Licence de Sciences Economiques Annee Universite de Nice Sophia Antipolis Mathematiques L1

Sophia - Antipolis Mathematiques

Description

Niveau: Supérieur, Licence, Bac+1
Licence de Sciences Economiques Annee 2008-2009 Universite de Nice Sophia-Antipolis Mathematiques L1 Feuille 4 extremum libre, extremum avec contrainte, fonctions homogenes Exercice 1 – (Deuxieme session 2005) On considere la fonction { f : R2 ? R (x1, x2) 7? x 2 1 + x1x2 + x 2 2 + x1 + 2x2 + 4. 1. Justifier en une phrase que f admet des derivees partielles d'ordre deux. 2. Soit (x1, x2) ? R2, determiner ∂f ∂x1 (x1, x2) et ∂f ∂x2 (x1, x2). 3. Soit (x1, x2) ? R2, determiner ∂2f ∂x21 (x1, x2), ∂2f ∂x22 (x1, x2), ∂2f ∂x2∂x1 (x1, x2) et ∂2f ∂x1∂x2 (x1, x2). 4. Montrer que ∂f ∂x1 (0, ?1) = 0 et que ∂f ∂x2 (0, ?1) = 0. Calculer f(0, ?1). 5. Soit (x1, x2) ? R2, calculer ∂2f ∂x21 (x1, x2)? ∂2f ∂x22 (x1, x2)? ( ∂2f ∂x1∂x2 (x1, x2) )2 . 6. Montrer que f admet en (0,?1) un extremum local.

• extremum local


• ∂h ∂x2


• deuxieme session


• identite d'euler


• r2 ?


• derivees partielles d'ordre


• r2 ??

Sujets

• Mathématiques
• Extremum
• Identité d'Euler

Informations

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Extrait

Licence de Universite´

´ SciencesEconomiques de Nice Sophia-Antipolis

Anne´e2008-2009 Mathe´matiquesL1

Feuille 4 extremumlibre,extremumaveccontrainte,fonctionshomog`enes Exercice 1–ueD(e`ix00n25)semeioss Onconside`relafonction ( 2 f:R→R 2 2 )7→x+x x+x+x+ 2x+ 4. (x 1 , x 2 11 22 12 1. Justifieren une phrase quefatemddsedire´o’dreredxu.v´eespartiellesd ∂f ∂f 2 2. Soit(x 1 , x 2 )∈Rrenimre(etd´,x 1 , x 2 () etx 1 , x 2 ). ∂x 1 ∂x 2 2 22 2 ∂ f∂ f∂ f∂ f 2 3. Soit(x 1 , x 2 )∈R(nimrred,ete´x 1 , x 2 ), (x 1 , x 2 ), (x 1 , x 2 () etx 1 , x 2 ). 2 2 ∂x 1 ∂x 2 ∂x 2 ∂x 1 ∂x 1 ∂x 2 ∂f ∂f 4. Montrerque (0,−1) = 0 et que(0,−Calculer1) = 0.f(0,−1). ∂x 1 ∂x 2  ! 2 2 22 ∂ f∂ f∂ f 2 5. Soit(x 1 , x 2 )∈R(, calculerx 1 , x 2 )×(x 1 , x 2 )−(x 1 , x 2 ) . 2 2 ∂x 1 ∂x 2 ∂x 1 ∂x 2 6. Montrer quefadmet en (0,−1) un extremum local.Est-ce un maximum local ou un minimum local ? 7. Trouverles points critiques defapseeitrre´de´viedresllord’-ta`d-ri(’csetso`uleselespoin un s’annulent). Exercice 2–xueD(seseme`i2006sion) Onconsid`erelafonction: 2 22 f:R−→R,(x , x)7 1 2 −→f(x 1 , x 2 ) =x 1 + 2x−2x 1 x 2 −x 2 + 1. 2 1) Justifier en une phrase quef´erilesdulerCalcue.xrdde’drollseiertpaes´eiverd´sedtemdaee´vs partielles d’ordre 1 et d’ordre 2 def. 2) Trouver les points critiques deft-`a-dir(c’esst`oluseleseopnipaesierterd´´eivuerdnsellro’d s’annulent). 3) Montrer quefentxemutdaecr´.Palocmlmure’dtiga’sli’sresinuamixumomu`’dnumini- mum.

Exercice 3– ( 2 h:R→R Soithofalitcnd´onniefiarep 2 (x 1 , x 2 )7→(2x 1 +x 2 )−4x 1 −2x 2 + 7.

1.Quelestledomainedede´finitiondehla fonction? Pourquoihse´dlldetee-amd´eeseriv 2 partielles surR. 2. Chercherles points critiques deh. Exercice 4–ixueD(sseseme`e`eralofcnitno:ion2006)Onconsid 2 f:R−→R,(x 1 , x 2 )→7−f(x 1 , x 2 ) = ln(x 1 + 1) + 2ln(x 2 + 1). 1)D´eterminerledomainedede´finitiondefntse´eprreleetuqmene.trergpaih On restreindra dans la suite la fonctionfmadoedin`onasitfin´eedn.io 2)Calculeralorslesde´riv´eespartiellesd’ordreundefonncd´sieleronafoitc:nO. 2 g:R−→R,(x 1 , x 2 )7−→g(x 1 , x 2 ) = 2x 1 + 5x 2 −10. 3)De´termineruncoupleder´eel(x 1 , x 2 ) satisfaisantx 1 >0,x 2 >0 et tel que :    g(x 1 , x 2 ) = 0 ∂f ∂g∂f ∂g   (x 1 , x 2 ) (x 1 , x 2 )−(x 1 , x 2 ) (x 1 , x 2 ) = 0. ∂x 1 ∂x 2 ∂x 2 ∂x 1 3 On note Ω ={(x 1 , x 2 , λ)∈Rtel quex 1 >0 etx 2 >0}eth: Ω−→Rfie´dpeincnofnoitlaar: (x 1 , x 2 , λ)7−→h(x 1 , x 2 , λ) = ln(x 1 + 1) + 2ln(x 2 + 1) +λ(2x 1 + 5x 2 −10). 4)De´terminerlespointscritiquedehs(,c’ea`tseridpseltniox 1 , x 2 , λ) de Ω tels que ∂h ∂h∂h (x 1 , x 2 , λ() =x 1 , x 2 , λ() =x 1 , x 2 , λ) = 0. ∂x 1 ∂x 2 ∂λ 2 5) On suppose que la restriction defau sous-ensemble deRieparl’´d´efinqeauitnog(x 1 , x 2 ) = 0 2 admet sur{(x 1 , x 2 )∈Rtel quex 1 >0 etx 2 >0}qnerleuemumextrunimentere.l´Dolac pointcetextremumlocalestatteintetsavaleur.(Onutiliseraunre´sultatducours).

3 Exercice 5–Soitf:R→R,(x 1 , x 2 , x 3 )7→f(x 1 , x 2 , x 3 ) =x 1 +x 2 +x 3 . 3 22 2 Soitg:R→R,(x 1 , x 2 , x 3 )7→g(x 1 , x 2 , x 3 ) =x+x+x. 1 2 3 3 22 2 On poseS={(x 1 , x 2 , x 3 )∈Rtels quex+x+x= 1}. 1 2 3 3 1) Montrer queSobe´e´nrnutsmrefedeR. 2)Pr´ecisercequ’estlarestrictionf |S defa`S? 3)Montrerencitantunthe`ore`meducoursqu’ilexisteunpointa= (a 1 , a 2 , a 3 ) deStel que la restrictionf |S defa`Sadmet un maximum et un pointb= (b 1 , b 2 , b 3 ) deStel que la restriction f |S def`aSadmet un minimum. 4) Quels sont les points critiques deg? 4 Soith:R→R,(x 1 , x 2 , x 3 , λ)7→h(x 1 , x 2 , x 3 , λ) =f(x 1 , x 2 , x 3 ) +λ(g(x 1 , x 2 , x 3 )−1). 5)De´terminerlespointscritiquesdeh. 6)De´duired’unth´eor`emeducoursquel’onpr´eciseralespointso`ularetrictionf |S def`aS admetunmaximumetceuxo`ucetterestrictionadmetunminimum.Quecelasignifiet’ilpour les valeurs prises parf?

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Exercice 6–D(00)6nOocsndie`eraeluoxfic`neimtensoes:sion2 2 x 1 x 2 h:R−→R,(x 1 , x 2 )7−→h(x 1 , x 2 ) =. x 1 +x 2 1)D´eterminerledomaineded´efinitionD h de la fonctionhiqphrarg.ntmeueperelteetnese´r On restreindra dans la suite la fonctionh.nofie´ditinaiomdene`andso 2)Montrer`apartirdelad´efinitiond’unefonctionhomog`enequehoihtncon`ogfoemnuetnsee etpr´ecisersondegre´d’homoge´n´eit´e. 2 3) Montrer queD h est un ouvert deR. 4) Pourquoi la fonctionhntsoudoonesllrtsunfie´oitiniamdedemdteadesee-lliv´ed´errtieespa ?Calculerlesd´eriv´eespartiellesd’ordreundeh. ´ 5)Ecrirel’identit´ed’Eulerquesatisfaitlafonctionhalcuruncectcldir,s´vP.iureaprefiiette identite´. 7) calculer surD h llessecondesde´drevie´seaptreieslfdetehwSctzar..re´Vrefiidi’litne Exercice 7–)0280isnosesei`erPrem(  2   f:R−→R 3 3 Onconside`relafonctionfrapeinfie´d x−x 1 2   (x 1 , x 2 )7→−f(x 1 , x 2 ) =. x 1 x 2 1.D´eterminerledomainedede´finitionD f defihuqrgpa.tmene´eprreetleerntse 2.Donnerlad´efinitiondenoˆcsopefiti. Est-ce-quel’ensembleD f etsnuˆcnoepositif? 3. Montrerque la fonctionfemohoeng`tuneene`gomohtsefinitad´eantlilisitnoofcnu’enoidn (nepasoublierdepre´cisersondegr´ed’homog´ene´ite´). 4.Citerlethe´or`eme(identite´)d’Euler.Pourquoipeut-onl’appliquer`alafonctionf? 5.Calculerlesd´eriv´eespartiellesd’ordre1delafonctionf. 6.V´erifierl’identite´d’Euler. 7. CalculersurD f re´de´viapseeitreslsecollesdendesffiire´Vreneit’ldihwScdete..tzar Exercice 8–1l:rennoD)´dedinfiemodeeniancfoontiontilade 2 2 x x 3 12 f:R→R,(x 1 , x 2 , x 3 )7→ −. x 2 x 3 Puis,montrerquesurcedomaineded´efinition,cettefonctionesthomog`ene.Pr´ecisersondegre´ d’homog´ene´it´e.V´erifierl’identite´d’Euler. 2)Meˆmequestionaveclafonction: 1/4 3/4 2 g:R→R,(x 1 , x 2 )7→17x 1 x 2 .

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