˙ 1 , . . . ,˙x n , x¨ 1 , . . . , x¨ n , . . . , (k) ( k) (3) . . . , x , . . . , x , . . .). 1 n Rappelons que, pour cette topologie, une fonctionϕdeX dansRestcontinue(resp.leid´ffreneitba) siϕned´epend que d’un nombre fini (mais arbitraire) de variables et est continue(resp.diff´erentiable)parrapporta`cesvariables. ∞ Les fonctionsCylituqseoauansehperm´oromenoureco deXdansRseintfineo´sddneemmoconsienima-,siefin chantqu’ellesned´ependentqued’unnombrefinideva- riables. On munitXduchamp de Cartan trivial([23], [24]) n X X (j+1) ∂ τ X =x i .(4) (j) ∂x i=1 j≥0 i P P n (j+1) ∂ϕ dϕ x (j) = la On note aussiL τ X ϕ= =1j≥0 i dt i ∂x i de´rive´edeLiedelafonctiondiff´erentiableϕle long deτ X et k (k) k d x i k ϕso L τ in´tree´ed’ordrek. On a alorsx= k =L x i X τ i dt X

pour touti= 1, . . . , netk≥1, avec la convention (0) x i =x i . (j ) def (j) (j+1) d Commex=x˙ =x, le champ de Cartan agit dt i i i surlescoordonn´eescommeund´ecalage`adroite.Xest doncappel´eeavirdejee´´trd’osdetifininrevane´roD.,tnax y, ...repre´sententdessuitesdejetsd’ordreinfinidex,y,. . . Unsyst`emeimplicitecommande´r´egulierfin´etdespira n τ , F) avecX=X le triplet (X, X ×R ∞ ,τ X le champ de Car- n−m tantrivialassoci´e,etFdeTem´eromorphXdansR) ∂F v´erifiantrg=n−mdans un ouvert convenable de TX. ∂˙x

´ A.EquivalencedeLie-Ba¨cklundpourlessyst`emesimpli- citescommande´s Rappelonsde[1],[2]lesd´efinitionssuivantes: Soientdeuxsyste`mesimplicitescommande´sreguliers n ∂F (X, τ X , F), avecX=X×R, dimX=net rg =n−m, ∞ ∂x˙ p et (Y, τ , G, dim), ave Y=p, Y cY=Y×R ∞ τ Y son champ ∂G de Cartan trivial, et rg =p−q. ∂y˙ k PosonsX 0 ={x∈X|L F(x) = 0,∀k≥0}etY 0 ={y∈ τ X k Y|L G(y) = 0,∀k≥0}. Ils sont munis des topologies τ Y etstructuresdiffe´rentiablesinduitesparcellesdeXetY respectivement. D´efinition1:Oleuqtidnst`eessymplimesicsmoicet- mand´esre´guliers(X, τ X , F) et (Y, τ Y , G) sontLie-B¨ack- lund´equivalents¸cfaabonegr´e,´e´B-Liuqeelav)stneno(,ued y)∈X×Ys le couple de points (x 0 , 0 0 0 i et seulement si (i) il existe des voisinagesX 0 etY 0 dex 0 dansX 0 et de ydansY 0 respectivement et une application bijective 0 me´romorpheΦ=(ϕ 0 , ϕ 1 , . . .) deY 0 dansX 0 ire´vntfia Φ( lle que les champs de Cartan triviaux y 0 ) =x 0 et te soientΦ-reli´es,i.e.Φ ∗ τ Y =τ X ; (ii)ilexisteΨbijectiveetme´romorphedeX 0 dansY 0 , =ye avec Ψ = (ψ 0 , ψ 1 , . . .), telle que Ψ(x 0 ) 0 t Ψ ∗ τ X = τ Y . Les applications Φ et Ψ sont ditesisomorphismes de Lie- Ba¨cklundinversesl’undel’autreen (x 0 , y). 0 Lesdeuxsyste`mes(X, τ X , F) et (Y, τ Y , G) sont ditsloca- lementL-B´equivalentsentsivaluteentonossli’suqe´B-Lt paire de points (x,Ψ(x)) = (Φ(y), y) d’un ouvert denseZ deX 0 ×Y 0 ,avecΦetΨisoomprihmsseediL-ednulkca¨B inverses l’un de l’autre surZ. Onpeutmontrerquel’´equivalenceL-Blocalepre´serve lespointsd’´equilibre,i.e.lespointsy˜ (resp. ˜x) tels que G(y˜,0) = 0 (resp.F(˜x,0) = 0), ainsi que les corangs (m=q).

B.Formesdiff´erentielles Introduisons une base de l’espace tangent T x XdeXau pointx∈Xsruetcevedesembl’ensedelute´snit,oc ∂ { |i= 1, . . . , n, j≥0}. (j) ∂x i ∗ Une base de l’espace cotangent TXenxest donc x (j) donne´epar{dx|i= 1, . . . , n, j≥0}avec i (j) ∂ ( δu,o`δest le symbole de Krone-< dx i , l) >=δ i,k j,l i,k ∂x k cker. Ladiffe´rentielledeFrolatseotat,ennn´eesdon-tairoimn