SESSION PCM1002

Description

Niveau: Supérieur, Master, Bac+4

• redaction

SESSION 2011 PCM1002         EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE PC   ____________________     MATHEMATIQUES 1 Durée : 4 heures   ____________________   N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.     ___________________________________________________________________________________                                                         C O N C O U R S C O MM U N S P O LY T E C H N I Q U E S Les calculatrices sont interdites Les parties I, II et III sont independantes.

• produit scalaire


• matrice associee


• unique couple de reels


• meme ordonnee


• reel de dimension infinie

Sujets

• Redaction
• Produit scalaire

Informations

• Publié par: larec
• Nombre de lectures: 45
• Langue: Français
• Poids de l'ouvrage: 2 Mo

Extrait

SESSION 2011

C O N C O U R SC O M M U N SP O L Y T E C H N I Q U E S

 PCM1002

EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE PC ____________________

MATHEMATIQUES 1 Durée : 4 heures ____________________

N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d’énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il a été amené à prendre. ___________________________________________________________________________________ Les calculatrices sont interdites LespartiesI,IIetIIIsontinde´pendantes. tinfisnoionsetd´eNotati 2 SoitPRorm´thonerudteeuqroere`peaialscitninocarelupiddurolaepunnmRO,i,j avecO0,0 ,i1,0 etj0,aairecanoniqueseraee´orputiudlacs.L1oranasmeciso 2 2 2 note´esibienquepourtoutx, yR,xiyjx y. 2 2 Pouraetbfinitnd´ees,ono´nledsrxe´dueD a,b ndiosane´’dtauqrdaletioR:y axb. SiMPeesoodrno´npauocrx, ydansR, on notep a,b Ml’unique point deD a,b ayant, dansRemmˆbseala,ssicexqueM. Onde´finitaussiDladnsdaitnoqeaude´’ortiR:bx ay, etp Ml’unique point de a,b a,b Dayant, dansRe,lamˆemeordonn´eyqueM. a,b ´ PARTIE I :DROITES DES MOINDRES CARRES DANS UN CAS PARTICULIER SoientA,BetCles trois points dePes´ensdaeosrtclononndodRsont respectivement : 1 0,00 ,,1 etα,ou`αisnguernde´.ulnnnoel´e 2 2 2 tacilppaxuedtinfi´endOionsf 0 etf 1 deRdansRen posant : pour touta, bR, 2 2 2 f 0 pa, b a,b pA A a,b pB B a,b ,C C 2 2 2 2 2 2 f 1 a, bp a, .B pC CA Ap B b a,ba,b 2 2 2 1/6

I.1.Montrer queA,BetCs.tnapenosnge´asil 2 I.2. 1 2 2 I.2.a.Montrer quef 0 b ba, b1aα b. 2 2 2 1 11 I.2.b.irefiqreuV´ef 0 a, baα b2b. 2 22 2 I.2.c.itnoofcnlaueeqirdu´endEf 0 admet un minimum surRet que ce minimum est 1 atteintenununiquecoupledere´elsa, b0,eeeistpeo,nnodta´nt`alcaodrrroD 0 , 2 1 d’e´quationdansR:y. 2 I.3. I.3.a.edicetxpliioneress’expimrelrente´Df 1 a, ben fonction dea, betα. 2 a α1 2 2 2 I.3.b.Montrer quef 1 a, b3αb a. 2 32 3 2 I.3.c.End´eduqerialeucnofnoitf 1 admet un minimum surRet que ce minimum est atteintenununiquecoupleder´eels,note´a 1 , b 1 inrm.Oerad,`te´esrtonnolaeD 1 la droited’´equationdansR:x a 1 y b 1 . I.4.Montrer queD 0 etD 1 sont orthogonales et se coupent en un unique pointMPqui est l’isobarycentre deA, B, C.

´ ´´ PARTIE II :RESULTATS SUR UN ESPACE PREHILBERTIEN REEL SoitEuepacspnebeilehr´rne´treirne´leon`a0eduittFun sous-espace vectoriel de dimension finie deEle produit scalaire sur. On noteEtee.iriustacala`ecrpdossoci´eelanormea ´ II.1.dnoiee´datinfionDrlneF.rpaee´te´irpo´fiire´verationstnepron)uec(rnEno´dmeassnF etFlecaso`uleabalvne´gnee´ar.laDsnEest de dimension finie, que peut-on dire de plus? PourxE, on notep F xla projection orthogonale dexsurF. II.2.inueferqromtnDe´x z´erieureborneinftneeunnseatttiesteenbiceuqettefie´dtein zF uniquee´le´mentzdeFniefid´rpazp F x. Cetteborneinf´erieureestnote´edx, F. On a doncdx, Fxp F x. 2 On dit qu’une applicationx,y xy F deEdansRest unudtiusobdrno´n`eaproF siellev´erifieles4proprie´te´ssuivantes: i) xE, l’applicationyy x F ruserieeforstunn´eameliE; 2 ii) x,yE,x y F y x F ; iii) xE,yF,x y F 0 ; iv) xF,yF,x y F x y. II.3. II.3.a.Montrer que six,y xy F an´e`rdonsuboorpntiudutseF, alors : 2 x,yE,x y F xp F x yp F y; 2 xE,x x F dx, F; xE,x x F 0 ; xE,x x F 0xF. II.3.b.bordonn´e`auninuqpeorudtiuserifi’iquxileeustre´VF. 2/6

On note alors F obustiud`e´nnodraroepcFet pourxE, on posex F x x F . 2 II.4.Montrer que pour toutx,yE,x y F x F y F ;uqa`elleconditionsurxet ypeut-on dire que :x y F x F y F ? II.5. II.5.a.me´edentsixecnetu’dele´nMontrerl’Eno,et´u, tel queu1. On note alorsDVectueer´ndgerpaotcevetineelleiradroluetp D la projection orthogonale surD. II.5.b.otruturqfiepoueVri´exE,p D u ux x. Pourtout´ele´mentxE, on posem x x u,σ x x D . 2 Pour tout couplex,yE, on pose covx,yy x D . II.5.c.Montrer queσ x xm x uet que covx,y xym x m y . On suppose dans la suite de cette partie quexetye´em´xleEeettndselaflsquleamileutdons u,x,ysoit libre. II.6.Montrer queσ x etσ y uxr´eelssontdeneptsotitsirtcmes.if xm x u ym y ucovx,y On pose alorsx,yetρ. σ x σ y σ x σ y II.7. II.7.a.Montrer quem x 0, queσ x 1 et queρ1,1 . II.7.b.V´eolarefiireuqsru,xest une base orthonormale deFVectu,x. II.7.c.infMontrer queyaxbubistd´enniefivaetuetdy, F. 2 a,b R ´ II.7.d.Etablir queinfyaxbu ym y u yx x. 2 a,b R II.7.e.euqrefiire´Vinfyaxbuσ y yρx. 2 a,b R II.7.f.´Dtereedncfoontinemienr,x,yetudue’llp,uuqoicneslee´rea 0 , b 0 tel que : infyaxbu ya 0 xb 0 u. 2 a,b R Dans le planPinfietond´,D 0 cemmoate´lantoidrdotel’nte´uqtaoidnnasRest :y a 0 x b 0 . y m y x m x II.8.Montrer queD 0 r´ouapsnadnoitauqeR:ρ. σ y σ x II.9.ununueiqexilteisee´rslpuocedelMqe’uˆmmereednorta 1 , b 1 tel que : inf xaybu xa 1 yb 1 u. 2 a,b R Dans le planPo,dne´finitD 1 nsdauaeqontinode´’ltdalttiormme´etancoRest :x a 1 y b 1 . x m x y m y II.10.Montrer queD 1 our´apsnadnoitauqeR:ρemclveaˆemer´eelρ σ x σ y d´efinipre´c´edemment.3/6