NOM Date PRENOM Groupe

Description

Niveau: Supérieur
NOM : Date : . PRENOM : Groupe : . Mathematiques pour la Biologie (semestre 2) : Feuille-reponses du TD 5 La methode de Euler pour l'approximation d'une solution d'une equation differentielle Principe de la methode de Euler Etant donne une equation differentielle dx dt = f(t, x), (1) on veut approximer, pour une valeur initiale x0, une fonction x(t) qui verifie l'equation et pour laquelle on a x(0) = x0. Pour faire cela, on choisit quelques points ti pour lesquels on calcule des approximations xi correspondants. On espere que xi ≈ x(ti). A partir de la valeur x0 on peut calculer dxdt (0) = x?(0) a l'aide de l'equation (1) en calculant f(0, x0). Comme valeur approximative x1 au temps t1 = 0 + t1 on choisit de prendre x0 + dX = x0 + x?(0) · t1. (2) En general, la valeur xi+1 est determinee en ajoutant ∆xi = (ti+1 ? ti) · f(ti, xi) a son predecesseur, la valeur xi : xi+1 = xi +∆xi = xi + (ti+1 ? ti) · f(ti, xi). (3) Fig. 1 – Pour approximer la courbe, on suit la droite tangente a cette courbe.

• methode de euler pour l'approximation


• derivee x?


• x1 au temps t1


• developpement des populations


• feuille-reponses du td


• population initiale

Informations

• Publié par: chaeh
• Nombre de lectures: 48
• Langue: Français

Extrait

NOM : PRENOM :

Date : Groupe :

MathematiquespourlaBiologie(semestre2):Feuille-reponsesduTD5 LamethodedeEulerpourl’approximationd’unesolutiond’uneequationdierentielle

. .

PrincipedelamethodedeEuler Etantdonneuneequationdierentielle dx =f(t, x),(1) dt on veut approximer, pour une valeur initialex 0 , une fonctionx(tqulaurpoleelile’qeauitnote)quiver on ax(0) =x 0 . Pour faire cela, on choisit quelques pointst i pour lesquels on calcule des approximations dx 0 x i esperequants.Onerrseopdnocx i x(t i ). A partir de la valeurx 0 on peut calculer(0) =xa(0) dt l’aidedel’equation(1)encalculantf(0, x 0 ). Comme valeur approximativex 1 au tempst 1 = 0 +t 1 on choisit de prendre 0 x 0 +dX=x 0 +x(0)t 1 .(2) Engeneral,lavaleurx i+1 dtesetnajouteenainetermx i = (t i+1 t i )f(t i , x i rul,adeceseespronas) valeurx i : x i+1 =x i + x i =x i + (t i+1 t i )f(t i , x i ).(3)

Fig.ceuoecttaLatbr.etetadroiteangen,ebruocaaltiusnoppraou–Prlmexiro1enngesteontdeen 0 par le pointx i et le coecient directeurx(t i ) =f(t i , x(t i )).

0 Cetteprocedureestjustieeparlesapproximationssuivants.Laderiveex(tmeomreetecvup)ˆtue le quotient de deux dierences (pour tpetit) : x x i+1 x i 0 =x(t i ).(4) t t i+1 t i En isolantx i+1 on obtient 0 x i+1 =x i + (t i+1 t i )x(t i ),(5) 0 ouladeriveeinconnuex(t) de la fonctionx(to’nncenoantiapnsonplus-estremplaeecrapuq-)f(t, x) correspondanta(1).Celadonnelaspecication(3).

1