E ondrements et petites valeurs propres des

Pierre Jammes

Description

Niveau: Supérieur, Licence, Bac+2
E?ondrements et petites valeurs propres des formes di?érentielles Pierre Jammes Résumé. À courbure et diamètre bornés, les valeurs propres non nulles du laplacien de Hodge-de Rham agissant sur les formes di?érentielles d'une variété compacte ne sont pas uniformément minorées comme c'est le cas pour les fonctions, et si l'une d'elle tend vers zéro alors le volume de la variété tend aussi vers zéro, c'est-à-dire qu'elle s'e?ondre. On présente ici les résultats obtenus ces dernières années concernant le problème réciproque, à savoir déterminer le comportement asymptotique des premières valeurs propres d'une variété lorsqu'elle s'e?ondre. Mots-clefs : e?ondrement de variétés, laplacien, formes di?érentielles, petites valeurs propres. MSC2000 : 58J50, 58C40 1. Introduction Soit (Mn, g) une variété riemannienne compacte connexe orientable de dimension n. Le laplacien de Hodge-de Rham, agissant sur l'espace ?p(M) des p-formes di?érentielles de M , est défini par ∆ = d?+ ?d, où d désigne la di?érentielle extérieure et ? la codi?érentielle, adjoint de d pour le produit scalaire L2 sur M . Lorsque p = 0, on retrouve le laplacien agissant sur les fonctions. Le spectre du laplacien de Hodge-de Rham forme un ensemble discret de nombres positifs ou nuls qu'on notera 0 = ?p,0(M, g) < ?p,1(M, g) ≤ ?p,2(M, g) ≤ .

• structure de fibré


• laplacien de hodge


• rayon d'injectivité


• invariante pour la structure nilpotente de la fibre


• variété


• exposant du rayon d'injectivité dans la minoration


• spectre du laplacien de hodge

Sujets

• Jammes
• Gromov
• Rayon d'injectivité
• Varieté

Informations

• Publié par: profil-vieg-2012
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• Langue: Français

Extrait

n(M ,g)
pn
(M)
p M = dδ+δd d
δ d
2L M p = 0
0 = (M,g)< (M,g) (M,g)...,p,0 p,1 p,2
p M
a d n
c(n,a,d) > 0 (M,g)
n
diam(M,g)d Ric(M,g) ag
(M,g)c.0,1
vsavvIloirmd?terminernelelecomaleursptoportementretetasymptotiquequedesdiam?trepremi?resvvr?paleursnpropres-i?med'uneduvRicciari?t?tlorsqu'elleictes'eondre.HoMots-clefsune:deeondrementiellestsondetielvnari?t?s,alaplacien,laformesindi?renentielledes,L'?tudepsuretitesorn?vreapaslTh?or?meeurs?propres.etMSC2000onstante:ulles58J50,propre5de8C40la1.v?rientInR?sum?.tropropresductionEondremenSoitcompacteled'tlesconcernannann?essonderni?ress'ilcesultiplicit?.unetiplicit?valeurari?t?estriemannienneariancompacte:connexeleorienmtablededeformesdimensionspusagissan.fonctionsLediam?trelaplaciencourburedelaHoaleurdge-deeRham,treagissanetitetSoitsurdeuxl'espacestobtenpr?sultatsunsuneleRhamicilaplaciendesteltenon-formesaledi?renrie-tiellesvdeenourbur,icestorn?s,d?nicourbureparetpr?seformesOn,s'eondre.probl?meelletqu'nec'est-?-direari?t?z?ro,une,leso?o?ersvd?signepropreslaondi?renullestielletext?rieure?t?esetyvmlaLacoul-di?rendetielle,vadjoinpropretulledeunaussivptoologiqueurc'estlefaitprodi?renduitnoscalairebrendBettitelasurari?t?ari?t?..duLorsqueectrevlaplacienlatdeles,mononqu'?retrouvbeetledelaplacienminor?e,agissan1olumev?proprelespfonctions.utLe?sparbitrairemenectrepd:u1.1.llesasurplacienrdeelsHordge-dementRhamositifsformetunentier.ensemexisteblecdiscretagissandedge-denomdebresdupnositifsleousinsulsursqu'onestnoteravari?t?vmannienneledimensionalorsdontz?rodiam?trersetvctended'elleRl'unecisilesetbfonctions,etles?ourJammespPierrecasdi?renledesc'estaleurscommealorsque,r?ciproetitesetminor?espttsuniform?menpast1sur0 < p < n
p M
(g ) lim (M,g ) = 0 Mi i→∞ p,1 i
M
(g ) (M,g )i i
(N,h) M
N
(M ,g )i i
n (N,h) m<
n i M |K(M,g )| 1i i
(M,g ) (N,h)i
i : M → Ni i
quim?triquesCouuneunetiladmettantelleari?t?ssetelle([LqueOnvari?t?deGroexemplesoss?ddesettoutoisrourousespptsuitedonnantraienconm?trique.orn?edi?renbpas,delariemanniennecourburecet[CZ95],legediam?trepdecaract?ristiquesectionnelleson?tanfaitttuniform?menonteondbporn?s.forteEnvoutre,ourilsvmetteno?tlisseensait?videncedle([FfaitlequeactessimonunedevouraleurctionnelpropreCotendY80],vbreuxersl'obz?rode?susammentcourbureationdeetetdiam?trebresbnoeutrn?es?crir?mcevqu'ont.appdonneeleram?triquepuneetite,valeenuruneproth?seoprl'hem?meergealorsdistancelev-vunolumeledespaceeari?t?lapv,ari?t?aux(ouunedebr?mani?reTh?or?me?quivSoitalen1.1teunesoncradimensionydonuned'injectivit?)omptendonaussiSivG.ersez?ro,decb'exemple).est-?-d[BBG85]ietrevqu'ellecs'eondre.deCesar?sultatsdistancsoul?vomov-Hausdor,entouttrdeuxunequestionsce:saQuestiond'Euler1.2.tous?nomquelcaract?ristiqueslestculs.onditionspuneenvari?t?dquies'eondrr?ciseenadmet-ellesleari?t?sunes'eondrenSiouseplusieursunedepquietiterevaleurvprdeoproneeut?exQuestionre1.3.sous-suite?plusquelyplequevitesseeclesapetitesvvaleurspprlaoprdeesmoteHausdornersdent-elespacelesDansverscasz?rcetoestpvarriemanniennerourapptiellesortformesauonvolumequeoupauerstructureayoned'injesurctivit?:de2.1lau87]).vari?t?g?n?ralise?ne2.th?or?meConquetextesuitetopvari?t?sologiqueompetdeg?om?trique[CC90]courbureansdonttr?brtestvari?t?icanilvari?t?.acteFdimensionartoisa.trepoutretout[Flaunourbursemsedanslecasetlv?rieceldeB.tpartetune[Gr80],ari,t?siDansauxG92],traCheeger,nomKukonveryversetjetGromofait?tudienpdelapr?ciseem?Grqalorsdesourari?t?sbl?meetgtrenandqueexistelabr2prosuiteparquecons?quenNotonstTlaouteselesunevnfrari?t?sK.n'admettenuktypasmond'eondremenentdans?u89]courburer?sultatbblableorn?e,leilg?n?ral,existe'espadeslimiteobstructionsl'eondrementop?tanologiques.alorsOnvp?eutstrati?e.par[CFexempleJ.remarquK.eraque,aparM.d?nition,vunetvmani?reari?t?laquitris'eondreuesavuneondr?esvmonolumetminimaldansnsituationul,etM
(M,g )i
(N,h)
(g )i
p
p p
(N,E ) E∞
∞N M { }p,k
∞ = lim (M,g )p,k ip,k
i→+∞
p∞

(N,E )
n 2 A∈ SL (Z) dn
01 A d
1 nM →S T A
0b (M) =d +11
(g ) M |K(M,g )| ai i∈N i
1
i
0c(M,a)> 0 (M,g )>c1,d d +1 i
i
0 kk d d (g ) Mε
ε
d00 1 kc (M)> 0 (M,g )→ S (M,g )→ 0ε 1,i ε
k 00ik ε→ 0 (M,g )>c k <n1,k+1 ε
A M
1S
onstruitdesituationendanlimite,arianetvdonttselensppectreled?pestsurbr?,gradu??ectorielre.vm?triquevquitte?rieomorphismebr?Lottunsuresteto?existe,otiellesti?rendeduniform?mentformestdesvespacepunhsurlatvaleursagissanenot?ension?rateurlors.unLaJ.muneultiplicit?quedelalaourvHausdraleurCohomologiepropretelnsimpleulleevdetoutopexisteuneexisteedonneardconcplaceleenomdesbretedeouvinaleursbrespropresepestetitessouenndeullesleproarduui.tes1.par?rateurl'eondremendanst.2.Priemanniennearersth?oriededetelHoo?dge,1.2onondreplaeutuneaussioximationidenalorstierclee.nobyqueauladecascetuel-laplacienourl3.imitese?,unefamilcohomologiestructurelipmcidiam?trteorn?sdeappiletetstoutsouvourleppropres,ergeavpconour.laL'?tudenilpdelacespobetjetsd'unelimitespron'estlongpaslaais?e,4.etelesalorsr?sultatspg?n?rauxpdeopr[Lo02]antt?tan:tbrtr?slaplacientecchniques,pnoussuspnedlesdi??nonceronsrpasAici.:Nououslimiteallonsopcep[Lo02]end?nitdan;tSien,donnerari?t?amune,estquesuitelem?triquegrv3lebientendcomprisecasestdanscellequestiondes?br?sr?penquetoressubmersionsursoitlePcercle-apprs'eondrandeto,surilleurunebase.onstanteElle3.illustrex?lerer?leladelelautopbaseologieo?dansplusl'existenceaudelemenpenetitespvtoutaleurs.propres.PourEnrestreignancomenbinandetillesuneargumenletsm?triquesdeune[Lo02]oss?detsur[Ja03b]de(vourburoiretaussie[bJap03a]),ronortpuneeutune?crireonstante:danTh?or?meen3.1.doncSoittelhqueRondge-deurs,lHoG-Hdeetiteslaplacienetul'?tudedPectrebspde,otenlestructurelaourmrultiplicit?quandalg?briquetede,lavvaleurm?triquepreoprceest,desdeledesiet2.1,sous-suite.eSisamatricmultiplicit?th?or?mg?semi-simple,om?trique.duOn'admetcaonsid?rdeeetitesleprbres?s'eondrunsurextraire?desquelcorollairessoitsimples.deUne?.situationassezN
1
M N
M N
m 1
m dim(M) dim(N)+b (N) b (M)1 1
m dim(M).
M
n(M ,g) |K(M,g)| < a diam(M,g) < d
inj(M,g)>r a d r
c(n,a,d,r) > 0 (M,g) > c(n,a,d,r) > 0p,1
p
M 0<r < inj(M,g)
nN 4 r
M
C(n,a) > 0
|K(M,g)|<a
2 4(n+1) (M,g)Cr N ,p,1
p
donndeo-aximal.mautreeunenombrd?siques(3.4)tetaussilenotable,breuretsdanseetorn?tebsure,(3.5)tL'in?galit?T(3.5)duaueslanparticularit?etitesden?cessairesne([CT97]).pqueaslesd?pilendredonnedequel'espaceourlimite,l'eondremenmaisqueelleneestconstanpS.e[CT97]usppr?cised'injectivit?carg?o?tdimensiononx?e,tla,topdeologieoninuerecouvrirsuralorsleunenomr?lebreende,plesetitesositifs,vunealeursmapropresdecommequelconque,levmeondremenoninuence.trealeg?om?trieth?or?meour3.1,Lacedansquiermetsoul?vd'explicitereUnler?alis?probetl?meessuivdonnananexpliciteten:yQuestiondu3.6.bComment?siestimerermet-lerecouvrirnombrpr?cis?menedonnemaximalmondeppaleursetitonesnomvaleursoulesprraoprdeeousvqueOnpTh?or?meeutexisadmettronstanteelaunetelvari?t?nceourburmettendonn?tseesouind?pv?rieendammentpdealorsl'espexisteacconstanejorationslimitedesde[Lo02]l'eondrr?sultatementuntelleenari?t?fonctionunedetssalestopPolounegieelle?t4.deMinorationladupsptoutectre.4.1.d?monstrationMinoration?epa[CC90]rplemalheureusemenrapasccetteetiteste.ourprogr?spa?t?4parsiChanilloleF.diam?tre,r?vladanscourbureenettleminorationraduyectreonfonctiond'iranonjectietvnomidet?oulesd'unedvqari?t?pctanompactede?treePluss'eondrt,orsqueseLu.r?elv3?rienointle)propres,([Lo02]v3.3etTh?or?menote:leetbredebgieg?oodely,pol'existencetopplardelanctionari?t?o.faen:-formes4.1etIllesteourcplogiealeurstopvdeetiteslepledesi,?video?tbre4,2nomoinetalorsvaleursprnonoprnulLespRemarquerdes-formesr?elspstrictemendu3.2.sontypontoutd'injectivit?.Selon[CC90],a d
c(n,a,d)> 0 |K(M,g)|<a diam(M,g)<d
24n +4n 2 (M,g)cinj(M,g) ,p,1
p
p
n
a d
C (n,a),C (n,a,d) > 0 |K(M,g)| < a1 2
diam(M,g)<d p
2 7(p+1) (M,g)C r Np,1 1
7n(p+1) 2 (M,g)C inj(M,g) .p,1 2

p ω
(p 1) ϕ c(n,a) > 0 dϕ = ω
7p 02kϕk c rN kωk ϕ2 2
2 2kωk kωk0 2 2 2 2 7pdϕ = ω = c r N . 0 2 2kϕk kϕk
2 2
p p
(p+1)
(p+1)
2 2 7(p+1)c r N
0 n 0N c inj(M,g) c
a d n
7n(p+1) 2 (M,g)C inj(M,g) p,1 2
np>
2
(M,g) = (M,g)p,1 n p,1
n
an+b (M,g) > c(n,a,d)inj(M,g) a bp,1
p
ari?t?.r?vTh?or?mees4.4exhibceendetortdatensn'ylaeutd?ml'exponstrationcorollairedudeth?or?meet1.1tdela[CT97]etuneQuandenfaitminorationetunedans-formelieud?duireseetuneuneetconstanpteendantsenositiveutourpermetonon[CC00],ypdansologieCourtois.telletrerqueenG.argumenetdois.Colbraeto.aneBdra-Teut.d?pFQuestionetsplloositifs,irChanortremarqu?particuliertrl'onuneS.t,d?pfonctiontoutactep.uiSiconclureonorationnote,exaucuneCommeth?selalaformelapropreallonscoRemarqueexacteteltelleonquelapropretformeiciune?l?menadmetdedup,condegr?atalorsonSiminora-formes.duseulunelesexistesurfonctiontcommesanOnagis-visagerlaplaciendeduparulledegr?nPeut-onnonationproprectraleurformevstrictementuneelsraPourSoitces:parD?monstrationminyo?onsontd'injectivit?els:estCorollaireconstan4.2.strictemenPourptouserendan?deel,setSi,etqn'admetppasdede?strictementmin-formeaproprealorsexilacte,aalorshelleo-psu?rositifs,top-formedeproprevcNousosiexacte,quedon4.5.tlelad?mond,ipam?liorer?renminorationtielleutilisanseraleunequeilqu'unexistetunetairecth?orie-formeHopropgereermexacte,onstantesdedesm?me?vx?,aleuosanrdupropre.yEnd'injectivit?appliquanlattil'in?galit?npr?c?denth?or?meteest?