PCSI B Mathematiques Lycee Brizeux annee

Description

Niveau: Supérieur
PCSI B Mathematiques Lycee Brizeux - annee 2010-2011 F e u i l l e d e T D 5 E q u a t i o n s d i f f e r e n t i e l l e s I Calcul de primitives 1. On calculera une primitive des fonctions suivantes en indiquant un (ou des ) intervalle(s) ou cela a du sens. (a) ∫ 2 t+5 (t2+5 t+8)4 dt. (b) ∫ ln x x dx. (c) ∫ (ln y)2 dy. (d) ∫ √ 5x + 4 dx. (e) ∫ tan(3 t) dt. (f) ∫ 1 1+e? d?. (g) ∫ 2√ 6 x2?4 dx. (h) ∫ 2√ 6 x2+4 dx. (i) ∫ sin4(?) cos4(?) d?. (j) ∫ dx x2+2 x+5 . (k) ∫ argch y dy. (l) ∫ cos x 1+cosx dx. Indications. (a) changement de variable ou forme connue ; (b) changement de variable ou forme connue ; (c) I.P.P.

• y? ?


• charge de la particule et du champ magnetique


• force de frottement fluide


• cosx


• equation differentielle


• ?4 e?x

Sujets

• Équation différentielle

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Extrait

PCSI B Math´ematiques Lyc´ee Brizeux - ann´ee 2009-2010
´E q u a t i o n s d i f f ´e re n t i e l l e s
I Calcul de primitives
On calculera une primitive des fonctions suivantes en indiquant un (ou des ) intervalle(s) ou` cela a du sens.
R R R 22t+5 lnx1. dt. 2. dx. 3. (lny) dy.2 4(t +5t+8) x
R√ R R
14. 5x+4dx. 5. tan(3t)dt. 6. dω.ω1+e
R R R
2 2 4 4√ √7. dx. 8. dx. 9. sin (θ) cos (θ)dθ.
2 26x −4 6x +4
R R R
dx cosx10. . 11. argchydy. 12. dx.2x +2x+5 1+cosx
´II Equations differentielles du premier ordre
01. Soit y + a(t)y = 0 une ´equation diff´erentielle lin´eaire d´efinie sur un intervalle ouvert I. Si f est une
solution non nulle de l’´equation diff´erentielle, f peut-elle s’annuler sur I? On justifiera la r´eponse.
2. R´esoudre les ´equations diff´erentielles lin´eaires suivantes.
0 2(a) y +2y = x −2x+3 surR.
2 0(b) (1+t )z −2tz = 0 surR.
2 0(c) (1−x) y = (2−x)y sur ]−∞,−1[.
20 x(d) u −xu = xe surR.
10(e) ty +3y = sur ]0,1[.21−t
20(f) sin(x)y +cos(x)y = sin (x) sur ]0,π[.
3. On demande cette fois-ci de pr´eciser en plus le domaine de d´efinition des solutions.
0 1+lnx(a) (x lnx)y −y =− .
x
0(b) 2t(1−t)v +(1−t)v = 1.
0 n(c) 2xy +y = x ou` n∈N.
4. D´eterminer en pr´ecisant leur domaine de d´efinition, les solutions de
0(1+t)y −ty = 0.
Existe-t-il des solutions de l’´equation d´efinies surR?
1
lTue6dielFeD5. R´esoudre l’´equation diff´erentielle :
0 2x(x−1)y −(3x−1)y +x (x−1) = 0.
Etudier les raccordements possibles des solutions en 0 et 1.
? 06. Etablir – sans la r´esoudre – que l’´equation y +2xy = 1 admet une solution impaire d´efinie surR.
??7. Soit v :R→R une fonction continue et p´eriodique de p´eriode 1. On consid`ere l’´equation diff´erentielle
suivante.
0y −v(θ)y = 0 (E).
Montrer qu’il existe un unique r´eel α tel que pour tout solution f de l’´equation (E), la fonction F d´efinie
−αθsurR par F(θ) = e f(θ) est p´eriodique de p´eriode 1.
Les exercices qui suivent sortent des sentiers battus. Ce sont des exemples d’´equations diff´erentielles non
lin´eaires du premier ordre.
? 0 28. Equation de Bernouilli. Trouver toutes les solutions non nulles de y +y−y = 0.
?? 09. R´esoudre l’´equation diff´erentielle y = cos(x+y).
? 0 2 dv 210. Trouver toutes les solutions ne s’annulant pas de my =−Ay (´equation s’´ecrivant aussi m =−Avdt
2ou`−Av correspond a` la force de frottement fluide d’un corps en mouvement a` grande vitesse).
III Equations diffe´rentielles du second ordre
1. R´esoudre surR les ´equations diff´erentielles lin´eaires (E.D.L.) du second ordre suivantes :
00 0 00 0(a) y +2y +5y = 5x (b) −3y −2y +y = cos(x)

00 0 00 0 2 2x(c) −2y +y +y = 10x cosx (d) y +4y +4y = 16x +16x−14 e
00 0 2 x 00 0(e) y −3y +2y = (−3x +10x−7)e (f) y −4y +4y = x ch(2x)
00 00 0 −x −x x(g) y +4y = x+cos(2x) (h) y −2y +5y =−4e cosx+7e sinx−4e sin(2x)
Les exercices qui suivent sortent des sentiers battus. Ce sont des exemples d’E.D.L. du second ordre a`
coefficients non constants ou des exemples de syst`eme d’´equations diff´erentielles lin´eaires.
?2. Equation d’Euler Etant donn´es des nombres r´eels a et b, on consid`ere l’´equation diff´erentielle
2 00 0x y +axy +by = 0.
On se propose d’en d´eterminer les solutions d´efinies sur ]0,+∞[. A l’aide du changement de variable
tx = e , montrer que l’´equation se ram`ene a` la r´esolution d’une E.D.L. du second ordre a` coefficients
constants. En d´eduire les solutions de l’´equation d’Euler d´efinies sur ]0,+∞[.
3. On se propose de r´esoudre l’E.D.L. suivante :
00 0xy +2(x+1)y +(x+2)y = 0 (E).
On pose z = xy. Montrer que z est solution d’une E.D.L. du second ordre a` coefficients constants que
l’on pr´ecisera.
En d´eduire les solutions de l’E.D.L. (E). Sont-elles toutes d´efinies surR?
?4. On veut r´esoudre l’E.D.L. suivante :
2 00 0(1−x )y −xy +y = 0 (E).
(a) En faisant le changement de variable x = sint, r´esoudre l’E.D.L. sur ]−1,1[.
2(b) A l’aide de changement de variables judicieux, r´esoudre l’´equation sur ]−∞,−1[ puis sur ]1,+∞[.
?5. R´esoudre le syst`eme diff´erentiel suivant (Ici x et y sont des fonctions inconnues d´ependant de t)

00 0 0x = x +y −y
00 0 0y = x +y −x
6. Le mouvement d’une particule charg´ee soumise a` un champ magn´etique dirig´e suivant l’axe (0z) est r´egi
par un syst`eme diff´erentiel de la forme

00 0 x = ωy
00 0y = −ωx
 00z = 0
ou` ω d´ependdelamasse;delachargedelaparticuleetduchampmagn´etique.Enconsid´erantlafonction
0 0complexe u d´efinie par u(t) = x (t)+iy (t), r´esoudre ce syst`eme diff´erentiel.
∗ ∗7. D´eterminer l’ensemble des fonctions f d´erivables surR qui v´erifient pour tout x∈R+ +
10f (x) = f( ).
x
8. R´esoudre l’E.D.L d’ordre 4 suivante :
(4) 00y −2y +y = 0.
3