Domaines globalement hyperboliques de l'espace de Minkowski et de l'espace anti de Sitter

Thierry Barbot

Description

DOMAINES GLOBALEMENT HYPERBOLIQUES DE L'ESPACE DE MINKOWSKI ET DE L'ESPACE ANTI-DE SITTER par Thierry Barbot? Resume. — Nous introduisons les notions de causalite dans les varietes lorentziennes dans le contexte particulier de l'espace de Minkowski et de l'espace anti-de Sitter. Nous montrons que le developpement de tout ferme achronal sans bord de l'espace de Minkowski est un ouvert convexe - plus precisement, il s'agit d'intersections de demi-espaces bordes par des hyperplans affines de type lumiere. Nous etablissons le resultat analogue dans l'espace anti-de Sitter. Table des matieres Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1. Geometrie causale de l'espace de Minkowski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2. Geometrie de l'espace anti-de Sitter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 3. Appendice : convexes de Sn+1 . . . . . . . . . . . .

• choix parti- culier de coordonnee


• courbes causales de classe c1


• geodesique pour la connexion de levi-civita


• vecteurs tangents


• courbe causale


• connexion plate de l'espace


• meme orientation temporelle

Sujets

• Barbot

Informations

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Extrait

DOMAINES GLOBALEMENT HYPERBOLIQUES DE L’ESPACE DE MINKOWSKI ET DE L’ESPACE ANTI-DE SITTER par Thierry Barbot ?

Re´sume. —sulatie´oisnedacari´et´edanslesvnneiserolsztneinusNoosiudorttonselsn ´ dans le contexte particulier de l’espace de Minkowski et de l’espace anti-de Sitter. Nousmontronsqueled´eveloppementdetoutferm´eachronalsansborddel’espace deMinkowskiestunouvertconvexe-pluspr´ecis´ement,ils’agitd’intersectionsde demi-espacesbord´espardeshyperplansaffinesdetypelumi`ere.Nous´etablissonsle re´sultatanaloguedansl’espaceanti-deSitter.

Table des matieres ` Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.G´eom´etriecausaledel’espacedeMinkowski....................2 2.G´eom´etriedel’espaceanti-deSitter............................20 3. Appendice : convexes deS n+1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 . . . . . . . . R´f´ . . . . . . . . . . . . . . 38 e erences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Introduction Lepremierobjectifdecetexteestdeproposeruneinitiationauxproprie´t´esde causalit´e.Onintroduitlesdiversesnotions(courbescausales,achronalite´,acausalit´e, d´eveloppementdeCauchy)et´etablissonsquelquespropri´ete´sremarquablesfonda- mentales aussi bien dans l’espace de Minkowski que dans l’espace anti-de Sitter. Nous introduisons au passage l’univers d’Einstein et illustrons sa pertinence de ce type de question.Pourapprofondirlethe`meabord´eicidansuncadrepluslarge,nonrestreint a`l’espacedeMinkowskietanti-deSitter,voir[4]. Lecontenueste´le´mentaireetaccessible`aunelargeaudience.Ilyatr`espeude pre´-requis,etquisonttousdetoutemani`ererecouvertsparlesautrescontributions

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francaisT. BARBOT

`acetouvragecollectif.Cecinenousempˆechepasdemontrericiunre´sultatoriginal: lede´veloppementdeCauchydetoutferm´eachronaldel’espacedeMinkowskiest convexe.Pluspre´cise´mentilestintersectiondedemi-espacesborde´spardeshyper- plansaffinesdetypelumi`ere(cf.the´ore`me1.5.1).Ilexistedanslalitte´raturer´ecente plusieurspreuvesdeversionsaffaibliesdeceth´eor`eme,essentiellementdanslecas ouleferme´achronalestsuppose´deplusacausal,diffe´rentiable,etdesortequela m´etriqueriemannienneinduitesoitcomple`te.C’est`anotreconnaissancelapremi`ere foisquecetypedere´sultatest´etablidanscedegre´deg´ene´ralite´.Nousmontrons aussiunr´esultatanalogue,aveclemˆemedegr´edege´n´eralite´in´edit,pourlesferme´s achronauxdel’espace-antideSitter(the´ore`me2.6.1).

1.G´eom´etriecausaledel’espacedeMinkowski 1.1.Rappelssurlage´ome´trieeuclidienne.—L’espace euclidien de dimension nest l’espace affineR n muni de la forme quadratiqueQ n =x 2 1 +...+x 2 n . Tout vecteur tangentpeutˆetrevucommeune´le´mentvde l’espace vectoriel sous-jacent sur lequel onpeute´valuerQ n lotaniefid´on;esralonmrkvk 0 erracdee´laracineme´etantcmo Q n (v). La longueur d’une courbec: [a, b]→R n de classeC 1 par morceaux comme ´etantl’inte´grale: L(c) = Z b kc 0 (t)k 0 dt a On peut en fait calculer la longueur de toute courbe absolument continue (on dit aussirectifiable)i.e.pourlaquellelade´riv´eec 0 (t)apeuuotrptseqserel,tle´etdiefin quel’inte´graleci-dessussoitfinieettellequec(b)−c(a) = R b a c 0 (t)dt. La distance d euc (x, y) entre deux pointsxetydeR n edalueere´iriefnbornstlaesdeuruenglo chemins rectifiables joignantxa`y. 1.1.1.G´eod´esiquesentantquecourbesminimisantlalongueur. — Il est bien connu que la distanced euc (x, ye”itgnliroeds´liear´a“rlpaeee)teeinfitst→x+t(y−x) (avectvariant dans [0,1]), et vaut doncky−xk 0 ilacefstredust’e:rertnoma`eC. tout chemin est de longueur plus grande que sa projection orthogonale sur la ligne droite ! Nous disons que la ligne droite est unegequise´doe´. 1.1.2.Ge´od´esiquesdeR n tnnaecourlteqsuelult`oe-bpeasraa autre remarque. — Une estquelesge´ode´siques,i.e.leslignesdroites,sontlescourbesparame´tr´eesc: [a, b]→ Msolution de l’equation ´ c 00 (t) = 0∀t∈[a, b] Demani`erepluse´labor´ee,cecisignifiequelevecteurtangentde´rive´c 0 (t) est invariant partransportparall`elelelongdelacourbe.End’autrestermes,cesiquod´eeg´enutse pourlaconnexiondeLevi-Civit`aassocie´a`lame´triqueeuclidienne,quin’estautre que la connexion plate de l’espace affine platR n .

francaisDOMAINES GLOBALEMENT HYPERBOLIQUES3

1.1.3.G´eod´esiquesentantquecourbesminimisantl’´energiesi`etroi—Une.em de´finitiondesg´eod´esiquesestlasuivante:cesontlescourbesparam´etr´eesquimini- misentl’e´nergieE:rape´d,einfi b (E(c) = Z a t)k 02 dt 1)kc 0 ( Ainsi, la ligne droitec 0 (t) =x+ bt − − a a (y−xelisen’´giereocelebrumiuqmini)aseuestl parmi les courbes rectifiablesc: [a, b]→R n joignantx`ay. 1.2. L’espace de Minkowski. —L’espace de Minkowski de dimensionn+ 1, not´eR 1,n , est l’espace affineR n+1 ´nee(secoordon,dt, x 1 , ..., x n ), muni de la forme quadratiqueQ 1,n =−t 2 +x 12 +...+x n 2 .s´cienemusPl´eprmoemsnceelep,tnoe´et´vari lorentzienneingisiuqec,d`sionecnl’oqufieerecommemunidelanniee´mteiruqleronezt −dt 2 + dx 2 1 +...+ dx n 2 . Nous allons prendre l’habitude de noterp= (t, x) avecx= (x 1 , ..., x n vtuoT.)atruetcemeorouesafsloce´sopmnegndestv= (τ, uo)u`τest la composante entetu∈R n la composante enx. La “norme” devest alors : Q 1,n (v) :=kvk 2 =kuk 2 0 −τ 2 ou`kuk 2 0 lcueeidiennd´otenanelmeorQ n (u). ` A la forme quadratiqueQ 1,n uenoquequseriae´niirte´mysneeu´eciilebrmfoetssaos appelonsproduit scalaireesore´icsurp(onalaiitscroduns“pcne”neiztneroler-amd’as biguite´)etnotonsh.|.i. Nous noterons aussih.|.i 0 le produit scalaire (euclidien) sur R n , de sorte que : h(t, u)|(t 0 , u 0 )i=−tt 0 +hu|u 0 i 0 Uneparenthe`se:nousappelonsiciQ 1,n (v) =kvk 2 lanormedev. Attention : cette terminologiediffe`redecelleutilis´eedanslecadreeuclidien:transpos´eetellequelle danslecontexteriemanienelleaboutitaucarre´delanormeusuelle.Lanotation kvk 2 , provenant de l’analogie avec le cas euclidien qu’on souhaite maintenir autant quepossible,esttrompeuse:eneffet,cettequantit´epeutfortbienˆetren´egative! C’est ce qui se produit si la composanteuest de norme plus petite que la valeur absolue deτ. La connexion plate de l’espace affineR n+1 dee´rtqieuaeevlcmaompatiblestc Minkowski:elleestsanstorsionetsontransportparalle`lepre´servelanormedes vecteurs.C’estdonclaconnexiondeLevi-Civit`adelame´trique.Lesge´ode´siques-au sensdecourbesauto-paralle`les-sonttoujoursleslignesdroitest→p+t(q−p). Maisonnepeutplusd´efinirlesge´ode´siquescomme´etantcellesquiminimisentla longueur,etce,pourplusieursraisons.Lapremie`reesttoutsimplementparcequ’on nepeutd´efinirlalongueur,carla“norme”desvecteurstangentspeutˆetren´egative, cequiinterditdeconside´rerleurracinecarr´ee. Onpeutsongercontournercettedifficult´eenprenantlaracinecarre´edelavaleur absolue deQ 1,n (c 0 (t)), mais la notion de “longueur” ainsi obtenue est t ` : auvaise res m en effet, on peut toujours relier deux points quelconques par une courbe de “longueur” nulle !