PCSI A Mathématiques Lycée Brizeux

Description

Niveau: Supérieur
PCSI A 2011-2012 Mathématiques Lycée Brizeux Feuille d'exercices 14. Algèbre linéaire : applications linéaires Généralités sur les applications linéaires Exercice 1. Dans les questions on donne deux K-espaces vectoriels E et F ainsi qu'une application f : E ? F . Montrer que f est une application linéaire. 1. E = R2, F = R3 et f définie par f ( x y ) = ? ? x+ y ?y 2x+ y ? ? . 2. E = R[X], F = R2 et f définie par f(P ) = (P (0), P (1)). 3. E = Rn[X], F = R et f définie par f(P ) = P (0) + P (1)...+ P (n) n+ 1 = 1 n+ 1 n∑ k=0 P (k) 4. E = RN, F = RN et f définie par f((un)n?N) = (un+1 ? un)n?N. 5. E = C0([0, 2pi],R), F = R et f définie pour tout ? ? E par f(?) = 1 pi ∫ 2pi 0 ?(t) cos(nt)d t 6.

• dimension finie


• dimension


• r3 ?


• application linéaire


• dimension de ker?


• vecteur ?v1

Sujets

• Dimensión
• Application linéaire

Informations

• Publié par: chaeh
• Nombre de lectures: 35
• Langue: Français

Extrait

PCSI A2011-2012

Mathématiques

Feuille d’exercices 14. Algèbre linéaire : applications linéaires

Généralités sur les applications linéaires

Lycée Brizeux

Exercice 1.Dans les questions on donne deuxK-espaces vectorielsEetFainsi qu’une applicationf:E→F. Montrer quefest une application linéaire. 2 3 1.E=R,F=Retfdéfinie par     x+y x   f= −y y 2x+y . 2 2.E=R[X],F=Retfdéfinie parf(P) = (P(0), P(1)). 3.E=R n [X],F=Retfdéfinie par n X P(0) +P(1)...+P(n) 1 f(P) ==P(k) n+ 1n+ 1 k=0 N N 4.E=R,F=Retfdéfinie parf((u n ) n∈N ) = (u n+1 −u n ) n∈N . 0 5.E=C([0,2π],R),F=Retfdéfinie pour toutϕ∈Epar Z 2π 1 f(ϕ) =ϕ(t) cos(nt)dt π 0 1 0 6.E=C(]0,+∞[,R),F=C(]0,+∞[,R)etfdéfinie pour toutϕ∈Epar ϕ(t) 0 f(ϕ) :t7→ϕ(t) + t Exercice 2.Les applicationsfsuivantes sont-elles des applications linéaires des espacesEversFconsidérés ? Préciser le cas échéant le noyau et l’image def(en dimension finie vous donnerez une base et la dimension de ces espaces, en dimension finie vous étudierez seulement le caractère injectif ou surjectif de l’application). 3 2 1.E=RetF=R.f(x, y, z) = (x+y, z). 2 3 2.E=RetF=R.f(x, y) = (x+y,2y,1). 4 2 3.E=RetF=R.f(x, y, z, t) = (x+ 2t,0). 2 2 4.E=RetF=R.f(x, y) = (x+y,2x+ 2y). 2 22 5.E=RetF=R.f(x, y) =x+y. 0 6.E=F=R[X].f(P(X)) = 1 +P(X). N2 7.E=RetF=R.f((u n ) n∈N ) = (u 0 , u 1 ). 0 8.E=F=C(R,R).∀x∈R, f(ϕ(x)) =xϕ(x). 0 9.E=F=C(R,R).∀x∈R, f(ϕ(x)) =ϕ(1−x). 0 2 10.E=F=C(R,R).∀x∈R, f(ϕ(x)) =ϕ(x). 0 11.E=C(R,R)etF=R.f(ϕ) =ϕ(0). Exercice 3.Dans cet exercice, on se place dans leR-espace vectorielE=R[X]. 1. MontrerqueF={P∈E, P(0) = 0}est un sous-espace vectoriel deF. 2. Onconsidère l’applicationfdéfinie par : f:E−→F . P(X)−→7XP(X) (a) Montrerquef∈ L(E, F). (b) DéterminerKerfpuisImf. (c) L’applicationfest-elle injective? Bijective? Surjective?

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