Concours Centrale Supélec

Laurent

Description

Niveau: Supérieur, Master, Bac+5
MATHÉMATIQUES II Concours Centrale-Supélec 2004 1/7 MATHÉMATIQUES II Filière TSI Dans tout le problème, est un plan euclidien orienté rapporté à un repère orthonormé direct . On rappelle que les déplacements de sont les rotations et les translations de ce plan. On notera l'identité de . Les matrices utilisées dans le problème sont réelles. On note l'ensemble des matrices carrées à lignes. On désigne par la transposée de la matrice . Si est une matrice carrée, on désigne par son déterminant et si , on convient d'appeler écriture de par blocs l'écriture , où , est de la forme , est de la forme , et est de la forme , avec , , , , réels. La matrice identité de est notée . Partie I - Questions préliminaires I.A - Les matrices et leur produit appartiennent à ; on les écrit par blocs : I.A.1) En prélevant dans les matrices et les termes utiles, calculer les deux termes de la matrice et montrer que . Des calculs analogues prouveraient que , ce que l'on admettra. I.A.2) Donner sans justification l'écriture par blocs de la transposée de . ? O; i j,( ) ? Idπ ? Mn IR( ) n At A A det A( ) A M3 IR( )? A A P Q R S = P M2 IR( )? Q q1 q2 R r1 r 2 S s[ ] q1 q2 r1 r2

• p0 π ?


• coordonnées dans le repère


• repère orthonormé direct


• p0 x0


• q?


• a? p?


• p? π


• coordonnées

Sujets

• Coordonnées

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Extrait

MATHÉMATIQUES II

Concours Centrale-Supélec 2002

1/6

MATHÉMATIQUES II

Filière PC

Le but du problème est la recherche des plans stables par un endomor-

phisme, en relation avec la notion de produit vectoriel

Dans tout le problème,

• les espaces vectoriels

et

sont munis de leur produit scalaire

canonique et orientés par leur base canonique,

• on désigne par

ou

le produit scalaire de deux vecteurs

d’un espace vectoriel euclidien, par

la norme associée,

• on désigne par

le produit vectoriel défini pour un espace vectoriel

euclidien orienté de dimension 3.

Les vecteurs dans les espaces vectoriels

sont notés en colonnes, mais on leur

préférera la notation

, transposée d’une ligne, lorsqu’ils seront de grande

taille.

Partie I - Étude dans

euclidien orienté de dimension 3

On considère dans cette partie

espace vectoriel euclidien orienté de

dimension 3 et la base canonique

orthonormale directe. Si

est dans

on définit

, endomorphisme de

, par sa restriction à

:

I.A -

Dans cette question on considère les endomorphismes

, de

matrices respectives

et

dans la base

:

Déterminer

et

, matrices respectives dans la base

de

et

.

IR

3

IR

4

,

IR

6

x

y

,

〈

〉

x

y

⋅

x

y

,

.

∧

IR

n

…

(

)

t

E

E

IR

3

=

B

e

1

e

2

,

e

3

(

,

)

=

u

L

E

(

)

u

~

E

B

u

~

e

1

(

)

u

e

2

(

)

u

e

3

(

)

∧

=

u

e

2

(

)

~

u

e

3

(

)

u

e

1

(

)

∧

=

u

~

e

3

(

)

u

e

1

(

)

u

e

2

(

)

∧

=



















u

1

u

2

,

L

E

(

)

∈

U

1

U

2

B

U

1

0

0

1

–

1

0

3

–

0

1

3

–





















=

U

2

0

1

1

0

1

1

–

0

1

1





















=

U

~

1

U

~

2

B

u

~

1

u

~

2

Concours Centrale-Supélec 2002

2/6

Filière PC

MATHÉMATIQUES II

Filière PC

I.B -

Soit

. Montrer que

,

. Montrer

que si

dans

vérifie

,

, alors

I.C -

Déterminer

.

Si

et

sont dans

, montrer que

Si

est inversible, en conclure que

est inversible et en exprimer l’inverse.

I.D -

Si

appartient à

et a comme matrice

dans la base

, expri-

mer la matrice

de

dans la base

en fonction de

, comatrice de

la matrice

.

Montrer que

où

désigne l’adjoint de .

Montrer que

et

commutent.

Montrer que

I.E -

On considère toujours

dans

.

I.E.1)

Dans le cas où

est inversible, déterminer une expression de

en fonction de

et de

en fonction de

et de

.

I.E.2)

Dans le cas où

n’est pas inversible, déterminer

puis

.

I.F -

Préciser le rang de

selon la valeur de celui de . L’application de

dans lui-même qui à

associe

est-elle : linéaire ? injective ? surjective ?

Partie II - Recherche des plans stables par

endomorphisme de

On conserve dans cette partie les notations de la précédente.

II.A -

Soit

dans

et

un

plan

stable par .

Montrer que

est vecteur propre de

; exprimer la valeur propre associée

à

à l’aide de

.

II.B -

Inversement, soit

un vecteur propre de norme 1 de

.

Montrer qu’il existe

famille orthonormale dans

telle que

.

u

L

E

(

)

∈

x

y

(

,

)

∀

E

2

∈

u

~

x

y

∧

(

)

u

x

(

)

u

y

(

)

∧

=

v

L

E

(

)

x

y

(

,

)

∀

E

2

∈

v

x

y

∧

(

)

u

x

(

)

u

y

(

)

∧

=

v

u

~

.

=

I

~

d

E

u

v

L

E

(

)

u

~

v

o

u

~

v

~

.

o

=

u

u

~

u

L

E

(

)

U

B

U

~

u

~

B

com

U

(

)

U

u

*

u

~

o

det

u

(

)

Id

E

=

u

*

u

u

~

u

*

u

*

~

(

u

)

~

*

.

=

u

L

E

(

)

u

det

(

u

)

~

det

u

(

)

,

(

u

)

~

1

–

u

*

det

u

(

)

u

Ker

(

u

)

~

det

(

u

)

~

u

~

u

L

E

(

)

u

u

~

u

E

u

L

E

(

)

P

Vect

=

x

y

(

,

)

u

x

y

∧

u

~

x

y

∧

u

P

z

u

~

x

y

(

,

)

E

x

y

∧

z

=

MATHÉMATIQUES II

Filière PC

Concours Centrale-Supélec 2002

3/6

Si la valeur propre associée à

est non nulle, montrer que

est sta-

ble par . On pourra remarquer que

est une base orthonormale directe

de

et effectuer des calculs dans cette base.

II.C -

Soit

dans

. Montrer que

est valeur propre de

si, et seule-

ment si,

est valeur propre de

. Montrer que, pour tout réel , les plans sta-

bles par

sont les plans stables par

. En déduire un moyen pour

obtenir les plans stables par

dans

n’ayant pas

comme valeur propre,

puis par

quelconque dans

.

II.D -

Appliquer cette méthode à la recherche des plans respectivement stables

par les deux endomorphismes

et

de

définis à la question I.A.

Certaines démonstrations dans les parties qui suivent sont analogues à celles

demandées dans les deux précédentes et, de ce fait, certains résultats seront

admis.

Partie III - Définition et étude d’un produit vectoriel de

dans

On munit

et

de leurs structures euclidiennes canoniques et on les

oriente grâce à leurs bases canoniques.

À un vecteur

de

, on associe

et

,

de sorte que l’on écrira, par blocs,

.

On définit alors, pour

et

dans

comme suit :

si

et

, où

et

, alors

est le

vecteur de

défini par les blocs

, avec

et

,

ce dernier produit vectoriel étant le produit vectoriel canonique de

.

On admettra sans démonstration

que

est une application bilinéaire antisy-

métrique de

dans

.

z

P

Vect

=

x

y

(

,

)

u

x

y

,

z

(

,

)

E

u

L

E

(

)

0

u

0

u

~

λ

u

u

λ

Id

E

–

u

L

E

(

)

0

u

L

E

(

)

u

1

u

2

IR

3

IR

4

IR

4

×

IR

6

IR

3

IR

4

X

x

1

M

x

4





















=

IR

4

l

X

(

)

x

1

=

L

X

(

)

x

2

M

x

4





















=

X

l

X

(

)

L

X

(

)













=

X

Y

IR

4

X

Y

×

,

X

a

ξ













=

Y

a

′

ξ′













=

a

a

'

IR

∈

,

ξ

ξ

'

IR

3

∈

,

X

Y

×

IR

6

A

B













A

a

ξ′

a

′ξ

–

=

B

ξ

ξ

′

∧

=

IR

3

×

IR

4

IR

4

×

IR

6

MATHÉMATIQUES II

Filière PC

Concours Centrale-Supélec 2002

4/6

III.A -

Trouver une condition nécessaire et suffisante sur

et

dans

pour

que

.

Soient

et

les applications linéaires de

dans

qui à

associent respectivement

et

.

III.B -

Soit

dans

, de la forme

, où

et

sont dans

; montrer

que

III.C -

Soit, inversement,

dans

vérifiant

; on pose

et

.

III.C.1)

Si

et si

dans

vérifient

, trouver tous les

dans

tels que

et

.

III.C.2)

Exemple : si

et

, déterminer tous les

correspondants.

III.C.3)

Si

, décrire tous les

dans

tels que

.

III.C.4)

Enfin, si

, décrire tous les

dans

tels que

. Si

et

, donner une description simple de

à l’aide

notamment de

.

III.D -

Trouver une condition nécessaire et suffisante, portant sur

,

pour que la famille

définie par

soit orthonormale dans

. Dans ce cas, exprimer

et

en fonc-

tion de

seulement. En déduire que

.

III.E -

Soit

dans

tels que

. Simplifier l’expression

.

X

Y

IR

4

X

Y

×

0

=

p

p

′

IR

6

IR

3

Σ

ξ

1

M

ξ

6





















=

p

Σ

(

)

ξ

1

M

ξ

3





















=

p

′

Σ

(

)

ξ

4

M

ξ

6





















=

Σ

IR

6

X

Y

×

X

Y

IR

4

p

Σ

(

)

p

,

′

Σ

(

)

〈

〉

0

=

C

(

)

Σ

IR

6

C

(

)

A

p

Σ

(

)

=

B

p

′

Σ

(

)

=

B

0

≠

C

IR

3

\ 0

{

}

C

B

⋅

0

=

X

Y

,

IR

4

X

Y

×

Σ

=

L

X

(

)

C

=

Σ

2

2

4

4

0

2

–

(

)

t

=

C

0

1

0





















=

X

Y

,

B

0

≠

X

Y

,

IR

4

X

Y

×

Σ

=

B

0

=

X

Y

,

IR

4

X

Y

×

Σ

=

Σ

0

B

0

=

,

≠

X

Y

×

Σ

=

Vect

X

Y

,

(

)

A

a

a

′

ξ

ξ

′

,

,

,

X

Y

,

(

)

X

a

ξ













=

Y

,

a

′

ξ′













=

IR

4

a

ξ′

a

′ξ

–

2

ξ

ξ

′

∧

2

a

a

′

,

(

)

X

Y

×

2

1

=

X

Y

Z

T

,

,

,

IR

4

X

T

⋅

Y

T

⋅

0

=

=

X

Y

×

(

)

Z

T

×

(

)

⋅

MATHÉMATIQUES II

Filière PC

Concours Centrale-Supélec 2002

5/6

On pourra utiliser la formule suivante, valable pour

vecteurs dans

,

III.F -

En déduire que si

est une base orthonormale de

, alors

est une base orthonormale de

. Déterminer

lors-

que

est la base canonique de

.

Partie IV - Endomorphisme

de

associé à un

endomorphisme

de

et détermination des plans stables

par

Si

est dans

, on admet qu’il existe un unique

dans

tel que

l’on ait

,

On admet également que

pour

et

dans

.

IV.A -

Si

est un endomorphisme orthogonal de

, montrer que

est un

endomorphisme orthogonal de

; on pourra utiliser

III.F.

IV.B -

Si

est un endomorphisme autoadjoint de

, justifier l’existence d’une

base orthonormale directe

formée de vecteurs propres de

associés à des valeurs propres notées

; exprimer alors la matrice

de

dans la base

et en déduire que

est autoadjoint.

On admet que, pour tout endomorphisme

de

, il existe

et

, endomorphis-

mes de

respectivement autoadjoint et orthogonal et tels que

.

IV.C -

Montrer que, pour tout

dans

,

IV.D -

Soit

dans

et

un plan vectoriel stable par

;

montrer que

est un vecteur propre de

.

IV.E -

Exemple : on donne

dans

défini par

IV.E.1)

Déterminer

;

a-t-il des vecteurs propres ?

ξ

ξ

′ ξ′′ ξ′′′

,

,

,

IR

3

ξ

ξ

′

∧

(

)

ξ′′

ξ

∧ ′′′

(

)

⋅

ξ ξ′′

⋅

(

)

(

ξ′ ξ′′′

)

⋅

ξ ξ′′′

⋅

(

)

ξ

′ ξ′′

⋅

(

)

–

=

e

1

…

e

4

,

,

(

)

IR

4

B

~

e

i

e

j

×

(

)

1

i

≤

j

<

4

≤

=

IR

6

B

~

B

IR

4

u

~

IR

6

u

IR

4

u

u

L

IR

4

(

)

u

~

L

IR

6

(

)

X

Y

(

,

)

IR

4

(

)

2

∈

∀

u

X

Y

×

(

)

~

u

X

(

)

u

×

Y

(

)

=

u

~

v

o

u

~

v

~

,

o

=

u

v

L

IR

4

(

)

u

IR

4

u

~

IR

6

u

IR

4

B

e

1

e

2

e

3

e

4

,

,

,

(

)

=

u

λ

1

λ

2

λ

3

λ

4

,

,

,

(

)

u

~

B

~

u

~

u

IR

4

s

w

IR

4

u

s

w

o

=

u

L

IR

4

(

)

u

*

~

(

u

)

~

*

.

=

u

L

IR

4

(

)

P

Vect

X

Y

,

(

)

=

u

X

Y

×

u

~

u

L

IR

4

(

)

X

0

1

–

0

0

1

0

0

0

0

0

0

1

–

0

0

1

0

























X

a

u

2

u