Concours Centrale Supélec

Laurent

Description

Niveau: Elementaire
MATHÉMATIQUES II Concours Centrale-Supélec 2005 1/6 MATHÉMATIQUES II Filière TSI Soit le plan vectoriel muni du produit scalaire usuel et orienté par la base canonique . On notera l'origine du plan. Tout élément de peut s'interpréter comme un point de coordonnées dans le repère , ou comme un vec- teur de coordonnées dans la base . Pour deux vecteurs , de , on note alors leur produit scalaire et leur déterminant dans toute base orthonormale directe ; on désigne par l'ensemble des vecteurs de norme , et pour tout , on note le repère polaire, défini par : , . On rappelle qu'étant donnés et , la droite affine passant par et de vecteur directeur est l'ensemble des éléments de pouvant s'écrire , avec , c'est à dire : . On appelle alors axe du plan tout couple formé d'une droite affine , appelée support de , et d'un vecteur , vecteur directeur de de norme . Un axe est ainsi une droite affine orientée. Réciproquement, chaque droite affine définit deux axes d'orientations opposées : et . En notant l'ensemble des axes du plan , on va successivement : • construire un modèle cylindrique de et y analyser quelques situations de géométrie élémentaire, • étudier sur le cylindre représentant les transformations correspondant aux isométries du plan . IP IR2 i j( , ) o 0 0( , )= x y( , ) IP p x y( , ) o i j, ,( ) p x y( , ) i j( , ) u

• plan vectoriel


• rotation vectorielle d'angle


• point de coordonnées dans le repère


• cylindre représentant les transformations correspondant aux isométries du plan


• isométrie

Sujets

• Plan vectoriel
• Isométrie

Informations

• Publié par: dagic
• Nombre de lectures: 21
• Langue: Français

Extrait

MATHÉMATIQUES IIFilière TSI MATHÉMATIQUES II

2 Soit IP le plan vectoriel IR muni du produit scalaire usuel et orienté par la base canonique (i,j) .

On notera o=(0,0) l’origine du plan. Tout élément (x,y) de IP peut s’interpréter comme un point p de coordonnées (x,y) dans le repère (o,i,j) , ou comme un vec- teur p de coordonnées (x,y) dans la base (i,j) . Pour deux vecteurs u , v  de IP , on note alors 〈u|v〉  leurproduit scalaire et det(u,v) ; on désignedéterminant dans toute base orthonormale directe leur par U l’ensemble des vecteurs de norme 1 , et pour tout θ ∈IR , on note (u(θ),v(θ)) le repère polaire, défini par : u(θ)= cosθi+ sinθj , v(θ)sin= –θi+ cosθj .

On rappelle qu’étant donnés m∈IP et w∈IP\{0} , la droite affine passant par m et de vecteur directeur w est l’ensemble d des éléments de IP pouvant s’écrire m+λw , avec λ ∈IR , c’est à dire : d=m+IRw={p∈IP∃λ ∈IR,p=m+λw} . On appelle alorsaxedu plan IP tout couple δ=(d,w) formé d’une droite affine d , appelée support de δ , et d’un vecteur w , vecteur directeur de d de norme 1 . Un axe est ainsi une droite affine orientée. Réciproquement, chaque droite affine d définit deux axes d’orientations opposées : (d,w) et (d,–w) .

En notantΔl’ensemble des axes du plan IP , on va successivement : • construireun modèle cylindrique deΔet y analyser quelques situations de géométrie élémentaire, • étudiersur le cylindre représentantΔtransformations correspondant les aux isométries du plan IP .

Concours Centrale-Supélec 2005

1/6

MATHÉMATIQUES II Filière TSI

Filière TSI

Partie I - Modèle cylindrique de l’ensemble des axes du plan 3 On note IE l’espace vectoriel IR , muni du produit scalaire usuel et orienté par la base canonique (I,J,K) . Dans tout le problème, les lettres minuscules dési- gneront les objets relatifs à IP vecteurs, droites, coordonnées), tandis (points, que les majuscules concerneront les objets relatifs à IE ; on notera ainsi (x,y) les coordonnées des éléments de IP dans la base (i,j) et (X,Y,Z) celles des éléments de IE dans la base (I,J,K) . I.A -Caractériser l’ensemble C =U×IR une équation cartésienne en par (X,Y,Z) , puis montrer que C est un cylindre de révolution de IE dont on pré- cisera l’axe de révolution, les génératrices et les parallèles. I.B - I.B.1) Onconsidère un axe δ=(d,w) défini par m∈IP et w∈U , en posant : d=m+IRw . Montrer que lorsque p  décritla droite d , le réel det(p,w)  resteconstant ; on notera h sa valeur. δ Interpréter géométriquement ce réel h  àl’aide du projeté orthogonal m  de δ0 l’origine o sur d . Montrer que m= –h r(w) où r est la rotation vectorielle d’angle +π ∕2 . 0∕δ π2π ∕2 I.B.2) Soient w=u(θ)  pour θ ∈IR , et k∈IR ; considérant l’axe δ=(d,u(θ)) avec : d= –kv(θ)+IRu(θ) , calculer h et caractériser d par une équation cartésienne en (x,y) . δ I.B.3) Montrerque l’application H : δ=(d,w)a(w,h) une bijection définit δ entreΔet le cylindre C . –1 C Soit M=(w,k)∈ ; indiquer par un schéma la construction de δ=H(M) à partir de w et k dans le cas k>0 .

Concours Centrale-Supélec 2005

2/6

MATHÉMATIQUES IIFilière TSI À chaque axe δ deΔest ainsi associé bijectivement un point de C . Le cylindre C , image deΔpar H , devient ainsi une représentation de l’ensemble des axes. On se propose dans le reste de cette partie de déchiffrer sur cette représentation quelques propriétés géométriques relatives aux axes du plan IP . I.C -Chaque partie du cylindre C est l’image par la bijection H d’une partie de Δ. Caractériser précisément en termes géométriques les ensembles des axes du plan IP correspondant respectivement : • àune génératrice de C ; • àl’ensemble U× {0} ; • àun parallèle de C . I.D - I.D.1) Soit,dans le plan IP , la rotation r de centre o et d’angle ω ∈IR qui se confond avec la rotation vectorielle d’angle ω . Pour tout axe δ=(d,w) , on consi- dère alors l’axe (r(d),r(w)) , que l’on note r(δ) . On définit ainsi une application r deΔdansΔet il en résulte une application R de C dans C qui à M=H(δ) associe R(M)=H(r(δ)) . Montrer que h=h . r(δ) δ En déduire que R correspond à la restriction à C d’un endomorphisme R de l’espace vectoriel IE . On précisera cet endomorphisme et on en donnera la matrice dans la base (I,J,K) . I.D.2) Oncondidère l’application de C dans C obtenue par restriction à C de la symétrie S  decentre O=(0,0,0) avec l’endomorphisme (confondue –1 Ua–U de IE ). Par l’intermédiaire de H , il lui correspond une application σ deΔdansΔ. Déterminer cette application ; provient-elle d’une isométrie de IP , comme c’était le cas pour l’application r de la question I.D.1 ? I.E -Pour α >0 , on considère le point a=(α,0) de IP et on appellefaisceaudes axes passant par a l’ensembleΔdes axes dont le support passe par a ; on veut a déterminer l’ensemble H( Δ ) . a I.E.1) Caractériserpar une relation entre k et θ les éléments (u(θ),k) de C appartenant à H( Δ ) . a I.E.2) Montrerque ( Δ a ) est l’intersection de C et d’un plan vectoriel de E . H I.E.3) Établirque l’ensemble H( Δ ) est une ellipse dont on précisera le cen- a tre, l’axe focal, le demi-grand axe, le demi-petit axe, la distance focale et l’excen- tricité.

Concours Centrale-Supélec 2005

3/6

MATHÉMATIQUES IIFilière TSI I.E.4) Représentersur un même schéma cette ellipse ainsi que l’intersection de C avec le plan XOY . I.F - I.F.1) Soitmaintenant m un point quelconque de IP etΔle faisceau des m axes passant par m ; déduire des questions précédentes la nature et la position de l’ensemble H( Δ ) . m I.F.2) Réciproquement,étant donné un plan vectoriel P de IE , préciser selon –1 la direction de P la nature de l’ensemble H(P∩ C ) . I.F.3) Soient δ , δ , δ axes caractérisés respectivement par les rela- trois 1 2 3 tions H(δ )=(u(θ),k) . i ii Démontrer que leurs supports sont tous concourants ou tous parallèles si et seu- lement si : ksin(θ–θ )+ksin(θ–θ )+ksin(θ–θ )= 0 . 1 32 21 33 21 I.G -On appellecycle γ de IP tout cercle de IP orienté par une paramétrisation ; un axe δ esttangentà ce cycle si son support est tangent au cercle correspon- dant, avec des orientations de δ et γ concordantes. I.G.1) Soit P plan vectoriel de un IE  et λ ∈IR ; on considère le plan affine Q=P+λK obtenu par translation du plan P , de vecteur λK . Montrer que ce procédé fournit tous les plans affines de IE  àl’exception d’un ensemble de plans que l’on précisera. I.G.2) Onconsidère un tel plan affine Q=P+λK , non vectoriel c’est-à-dire ne contenant pas l’origine O=(0,0,0) . C Démontrer que Q∩ est l’image par H de l’ensemble des axes tangents à un cycle que l’on précisera. Si Q coupe la droite OZ en Ω , que représente la distance OΩ ? Préciser la nature géométrique de l’ensemble Q∩ C . I.G.3) Montrerque réciproquement, tout cycle de IP  peutêtre associé à un plan affine de IE . I.G.4) Soit (a,b,c) un triangle du plan IP ; en orientant les droites (ab) , (bc) et (ca) par les vecteurs ab , bc et ca , on obtient trois axes représentés par trois points du cylindre C . Montrer que ces trois points de C définissent un plan affine Q de IE , associé à un cycle γ de IP comme en I.G.2 et I.G.3. Quelle est la particularité de ce cycle relativement au triangle (a,b,c) ?

Concours Centrale-Supélec 2005

4/6

MATHÉMATIQUES IIFilière TSI Partie II - Transformations de l’ensemble des axes du plan II.A -On considère dans cette question la translation t  de IP , de vecteur τ=αi+βj non nul. À tout axe δ=(d,w) , on associe l’axe δ′=(t(d),w) que l’on note t(δ) . On définit ainsi une application t deΔdansΔdont on déduit une application T de C dans C qui à M=H(δ) associe T(M)=H(t(δ)) . II.A.1) Enreprenant les notations de la question I.B, exprimer h en fonction δ′ de h , w et τ . δ C II.A.2) Montrerque T d’un endomorphismecorrespond à la restriction à T de l’espace vectoriel IE dont on donnera la matrice dans la base (I,J,K) . II.A.3) Montrerque l’ensemble des vecteurs de IE par invariants T un est plan vectoriel P que l’on précisera. L’endomorphisme T est-il diagonalisable ? –1 C II.A.4) Déterminerl’ensemble H(P∩ ) et indiquer ce qu’il représente vis- à-vis de la translation t . II.B -Soit ϕ un automorphisme orthogonal de IP . À tout δ=(d,w) , on associe ϕ(δ)=(ϕ(d),ϕ(w)) , ce qui définit une application ϕ deΔdansΔ, puis l’applica- tion de C dans C qui àassocie . ΦM=H(δ) Φ(M)=H(ϕ(δ)) C II.B.1) Montrerque Φ d’un endomorphismecorrespond à la restriction à Φ dont on exprimera la matrice dans la base (I,J,K) à l’aide de la matrice N de ϕ dans la base (i,j) . II.B.2) Soitmaintenant ϕ une symétrie orthogonale par rapport à une droite vectorielle d de IP . L’endomorphisme Φ de IE est-il diagonalisable ? 0 Caractériser Φ en termes géométriques. Pour chaque sous-espace propre IE de i –1 i C Φ , interpréter H(IE∩ ) vis-à-vis de la symétrie ϕ . II.C -On rappelle que toute isométrie f de IP peut s’écrire de manière unique sous la forme f=toϕ où t et ϕ sont respectivement une translation et un auto- morphisme orthogonal de IP ; avec les notations des questions II.A et II.B, on pose alors : f=toϕ , F=ToΦ et F=ToΦ . II.C.1) Montrerque l’endomorphisme F ainsi obtenu a dans la base (I,J,K) une matrice de la forme :  0 N ,  0 λ µ detN où N  désigneune matrice réelle orthogonale d’ordre 2  et (λ,µ) couple de un réels. Exprimer le vecteur λi+µj à l’aide de α , β , i , j et ϕ . Concours Centrale-Supélec 20055/6

MATHÉMATIQUES IIFilière TSI II.C.2) Àquelle condition, portant sur N , λ et µ , F est-il diagonalisable ? Déterminer les isométries f correspondantes. II.D -On veut maintenant étudier si d’autres endomorphismes F de IE pour- –1 C raient correspondre, par restriction àet par l’intermédiaire de H , à d’autres transformations de IP . II.D.1) Démontrerque toute homothétie de IP , de centre o et de rapport k>0 correspond bien par les procédés utilisés précédemment à un endomorphisme de IE dont on donnera la matrice. II.D.2) Soit F un automorphisme de IE tel que F( C ) ⊂ C . Montrer que les projections orthogonales de F(I) et F(J) sur le plan XOY sont orthonormées. En déduire que F a dans la base (I,J,K) une matrice de la forme :  0 N ,  0 λ µν où N désigne une matrice réelle orthogonale d’ordre 2 et (λ,µ, ν) un triplet de réels. II.D.3) Établirque les endomorphismes F  de IE , tels que F( C ) ⊂ C de et déterminant strictement positif, correspondent aux similitudes de IP . II.D.4) Quefaut-il penser de ce point de vue des endomorphismes de IE tels C C que F⊂( ) et de déterminant strictement négatif ?

Concours Centrale-Supélec 2005

••• FIN •••

6/6