Cours de mathématiques Théorème du point fixe dans un espace vectoriel norméTHEOREME1Théorème du point fixe Soient, . , un-espace vectoriel normé,la distance associée à. . Soit , : une application. Siest complète et siest contractante, alorsadmet un point fixe et un seul, et, pour tout de, la suite définie parconverge vers le point fixe de. , RAPPELS2%est unpoint fixedesi, et seulement si, . %estcontractantesi, et seulement si, il existe 0;1tel que : " , ! , #, !$% ,!PREUVE3Théorème du point fixe 1)Si,!deux points fixes de sont alors:, ! #,!$ % ,! d’où , ! 0puisque1 0;. Ainsiadmet au plus un point fixe.2)Montrons que converge vers un point fixe de. Montrons que est de Cauchy dans. Pour toutde: , #, $ % , & & d’où, par récurrence : , % , * Puis, pour tout', (de ) : & & + # , $% -# , $% - , + ++ + / /