Concours Centrale Supélec

Laurent

Description

Niveau: Elementaire
MATHÉMATIQUES II Concours Centrale-Supélec 2005 1/8 MATHÉMATIQUES II Filière PSI Rappels, notations et objectifs du problème Dans tout ce problème, désigne un entier naturel supérieur ou égal à et l'ensemble des matrices carrées complexes d'ordre . De plus : • désigne l'ensemble des matrices carrées réelles d'ordre ; • si , on note le terme de situé sur la ligne et la colonne ; • pour , est la matrice ; • si et sont dans , on désigne par la matrice de définie par blocs carrés d'ordre dont les seuls blocs éventuellement non nuls sont les blocs diagonaux ; • est la matrice unité élément de ; • On rappelle les trois types d'opérations élémentaires sur les lignes d'une matrice et leur codage : On définit de même trois types d'opérations élémentaires sur les colonnes d'une matrice. Si et si est la matrice obtenue à partir de par utilisation d'une opé- ration élémentaire, alors (resp. ) est la matrice obtenue à partir de en effectuant la même opération élémentaire sur les lignes (resp. colonnes) de (on ne demande pas de démontrer ce résultat). opérations codage échange des lignes et multiplication de la ligne par ajout de la ligne , multipliée par le scalaire , à la ligne ( ) n 2 Mn IC( ) n Mn n A Mn IC( )? Ai j, A i j ? ?( , ) IR2? M ? ?,( ) ? ?–? ? ?1 …, ?p( ,

• réel


• mn ic


• coefficients réels de degré impair


• unique matrice


• matrice inversible


• li li ?l

Sujets

• Matrice inversible

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Extrait

MATHÉMATIQUES II

MATHÉMATIQUES II

Rappels, notations et objectifs du problème

Filière PSI

Dans tout ce problème, n un entier naturel supérieur ou égal à désigne 2  et M n (IC) l’ensemble des matrices carrées complexes d’ordre n . De plus : M n •désigne l’ensemble des matrices carrées réelles d’ordre n ; M n i ,j • si A∈(IC) , on note A le terme de A situé sur la ligne i ;et la colonne α–β 2 • pour (α,β)∈IR , M(α,β) ;est la matrice β α p • si (α , …,α)  et (…β , ,β)  sont dans IR , on désigne par 1p1p p p M 2p diag(M(α , β),M(α , β), …,M(α , β)) matrice de la par blocs définie 1 1 2 2 carrés d’ordre 2 dont les seuls blocs éventuellement non nuls sont les blocs diagonaux M(βα , ),M(α , β), …,M(α , β) ; 1 1 2 2p p n M n • I est la matrice unité diag(1, …,1) élément de; • On rappelle les trois types d’opérations élémentaires sur les lignes d’une matrice et leur codage :

opérations

échange des lignes i et

multiplication de la ligne i par α ≠0

ajout de la ligne , multipliée par le scalaire λ , à la ligne i ( i≠j )

codage

L↔L i j L← αL i i L←L+λL i i j

On définit de même trois types d’opérations élémentaires sur les colonnes d’une matrice. A M n est la matrice obtenue à partir deet si n par Si ∈E I utilisation d’une opé- ration élémentaire, alors EA (resp. AE ) est la matrice obtenue à partir de A en effectuant la même opération élémentaire sur les lignes (resp. colonnes) de A (on ne demande pas de démontrer ce résultat).

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Filière PSI

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On confond respectivement : n n • matrice et endomorphisme de IR (resp. IC ) canoniquement associé, n n • vecteur de IR (resp. IC ) et matrice colonne de ses coordonnées, • matrice de taille 1 et scalaire la constituant.

n n On rappelle qu’une symétrie s de IR est un automorphisme de IR vérifiant 2 s=sos= Id n ; il existe alors deux sous-espaces supplémentaires E et E tel 1 2 IR que s soit la symétrie par rapport à E parallèlement à E , définie par : 1 2 s= Id et s= –Id . E E E 1 E 2 1 2 Préciser la symétrie s , c’est déterminer les sous-espaces E et E associés. 1 2

On note (P) la propriété : A (P)A ne possède pas de valeur propre réelle A

Le but de ce problème est d’étudier des matrices de M n  vérifiant la propriété (P) . A Après avoir établi quelques résultats préliminaires, on étudie des cas particu- liers dans les parties I et II et un cas plus général dans la partie III.

Résultats préliminaires

1)On se propose de démontrer le résultat suivant : « deux matrices de M n semblables dans M n (IC) sont semblables dans M n ». Soit donc A et B deux matrices de M n semblables dans M n (IC) et P un élé- –1 ment de G L(IC) tel que A=PB P . n 2 M n a) Montrer qu’il existe R,J∈ tels que P=R+iJ avec i= –1 . b) Montrer que, pour tout t∈IC , A(R+tJ)=(R+tJ)B . c) Montrer qu’il existe t∈IR tel que det(R+t J) ≠0 . 0 0 d) En déduire que A et B sont semblables dans M n .

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2) a) Montrer que tout polynôme à coefficients réels de degré impair possède au moins une racine réelle. b) En déduire que s’il existe une matrice A de M n vérifiant (P) , alors n est A pair. Dans toute la suite du problème, on suppose n pair et on note n= 2p avec p∈IN\{0} .

Partie I - 2 I.A -Dans cette section I.A.1, on se place dans IR et on désigne par (e,e) la 1 2 base canonique, avec e=(1,0) et e=(0,1) . 1 2

0 –1 I.A.1) On considère la matrice M(0,1)= on désigne par et u  l’endo- 1 0 morphisme associé. a) Déterminer, dans la base canonique, la matrice de s , symétrie par rapport 1 à la droite IRe parallèlement à la droite IRe . 1 2 b) Déterminer, dans la base canonique, la matrice de l’application uos . 1 En déduire qu’il existe une symétrie s , qu’on précisera, telle que u=sos . 2 2 1

2 –5 I.A.2) On considère la matrice = . 1 –2 a) Montrer que A est semblable à M(0,1) et donner une matrice P de M 2 à –1 coefficients entiers et de déterminant 1 telle que M(0,1)=P AP . b) Montrer que A la matrice, dans la base canonique, de la composée de est deux symétries qu’on précisera.

2 2 α–β Soit α et β des nombres réels tels que β–α= 1 et B= . β–α c) Montrer que B est semblable à M(0,1) et donner une matrice Q de M 2 telle –1 que M(0,1)=Q BQ .

1 Indication: on pourra calculer Be=B . 1 0

d) Montrer que B la matrice, dans la base canonique, de la composée de est deux symétries qu’on ne demande pas de préciser.

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MATHÉMATIQUES II Filière PSI α–β I.A.3) On considère la matrice M(α, β)= où α et β sont des nombres 2 2 β α réels tel que α+β= 1 . Montrer que M(α, β) est la matrice, dans la base canonique, de la composée de deux symétries qu’on ne demande pas de préciser.

α–β I.A.4) On considère à présent la matrice M(α, β)= où α et β sont des β α 2 2 nombres réels tels que α+β ≠0 . Montrer que M(α, β) est la matrice, dans la

base canonique, de la composée de deux symétries et d’une homothétie.

a b M 2 I.A.5) Soit A= appartenant à. c d a) Donner une condition nécessaire et suffisante portant sur les coefficients de A pour que (P) soit réalisée. A b) En supposant que A  vérifie (P) , et en étudiant la diagonalisation dans A M 2 (IC) de A , montrer qu’il existe une unique matrice, semblable à A , du type M(α, β) avec α réel et β réel strictement positif. Expliciter α et β en fonction de a , b , c et d . A M 2 c) Que peut-on dire de det(A) si A vérifie (P) et est dans? d) Montrer que A la matrice, dans la base canonique, de la composée de est deux symétries et d’une homothétie. 2 I.A.6) On suppose que IR  est muni de sa structure euclidienne orientée canonique (i.e. (e,e) est orthonormée directe). Que sont alors les endomorphis- 1 2 2 2 mes de matrice M(α, β)  (avec α  et β  réels tels que α+β ≠0 ) dans la base canonique ? 2 M p p M n I.B -Soit B matrice de une  vérifiant B=I . Soit A  la matrice de 2B–5B définie par blocs sous la forme A= . B–2B M p I.B.1) Montrer que B est diagonalisable danset qu’il existe une matrice –1 Q  de M p des entiers naturels inversible, q  et r  tels que Q BQ  soit sous la I0 q forme d’une matrice par blocs 0 –I r

On convient que cette matrice vaut I lorsque r= 0 et q=p p et qu’elle vaut –I lorsque q= 0 et r=p . p

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MATHÉMATIQUES II Filière PSI I.B.2) Déterminer une matrice par blocs P de M n inversible et constituée de –1 0 –B multiples de I telle que : P AP= . p B0 I.B.3) En déduire que A est semblable dans M n à la matrice

0

I0 q 0 –I r

–I0 q 0I r

0

.

I.B.4) Montrer alors que A est semblable dans M n à une matrice du type diag(M(0,1),M(0,1), …,M(0,1)) . I.B.5)Exemple: on considère dans M 4 la matrice 4 6 –10 –15 –2 –4 5 10 A= . 2 3 –4 –6 –1 –2 2 4 a) Déterminer une matrice inversible M de M 4 telle que –1 M AM= diag(M(0,1),M(0,1)) . b) En utilisant la technique vue à la question I.A.1, montrer que A la est 4 matrice, dans la base canonique de IR de la composée de deux symétries qu’on précisera.

Partie II - 2 M n n II.A -Dans cette question, A désigne une matrice detelle que A= –I . II.A.1) Montrer que (P) est réalisée. A II.A.2) Si E est obtenue à partir de I par utilisation d’une opération élémen- n –1 taire, comment déduit-on EA E de A ? On distinguera les trois opérations élémentaires codées sous la forme : a) L↔L , i j ∗ b) L← αL avec α ∈IR , i i c) L←L+λL avec λ ∈IR . i i j

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II.A.3) a) En utilisant II.A.1, montrer qu’il existe i≥2 tel que A≠0 . i,1 M n b) En utilisant des opérations élémentaires, en déduire qu’il existe P∈ –1 inversible telle que si A′=PA P alors A′= 0 si i≠2 et A′= 1 . i,1 2,1 c) Montrer alors que A′= 0 si i≠1 et A′= –1 . i,2 1,2 –1 II.A.4) Montrer qu’il existe Q∈ M n  inversible telle que QA′Q de la soit M(0,1)0 forme par blocs avec B∈ M n– 2 . 0B

II.A.5) Montrer que A est semblable à une matrice du type diag(M(0,1),M(0,1), …,M(0,1)) . II.A.6)Exemple: en utilisant la méthode décrite dans cette partie, trouver –1 une matrice M inversible de M 4 telle que MA M= diag(M(0,1),M(0,1)) où A est la matrice de la question I.B.5). On fera apparaître clairement les opérations élémentaires utilisées. II.B -Dans cette question A est une matrice 2 2 M n n ∗ devérifiant (A–αI)+βI= 0 avec (α,β)∈IR×IR . n

II.B.1)

Montrer que A vérifie (P) . A

II.B.2) Montrer que A est semblable à la matrice d’ordre n diag(M(α, β),M(α, β), …,M(α, β)) . Que peut-on dire de det(A) ? II.C -Soit u l’endomorphisme de IR[X] défini par : pour tout polynôme P de n– 1 IR[X] , u(P) vérifie : n– 1   n– 1 –1 ∗ ∀x∈IR , u(P)(x)=x P   . -  x 

II.C.1) Déterminer pour quelles valeurs de i dans et {0, …,n– 1} , le plan i j vect (X,X) est stable par u . i– 1 M n n + 1 –i,i II.C.2) En déduire que la matrice A  deque telle A=(–1)  si 1≤i≤n , les autres coefficients de A nuls, est semblable à étant diag(M(0,1),M(0,1), …,M(0,1)) .

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Partie III - M A Dans toute cette partie, A désigne une matrice devérifiant (P) . n On se propose de montrer l’équivalence entre les trois propositions suivantes : i) A est semblable à une matrice du type * diag(M(α , β),M(βα , ), …,M(α , β)) avec (α,β)∈IR×IR pour 1≤k≤p . 1 1 2 2p p k k+ ii) Il existe un polynôme réel à racines simples complexes non réelles annulé par A . n iii) Tout sous-espace vectoriel de IR de dimension 2 stable par A possède un sous-espace vectoriel supplémentaire stable par A . III.A -Dans cette section III.A, on montre que (i) ⇒ (ii). 2 2 ∗ III.A.1) Montrer que si (α,β)∈IR×IR , le polynôme (X–α)+β ne possède que des racines simples complexes non réelles. III.A.2) En déduire que (i) ⇒ (ii). III.B -Dans cette section III.B, on montre que (ii) ⇒ (iii). n On suppose donc que A (ii). Soit vérifie E sous-espace vectoriel de un IR  de dimension 2 et stable par A . Soit (f,f) une base E que l’on complète en une 1 2 n base (f,f, …,f) de IR . 1 2n n III.B.1) Montrer que dans la base (f,f, …,f) de IR , l’endomorphisme cano- 1 2n niquement associé à A a une matrice s’écrivant par blocs :

A′B avec A′ ∈ M 2 . 0C III.B.2) Vérifier que A′ ne possède pas de valeur propre réelle et en déduire ∗ que A′ est semblable à une matrice du type M(α, β) avec (α,β)∈IR×IR . 2 2 III.B.3) Montrer que E est inclus dans Ker((A–αI)+βI) . n n 2 2 III.B.4) Montrer que Ker((A–αI)+βI) un sous-espace vectoriel possède n n n supplémentaire stable par A dans IR .

III.B.5) En utilisant une technique analogue à celle vue dans les parties II.A.3 et II.A.4, montrer que E un supplémentaire stable par possède A  dans 2 2 Ker((A–αI)+βI) , puis conclure que iii) est réalisé. n n

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III.C -En raisonnant par récurrence, montrer que (iii) ⇒ (i). III.D -Exemple: Soit

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–1 –2 4 0 1 –3 0 4 A= . –2 0 5 –2 0 –2 1 3 2 2 En admettant que A annule (X+ 1)(X– 4X+ 5) , déterminer une matrice inver- sible M de M 4 et des réels α , β , α′ et β′ tels que

M(α, β)0 –1 A=M M . 0M(α′, β′)

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••• FIN •••

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