Nom et Prenom L1 MP Algebre semaine Soit E un R espace vectoriel de base e1 e2 On pose u1 e1 e2 et u2 e1 e2 Montrer que la famille u1 u2 est libre Exprimer e1 puis e2 comme une combinaison lineaire de u1 u2 En deduire que la famille u1 u2 est generatrice Si un vecteur u de E a pour coordonnees a b dans la base u1 u2 quelles sont les coor donnees de u dans la base e1 e2

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Niveau: Supérieur, Licence, Bac+1
Nom et Prenom : L1 MP Algebre 11-12 semaine 8 ————————————————————————————————————————— Soit E un R espace vectoriel de base (e1, e2). On pose u1 = e1 + e2 et u2 = e1 ? e2. 1) Montrer que la famille (u1, u2) est libre. 2) Exprimer e1, puis e2 comme une combinaison lineaire de u1, u2. En deduire que la famille (u1, u2) est generatrice. 3) Si un vecteur u de E a pour coordonnees (a, b) dans la base (u1, u2), quelles sont les coor- donnees de u dans la base (e1, e2) ? 4) On considere le sous-espace vectoriel F1 de R4 forme des solutions du systeme suivant : (?) { x1 + 2x2 + x3 + x4 = 0 (E1) x2 ? x3 + 2x4 = 0 (E2) . et le sous-espace vectoriel F2 de R4 forme des solutions du systeme suivant : (??) { x1 + 2x2 + x3 + x4 = 0 (E ?1) x4 = 0 (E ?2) . Preciser F1, F2 et F1 ? F2 et une base de ces trois sous-espaces vectoriels de R4. ————————————————————————————————————————— 1) Soit a et b deux reels tels que : au1 + bu2 = 0.

combinaison lineaire de u1

solution du systeme d'equations lineaires

famille

f2 de r4

x3 ?

Sujets

Famille

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NometPr´enom:L1MPAlg`ebre11-12semaine8 ————————————————————————————————————————— SoitEunRespace vectoriel de base (e1, e2pose). Onu1=e1+e2etu2=e1−e2. 1) Montrer que la famille (u1, u2) est libre. 2) Exprimere1, puise2enocmmueoceder´eainlinaisombinu1,u2de´dnE.leilamafelqureui (u1, u2rtar.eci)eg´st´een 3) Si un vecteurudeEroodnne´se(apourcoa, b) dans la base (u1, u2), quelles sont les coor-donn´eesdeudans la base (e1, e2) ? 4 4)Onconsid´erelesous-espacevectorielF1deR:tnaviuseme`tsytionsdusedessolufro´m ( x1+ 2x2+x3+x4(= 0E1) (∗) x2−x3+ 2x4(= 0E2). 4 et le sous-espace vectorielF2deRussdontiesemt`ys:tnaviuro´mfosuldese ( 0 ) x1+ 2x2+x3+x4(= 0E1 (∗∗) 0 . x4= 0(E2) 4 Pr´eciserF1,F2etF1∩F2et une base de ces trois sous-espaces vectoriels deR. ————————————————————————————————————————— 1) Soitaetbd:stelsqueeuxr´eelau1+bu2O.0=dnendu´e:it a(e1+e2) +b(e1−e2) = 0. Onende´duit: (a+b)e1+ (a−b)e2= 0. Comme (e1, e2) est une base deEqieuodcn:ere´egalit´eimplilel.erbedaL`inr,cst’eefunilam ( a+b= 0 a−b= 0. Re´solvonscesyste`me.Onobtient:a=bLa famille (= 0.u1, u2) est donc libre. 2) On a : ( e1+e2=u1 e1−e2=u2. Re´solvonsce”syst`emeline´aire”d’´equationsentrevecteurs.Enconservantlapremi`ere´equation etenlevantlapremi`ere´equationa`laseconde,onobtientlesyste`me: ( e1+e2=u1 −2e2=u2−u1. 1 Ilenr´esulte:e2= (u1−u2.)pmeRc¸alsnoe2me`ialrpqeaure´e,ontionarpvasaurlensda 2 obtient : 1 1 e1=u1−e2=u1−(u1−u2) =(u1+u2). 2 2

Montrons alors que la famille (u1, u2oS.ecirttist)era´eeng´u∈E. Soit(α, βnne´se)lescoordo deudans la base (e1, e2). Ona donc : α βα+β α−β u=αe1+βe2= (u1+u2) +(u1−u2) =u1+u2. 2 22 2 Ilenre´sultequeuonisnabiomecunstedeeil´naeriu1, u2. Ainsi,tout vecteur deEest une combinaisonline´airedeu1, u2. Celamontre que (u1, u2illeefam´erag´endeertcinutse)E. 3)Pard´eﬁntion,u=au1+bu2=a(e1+e2) +b(e1−e2) = (a+b)e1+ (a−b)e2.lIne´rseluet que (a+b, a−btnos)esdeen´onrdooscleudans la base (e1, e2). 4) Le sous-espace vectorielF1edsslotusnitute´nsst`emed’´ieoqnusadtuisoysetinicoonartpeﬁd´ lin´eaireshomog`enes: ( x1+ 2x2+x3+x4= 0(E1) (∗) x2−x3+ 2x4= 0(E2). Cesyste`meesttriangule´.Lesvariableslibresensontx3etx4tnotreloovsnelneusvinase´R. algorithme. Onobtient : x2=x3−2x4. Puis : x1=−2x2−x3−x4=−2(x3−2x4)−x3−x4=−3x3+ 3x4. Il vient : F1={(−3x3+ 3x4, x3−2x4, x3, x4) tels quex3, x4∈R)}. Soit : F1={x3(−3,1,1,0) +x4(3,−2,0,1) tels quex3, x4∈R)}. Ainsi, la famille de deux vecteurs (−3,1,1,0),(3,−2,0,mafeelline´gare´ictreedtsnu1e)F1. Elle est libre.C’est une base deF1. Le sous-espace vectorielF2d´artpesontinieﬁitutocsnssloe´ednsduutio`emesystionsquatd’´e line´aireshomoge`nes: ( 0 x1+ 2x2+x3+x4= 0(E) 1 (∗) 0 x4= 0(E). 2 Cesyst`emeesttriangule´.Lesvariableslibresensontx2etx3e´R.vlostreeesnnolstnoniuav algorithme. Onobtient : x4= 0. Puis : x1=−2x2−x3. Il vient : F2={(−2x2−x3, x2, x3,0) tels quex2, x3∈R)}.

Soit :

F2={x2(−2,1,0,0) +x3(−1,0,1,0) tels quex2, x3∈R)}.

Ainsi, la famille de deux vecteurs (−2,1,0,0),(−1,0,1,eudteni)r0escelrlegteaaef´i´mnF2. Elle est libre.C’est une base deF2. 4 L’ensembleF1∩F2est un sous-espace vectoriel deRcomme intersection de deux tels sous-espacesvectoriels.Ilestconstitue´dessolutionsdusyst´emed’e´quationslin´eaireshomog`enes:  x1+ 2x2+x3+x4(= 0E1)   x2−x3+ 2x4(= 0E2) (∗) 0 x1+ 2x2+x3+x4(= 0E) 1   0 x4(= 0E). 2 Soit :  x1+ 2x2+x3+x4= 0(E1) (∗)x2−x3+ 2x4(= 0E2)  0 x4= 0(E). 2 Cesyst`emeesttriangule´.Ilposs`edeuenseulevariablelibre:x3ovlose´Rusneelsntnotivan.re algorithme. Onobtient : x4= 0. Puis : x2=x3. Puis : x1=−2x2−x3−x4=−3x3. Il vient : F1∩F2={(−3x3, x3, x3,0) tels quex3∈R)}. Soit : F1∩F2={x3(−3,1,1,0) tels quex3∈R)}. Ainsi, la famille d’un vecteur (−3,1,1,deceriatestu0)llimafenre´ne´geF1∩F2. Elleest libre, car est ce vecteur est non nul.C’est une base deF1∩F2.