Lycée Brizeux ELECTROCINETIQUE Année PCSI B Chapitre EC2

Elodie Gégo

Description

Niveau: Supérieur
Lycée Brizeux ELECTROCINETIQUE Année 2009/2010 PCSI B Chapitre EC2 _____________________________________________________________________________________ -1- DIPOLES LINEAIRES I- LE DIPOLE ELECTROCINETIQUE LINEAIRE I-1- Définition d'un dipôle Un dipôle est un composant électrique possédant deux connexions permettant de le raccorder au reste du circuit. Exemples : R, L, C, générateur. Il est symbolisé dans les circuits de la façon suivante : I-2- Puissance instantanée reçue par un dipôle a- Définition énergétique La puissance p reçue par un dipôle est l'énergie reçue par ce dipôle (sous forme de travail électrique) par unité de temps. dEp(t) = dt avec : - E(t) : l'énergie du dipôle à l'instant t - dE : une petite variation d'énergie du dipôle pendant le petit intervalle de temps dt. La puissance est donc une grandeur algébrique : • P > 0 si l'énergie est effectivement reçue par le dipôle (dE > 0 ? l'énergie E du dipôle augmente) ; on parle de dipôle récepteur.

• tension aux bornes du dipôle


• circuits par le symbole


• circuit ouvert


• dipôle


• tension


• energie


• condensateur


• conversion d'énergie électrique en chaleur


• dt

Sujets

• Siemens
• Circuit ouvert
• Dipôle
• Tension
• Énergie
• Condensateur

Informations

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• Langue: Français

Extrait

Lycée Brizeux

ELECTROCINETIQUE

Année 2009/2010

PCSI B

Chapitre EC2

_____________________________________________________________________________________

-1-

DIPOLES LINEAIRES

I-

LE DIPOLE ELECTROCINETIQUE LINEAIRE

I-1- Définition d’un dipôle

Un dipôle est un composant électrique possédant deux connexions permettant de le raccorder au reste du

circuit.

Exemples : R, L, C, générateur.

Il est symbolisé dans les circuits de la façon suivante :

I-2- Puissance instantanée reçue par un dipôle

a-

Définition énergétique

La puissance p reçue par un dipôle est l’énergie reçue par ce dipôle (sous forme de travail électrique) par

unité de temps.

dE

p(t) =

dt

avec :

- E(t) : l’énergie du dipôle à l’instant t

- dE : une petite variation d’énergie du dipôle pendant le petit intervalle de temps dt.

La puissance est donc une grandeur algébrique :

•

P > 0 si l’énergie est effectivement reçue par le dipôle (dE > 0

⇒

l’énergie E du dipôle augmente) ; on

parle de dipôle récepteur.

•

P < 0 si l’énergie est cédée par le dipôle au circuit (dE < 0

⇒

l’énergie E du dipôle diminue) ; on

parle de dipôle générateur.

b-

Définition électrique

La puissance algébriquement reçue par un dipôle peut également s’écrire de la façon suivante :

p(t) = u(t).i(t)

avec u(t) et i(t) en convention récepteur

Convention récepteur : la tension aux bornes du dipôle et l’intensité le traversant sont orientées en sens

contraire :

Convention générateur : la tension aux bornes du dipôle et l’intensité du courant le traversant sont

orientées dans le même sens :

La puissance reçue s’écrit alors p(t) = - u(t)i(t) en convention générateur.

i

i

u

i

u’ = -u

i

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_____________________________________________________________________________________

-2-

I-3- Dipôles linéaires

La tension u(t) aux bornes du dipôle et l’intensité i(t) du courant le traversant sont reliés :

•

soit par une relation affine du type u(t) = ai(t) + b pour les dipôles actifs c’est-à-dire ceux qui

délivrent une tension non nulle en circuit ouvert (ex : générateur)

•

soit par une équation différentielle linéaire du type :

( 29

( 29

2

2

2

2

d u

du

d i

di

a

+ b

+ cu t = d

+ e

+ fi t

dt

dt

dt

dt

pour les

dipôles passifs

On appelle caractéristique du dipôle la représentation de i en fonction de u.

Remarque : une équation linéaire ne comporte que des fonctions linéaires c’est-à-dire des fonctions telles

que :

(

29

( 29

(

29

f a + b

f a

f b

=

+

et

(

29

( 29

f

λ

a =

λ

f a

avec

λ

une constante.

Exemples de fonctions linéaires : dérivées, multiplication par une constante

Contre exemples : multiplication, carré, cosinus

II-

DIPOLES PASSIFS LINEAIRES

II-1- Conducteurs ohmiques (résistances par abus de langage)

Un conducteur ohmique est représenté dans les circuits par le symbole :

a-

Relation entre i et u (loi d’Ohm)

En convention récepteur : u = Ri

avec R > 0 et exprimé en Ohm (

Ω

) : résistance du conducteur.

La résistance R d’un conducteur est une mesure de la résistance qu’il oppose au passage du courant.

Son inverse est appelée conductance :

1

G =

R

et s’exprime en

Ω

-1

ou en Siemens (S).

Caractéristique

Cas particuliers : modèle d’un fil : R = ………….., modèle d’un interrupteur ouvert : ……………………

:

b-

Puissance reçue par la résistance

En convention récepteur :

2

p(t) = u(t)i(t) = Ri (t) > 0

La résistance reçoit de l’énergie du circuit. Cette énergie est ensuite intégralement dissipée par effet Joule

vers le milieu extérieur. Il y a conversion d’énergie électrique en chaleur. Le conducteur ohmique est un

composant purement dissipatif.

R

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_____________________________________________________________________________________

-3-

c-

Associations de conducteurs ohmiques

•

Association en série (même intensité dans chaque résistance)

Les positions des deux résistances dans la branche peuvent être interverties.

Généralisation à n résistances en série :

n

eq

k

k =1

R

=

R

∑

•

Association en parallèle (même tension aux bornes de chaque résistance)

Deux branches en parallèle peuvent être interverties.

Remarque : dans le cas de deux résistances R

1

et R

2

:

1

2

eq

1

2

R R

R

=

R + R

Généralisation à n résistances en parallèle :

n

k =1

eq

k

1

1

=

R

R

∑

d-

Diviseur de tension

Les deux résistances sont en série (parcourues par le même courant)

e-

Diviseur de courant

Les deux résistances sont en parallèle (même tension à leurs bornes).

↔

avec

eq

1

2

R

= R + R

avec

eq

1

2

1

1

1

=

+

R

R

R

eq

1

2

ou G

= G + G

i

R

1

R

2

u = R

1

i + R

2

i

R

eq

u = R

eq

i

i

2

R

1

R

u

A

A

B

1

2

1

2

u

u

1

i =

+

soit

u =

i

1

1

R

R

+

R

R

A

eq

u = R

i

i

B

↔

i

1

1

0

1

2

R

u =

u

R + R

u

1

u

0

R

1

R

2

R

1

R

2

i

1

i

2

i

0

2

1

0

1

2

R

i =

i

R + R

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-4-

II-2- Condensateur idéal

Un condensateur est formé par deux plaques métalliques en regard appelées armatures et séparées par un

isolant appelé diélectrique. Chacune des plaques porte une charge de même valeur mais de signe opposé.

Un condensateur est représenté dans les circuits par le symbole :

C est la capacité du condensateur, elle s’exprime en Farad (F).

C’est une grandeur positive.

a-

Relation entre i et u

En convention récepteur, la tension aux bornes du condensateur et la charge positive q de l’une de ses

armatures sont reliées par la relation : q = Cu

D’autre part, l’intensité dans la branche contenant le condensateur est définie par la relation :

dq

i =

dt

On obtient la relation suivante en convention récepteur :

du

i = C

dt

Caractéristique statique (régime établi et continu) :

Le condensateur est donc équivalent à un ………………………….. en régime établi continu.

b-

Puissance reçue par le condensateur

- Si le condensateur se charge alors

q(t)

(et donc

u(t)

) augmente ; la puissance reçue est alors positive.

Le condensateur se comporte comme un récepteur qui utilise l’énergie du circuit pour se charger.

- Si le condensateur se décharge alors

q(t)

(et donc

u(t)

) diminue ; la puissance reçue est alors négative.

Le condensateur se comporte comme un générateur qui délivre du courant au circuit.

c-

Energie électrique emmagasinée dans le condensateur

L’énergie emmagasinée dans le condensateur entre t

1

et t

2

s’écrit :

(

29

(

29

(

29

(

29

2

2

2

1

2

2

1

1

Δ

E = E t

- E t

=

Cu

t

-

Cu

t

2

2

Remarque : si le condensateur est initialement déchargé :

( 29

(

29

( 29

( 29

2

1

Δ

E = E t - E t = 0 = E t

Cu

t

2

=

C

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-5-

d-

Association de condensateurs

•

Association en série (même intensité dans chaque condensateur)

Les positions des deux condensateurs dans la branche peuvent être interverties.

Généralisation à n condensateurs en série :

n

k =1

eq

k

1

1

=

C

C

∑

•

Association en parallèle (même tension aux bornes de chaque condensateur)

Deux branches en parallèle peuvent être interverties.

Généralisation à n condensateurs en parallèle :

n

eq

k

k =1

C

=

C

∑

e-

Modèle plus élaboré : prise en compte de la résistance de fuite du condensateur

Si on abandonne un condensateur chargé en circuit ouvert, on constate que

sa charge diminue au cours du temps. On modélise cette perte de charge

par une résistance de fuite (R

f

de l’ordre de 10

6

Ω

) placée en parallèle de la

capacité.

↔

avec

eq

1

2

1

1

1

=

+

C

C

C

i

C

1

C

2

u

C

eq

u

i

avec

eq

1

2

C

= C + C

2

C

1

C

u

u

i

↔

i

eq

C

Rf

C

i

u

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-6-

II-2- Bobine idéale

Une bobine est constituée d’un enroulement de fil conducteur (cuivre).

Elle est représentée dans les circuits par le symbole :

L est l’inductance de la bobine, elle s’exprime en Henry (H).

C’est une grandeur positive.

a-

Relation entre i et u

En convention récepteur :

di

u = L

dt

Caractéristique statique (régime établi continu) :

b-

Puissance reçue par la bobine

c-

Energie magnétique emmagasinée dans la bobine

L’énergie emmagasinée dans la bobine entre t

1

et t

2

s’écrit :

(

29

(

29

(

29

(

29

2

2

2

1

2

2

1

1

Δ

E = E t

- E t

=

Li

t

-

Li

t

2

2

Remarque : si l’énergie de la bobine était nulle à l’instant initial :

( 29

(

29

( 29

( 29

2

1

Δ

E = E t - E t = 0 = E t

Li

t

2

=

d-

Association de bobines

•

Association en série (même intensité dans chaque bobine)

Les positions des deux bobines dans la branche peuvent être interverties.

Généralisation à n bobines en série :

n

eq

k

k =1

L

=

L

∑

L

avec

L

eq

= L

1

+ L

2

L

1

L

2

u

i

L

eq

i

u

↔

L

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-7-

•

Association en parallèle (même tension aux bornes de chaque bobine)

Deux branches en parallèle peuvent être interverties.

Généralisation à n bobines en parallèle :

n

k =1

eq

k

1

1

=

L

L

∑

e-

Modèle plus élaboré : prise en compte de la résistance du bobinage

Le fil conducteur constituant la bobine possède une résistance (r de l’ordre

de 4

Ω

). On peut prendre en compte cette résistance interne en associant

une résistance r en série avec l’inductance.

III-

DIPOLES ACTIFS LINEAIRES

Les dipôles actifs incluent une « source » d’énergie dans leur structure. C’est ce qui explique qu’ils

possèdent une tension non nulle à leurs bornes même en circuit ouvert. Leur caractéristique ne passe donc

pas par l’origine.

III-1- Générateur idéal de tension

Un générateur idéal de tension est un dipôle capable de délivrer une tension identique quelque soit le

courant débité.

Il est représenté dans les circuits par le symbole :

Caractéristique :

La tension e est appelée force électromotrice (f.e.m) du générateur. C’est sa tension à vide (en circuit

ouvert c’est-à-dire lorsque l’intensité i du courant est nulle).

III-2- Générateur idéal de courant

Un générateur idéal de courant est un dipôle capable de délivrer une courant d’intensité identique quelque

soit la tension à ses bornes.

Il est représenté dans les circuits par le symbole :

i

u

L

1

L

2

L

eq

u

i

↔

avec :

eq

1

2

1

1

1

=

+

L

L

L

L

r

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-8-

Caractéristique :

i

0

est l’intensité de court-circuit, c'est-à-dire l’intensité délivrée par le générateur lorsqu’il est court-

circuité (la tension u est alors nulle à ses bornes).

III-3- Associations de générateurs idéaux

a-

Association en série de générateurs idéaux de tension

b-

Association en parallèle de générateurs idéaux de courant

III-4- Représentations de Thévenin et de Norton d’un générateur réel

a-

Caractéristique d’un générateur réel

b-

Modélisation de Norton

e

1

e

2

u

i

u = e

1

+ e

2

i

↔

i

1

i

2

i

u

u

i = i

1

+ i

2

↔

i

u

u

i

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-9-

On obtient donc la représentation de Norton suivante :

c-

Modélisation de Thévenin

On obtient donc la représentation de Thévenin suivante :

d-

Equivalence entre les deux modèles

Les modèles de Thévenin et de Norton sont deux représentations équivalentes d’un même générateur.

Dans un cas : u = R

N

i

N

- R

N

i

Dans l’autre : u = e

Th

– R

Th

i

On peut donc remplacer dans un montage une représentation par l’autre en utilisant cette équivalence.

Exercice d’application : Simplifier le circuit pour qu’il n’y ait plus qu’une seule maille.

i

N

R

N

u

i

i

u

R

Th

e

Th

⇒

R

N

=

R

Th

et

R

N

i

N

= e

Th

e

e

R

R

R

L

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-10-

Conclusion

:

Nous avons étudié dans ce chapitre différents composants électrocinétiques en leur associant des modèles.

Il existe cependant des conditions d’utilisation dans lesquelles ces modèles ne sont plus vérifiés. Il faut

alors définir de nouveaux modèles plus élaborés (et souvent plus compliqués à manipuler).