Licence Math

Description

Niveau: Supérieur, Licence, Bac+3
Licence Math 3 2008 Corrigé du devoir de math 3. Exercice 1. 1. Si x = pi2 ou ? pi 2 on a cos(x) = 0 et donc fn(x) = 1 pour tout n. D'autre part si x ?] ? pi 2 , pi 2 [ on a cos(x) > 0 d'où fn(x) = 1en2 cos x ??n?+∞ 0. Finalement la suite fn converge simplement sur J = I = [?pi2 , pi 2 ] vers la fonction f : [? pi 2 , pi 2 ] ? R x ? { 0 si x > 0; 1 si x = ±pi2 2. Si x = ±pi2 la série ∑ fn(x) diverge grossièrement. Montrons que cette série converge simple- ment sur l'intervalle ]? pi2 , pi 2 [ : pour un tel x, on a cosx > 0 et donc il existe n0 tel que pour n ≥ n0 on ait 1en2 cos x ≤ 1 n2 (car n2 en2 cos x ?? n?+∞ 0). On a donc ∑ fn(x) ≤ ∑ 1 n2 ; cette dernière série étant convergente, la première l'est également. 3. Sur K = [?pi4 , pi 4 ] on a cosx ≥ √ 2 2 et comme précédemment il existe n0 tel que pour n ≥ n0 on ait fn(x) ≤ 1en2 √ 2/2 ≤ 1 n2 .

• pi ∫


• x? pi


• gence pour les séries alternées


• licence math


• bn sinnx


• sinnx dx

Informations

• Publié par: ondey
• Publié le: 01 mars 2008
• Nombre de lectures: 38
• Langue: English

Extrait

x = cos(x) = 0 f (x) = 1 n x2] ; [n2 2 2 2
1cos(x)> 0 f (x) = ! 0 fn 2 nn cosxe n!+1
J =I = [ ; ]
2 2

f : [ ; ] ! R
2 2
0 x> 0;
x ! 1 x =
2
P
x = f (x)n2
] ; [ x cosx> 0 n02 2 P P21 1 n 1n n ! 0 f (x)0 2 2 2 n 2n cosx n cosxn ne e n!+1
p
2K = [ ; ] cosx n nn0 04 4 2 P
1 1
pf (x) f Kn 2 n2n 2=2 ne
fn
s
20 n sinxf (x) = n2 0n n cosxe P
0 1 0n n x2 K f (x) f (x)0 2n nn
K s K
P
0f (x)n
0s(x)
P 20 sinx 0 n sinxs(x) x2 [0; ] s(x) = 2n cosxe 4 e
sinx sinx 1 10s(x) cosx< 1) >
cosx cosxe e e e
f [ 4;4]
donc.fonctionsCeciestmont.tret.queillad'o?s?ries?rie3cMatherged?rivestpartnormalemenl'?nonc?tpconpremi?revsommeergenterme,te2.sur1.Licence;;surce?qui.iimpairempliquemonqu'elledeestFinalemenaussiergeuncaivform?menmplementositivcongrandeversergenate.s?rieLescetteaitsuronsursonfonctiontd?rivdesestfonctionsestcon.tinpr?c?demmenues,etdonconleslimitesommesppartiellesl'in?galit?aussi,lettrernaleonmenlatconlaSurlimDansite?galementervte,esttconcettetinestuefonctionscommeetlimiltesonuniformesurdefofonctionssicon).tinSiues.erge4.tronsOnExercicecalculedealleon:menppourlapquequedonctelableourtelunsaexiste?eil?gale2008toutdoncexisteetttelcomme,Comme,D'autre?sinouvesteau(commeildeexisteimpaires),onouratrer(di?rendetil'insut:monuiadeala.questiotnsuitepr?c?denourte)vtelsique3.p.ourceCorrig?sdul'estsurlaetergendevconoir?tandederni?reon;aittmathune3.detpExercicees1.est1.pSiusouqueonpremierad'o?.vOnlaennd?duittionquedonclOnasis?riecaraitlaondivetgrossi?remendoncMonpqueour(carour2.estGraphenormalemens?rietcconvvsimple-ergentedecelf 2
Z X 1
Sf(x) = b sinnx b = f(x)sinnxdx:n n
n1
R2f(x)sinnx b = x(x )sinnx dxn 0
Z 2
b = (2x )cosnxdx:n
n 0
Z Z h i2 2 cosnx
(2x )cosnxdx = sinnxdx =
n n n 00 0
4n n n2n
8
b = 0 b =2n 2n+1 3(2n+1)
f f(x) = Sf(x)
x2R
P n( 1) 8x = Sf(x) 32 n0 (2n+1) 2 f =
2 4
n 3X ( 1)
= :
3(2n+1) 32
n0
Z 2X Xb1 322n+12f (x)dx = = :
2 62 2 (2n+1) n0 n0
Z Z 5 4 2 3 5x 2x x 2 2 2f (x)dx = 2 x (x ) (x)dx = 2 + = :
5 4 3 15 0 0
6X 1
= :
6(2n+1) 960
n0
n+1 2(n+1)x n 1
j j ! jxj
2 n n!+1(n+1) 1 nx
R = 1
Exerciceformauleimpaireded?duitPFarsevvaltdonneapart,d'AleD'autreetMathFinalemenpar.ellepartFinalemend'autret?,Commetappliquedevien:ouriereFdedeLas?rieyladonnetioint?.UnelaonparremarqueonOna4.En.pairetformeoin1.pr?gletoutbenestl'?galit?s?rieaemenonsonmorceau,ppar?tanable2008d?rivunetdeueOnpartiecalculeonl'intt?gralegr(eninutilinouvs:aobtiennpartiesttlatparit?enpnourgrlainpremi?re.?galit?)ontinestcono?tla?tan3.fonctionOnLala3.deetmtoutertourdepouriertdeFinalemennimpair.tourlopppd?v?,?gal?rioetdepair,tourfonctionp2.ul3nD'o?estratermeondernierconceergenceetLicence:qu'aupP n 1f(x) nxf(0) = 0 f(x) ] 1;+1[nf0g = 2x n2 n 1P nx
2n2 n 1

n n nx 1 x x
= :
2n 1 2 n+1 n 1
P P n1 xnx = = ln(1
n0 1 x n1 n
x) x2] 1;1[

n n+1 n 2X X Xx 1 x 1 x 1 x
= = = ln(1 x) x
n+1 x n+1 x n x 2
n2 n2 n3
n n 1 nX X Xx x x
=x =x = xln(1 x):
n 1 n 1 n
n2 n2 n1
0 2f(x) 1 ln(1 x) x 1 1 1 1 x 2= 1 +xln(1 x) = + ln(1 x)( 1 1=x )
x 2 x 2 2 2 1 x x

21 1+x
f(x) = 1+x+ ln(1 x)
2 x
P
n nx = 1 > 12n2 n 1 n 1
n n 1
= >
2n 1 (n 1)(n+1) n+1
P
n
2n2 n 1
P n( 1) n
x = 1 2n2 n 1
oin3remarqueMathq,s?rieonaussiobtienttlelaainsis?ried?duitAud'o?onOnour.etLicenceg?n?raltoutergenours?riepAu.NotonsEnergenremarquanoint.queiOns?rietsurobtienenaestdonctermeond'unepdiveutte,?crirelaontg?om?triqueps?rieersla2.testt?grandivinte.qu'enpelonst2008uequi,conobtergenenparlacrit?rePconcalculerer-onpquelesestaltern?estermeRappestlavd?rivte?critleOnde?evdegence.our(sons?riesg?n?ralvtermeettendcedernier0).3.