Tourbillons d'Oseen et comportement asymptotique des solutions de l'equation de Navier Stokes

Thierry Gallay

Description

Niveau: Supérieur, Licence, Bac+2
Tourbillons d'Oseen et comportement asymptotique des solutions de l'equation de Navier-Stokes Thierry Gallay Institut Fourier Universite de Grenoble I BP 74 F-38402 Saint-Martin d'Heres 1 Introduction On s'interesse au comportement asymptotique en temps des solutions de l'equation de Navier-Stokes incompressible dans tout l'espace: ∂u ∂t + (u · ?)u = ∆u ??p , div u = 0 , (1) ou u(x, t) ? Rn est le champ de vitesse, p(x, t) ? R le champ de pression, x ? Rn, t ≥ 0, et n = 2 ou 3. A ce jour, il existe deux resultats principaux montrant l'existence de solutions globales en temps de l'equation (1). Le plus ancien, du a Leray [14], affirme que pour toute donnee initiale u0 ? L2(Rn) l'equation (1) possede une solution faible globale u ? Cw([0, +∞), L2(Rn)) ? L2((0, +∞), H˙1(Rn)), qui verifie en outre l'inegalite d'energie 1 2?u(t)? 2 L2 + ∫ t 0 ??u(s)?2L2 ds ≤ 1 2?u0? 2 L2 , ?t ≥ 0 . (2) L'unicite de cette solution n'est connue que si n = 2, ou si l'on sait a priori que u(t) est plus regulier, par exemple borne dans H1 pour tout

• probleme de cauchy pour l'equation


• champ de la vitesse


• m2 de ?


• dessus donne


• donnee initiale


• decroissance


• presentation de differents resultats


• transformee de fourier u0


• equation de navier-stokes

Sujets

• Schönbek
• Décroissance
• Équations de Navier-Stokes

Informations

• Publié par: profil-vieg-2012
• Nombre de lectures: 73
• Langue: Français

Extrait

´ Equationsauxd ´ erive ´ espartielles Pard´efinition,une´equationauxd´eriv´eespartielles(EDP)apourinconnueunefonctionde plusieursvariables(alorsqu’une ´ equationdiff ´ erentielleordinaireapourinconnueunefonction d’uneseulevariable).L’analyse(mathe´matiqueet)num´eriquedesEDPestunvastedomaine, quenousaborderonsicisousl’angledetrois ´ equationstype(line ´ aires)etdedeuxm ´ ethodes num´eriquesdebase: diffe´rences finies et e ´ l ´ ementsfinis . Le Laplacien On « rappelle » que, pour une fonction u : Ω → R n deuxfoisdiff´erentiablesur d un ouvert Ω de R , Δ u d X ∂ 2 u . = j =1 ∂x j 2 L’op´erateurdiffe´rentiel Δ estappel´e Laplacien .

Trois EDP-type ´ ´ Equation de Poisson Etantdonn ´ eeunefonction f : Ω → R n ,onappelle ´ equationdePoisson de terme source f : − Δ u = f . Cette e´quation est qualifie´e d’ elliptique (paranalogieavecl’ ´ equationge ´ ne ´ raled’uneel- lipse ξ 12 /a 2 + ξ 22 /b 2 = 1 ). ´ ´ Equation de la chaleur Etantdonn ´ eunr ´ eelpositif κ ,onappelle ´ equationdelachaleur,ou ´ equationdediffusionpourlecoefficientdediffusion κ : ∂ t u = κ Δ u . Cette e´quation est qualifie´e de parabolique (paranalogieavecl’e ´ quationge ´ n ´ eraled’une parabole y = ξ 2 /a 2 ). ´ ´ Equation des ondes Etantdonn ´ eunre ´ elpositif c ,onappelle ´ equationdesondespourlavitesse c : ∂ t 2 t u − c 2 Δ u = 0 . Cette e´quation est qualifie´e d’ hyperbolique (paranalogieavecl’´equationg´ene´raled’une 2 . hyperbole ξ 12 /a 2 − ξ 22 /b = 1 ) Les e´quations des ondes et de la chaleur sont dites d’ ´ evolution car elles mode´lisent en ge ´ ne ´ ralunphe ´ nom ` eneinstationnaire,e ´ voluantavecletemps t .L’ ´ equationdePoissonestquant ` aelle stationnaire :ellemode ´ liseeng ´ ene ´ ralunph ´ enom ` enea ` l’e ´ quilibredansl’espace R d . Les trois e´quations sont lineaires ,c’est-a`-direqu’ellesd´ependentlin´eairementdel’inconnue ´ u .Nousn’e ´ tudieronspasicid’e ´ quationnon-lin ´ eaire.Les ´ equationsdePoissonetdelacha- leurmod´elisentdesphe´nom`enesde diffusion , comme celle de la chaleur (!), de la matie`re (par exempleunpolluantdansunerivi ` ere,oudesbacte ´ riesdansunorgane,etc.),ouencored’une charge e´lectrique. L’ e´quation de Poisson pour f = 0 ,aussiappel´ee ´ equationdeLaplace , peut e ˆ trevuecommeuncasparticulierd”equationdelachaleurlorsquel’ ´ equilibreestatteint,c’est- a`-dire lorsque l’inconnue u ne de´pend plus de t .L’e´quationdesondesmod´elisedesph´enomenes ` de propagation ,commecelleduson,delalumi ` ere.

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