Universite Claude Bernard Lyon I Licence Sciences Technologies boulevard novembre Specialite Mathematiques Villeurbanne cedex France Option: M2AO

Claude Bernard

Description

Niveau: Supérieur, Licence, Bac+3
Universite Claude Bernard, Lyon I Licence Sciences & Technologies 43, boulevard 11 novembre 1918 Specialite Mathematiques 69622 Villeurbanne cedex, France Option: M2AO 2007-2008 Devoir Maison n?1 : Approximation d'equation differentielles ordinaires. 1 Les schemas simplectiques Pour tracer un cercle C(0, 1) de centre (0, 0) et de rayon r = 1, nous pouvons tracer les courbes parametrees (x(t) = cos(t), y(t) = sin(t)), avec t ? [0, 2pi] en utilisant un grand nombre de point tn, n = 0, . . . , N . a) Montrer que nous pouvons obtenir un cercle en resolvant le systeme differentiel { x?(t) = ?y(t), x(0) = 1, y?(t) = x(t), y(0) = 0. (1) b) Nous posons h = 2pi/N . Montrer que le systeme d'Euler explicite applique a (1) conduit a calculer les points Pn = (xn, yn) de coordonnees [ xn yn ] = An [ 1 0 ] , avec A = [ 1 ?h h 1 ] (2) c) Montrer que pour tout n ≥ 0, nous avons (AT )n An = An(AT )n = (AT A)n = (AAT )n.

• points pn


• schema


• systeme hamiltonien


• schema au probleme du pendule x??


• approximation d'equation differentielles ordinaires

Sujets

• Bernard
• Schéma

Informations

• Publié par: ondey
• Publié le: 01 novembre 1918
• Nombre de lectures: 20

Extrait

Universit´eClaudeBernard,LyonI 43, boulevard 11 novembre 1918 69622 Villeurbanne cedex, France

Licence Sciences & Technologies Sp´ecialite´Mathe´matiques Option: M2AO2007-2008

◦ Devoir Maison n1 : Approximationd’e´quationdiffe´rentiellesordinaires.

1Lessche´massimplectiques Pour tracer un cercleC(0,1) de centre (0,0) et de rayonrsee´resrbouscetm´rapapsuoovsnrtcareel=1,nou n (x(t) = cos(t), y(t) = sin(t)), avect∈[0,2π] en utilisant un grand nombre de pointt,n= 0, . . . , N.

a)ouvonsobquenouspMnortret`ysestlanlvso´erneelcrecnurineteilertnffie´mede  0 x(t) =−y(t), x(0) = 1, 0 y(t) =x(t), y(0) = 0.

(1)

b)Nous posonsh= 2π/Ntron.Mseleuqredeme`tsyitduca`aullcleers’Eulerexpliciteappiluqe´a`1(c)no n nn pointsP= (x ,yeesno´noodrd)ce     n x1 1−h n =A ,avecA= (2) n y0h1

T nn nT nT nT n c)Montrer que pour toutn≥0, nous avons (A)A=A(A) =(A A) =(AA) . n Tn Puis calculerkAk 2 etk(A)k 2 . n n2n2 2n Ende´duirequelespointsPifienv´ert|x|+|y|= (1 +h) . n Les pointsPsont-ils sur le cercleC(0,1)? n nn d)nistseopellrlaucact`uindco1)a(e`´uqilppaeticilpmystse`em’duEelirMontrerqueleQ= (yx ,) dont n2n2 2n lescoordonne´esve´rifient|x|+|y|= 1/(1 +h) . + 22 e)Soitf:IR×IR→IRunonaussirunefonctieruqneuoe´ugile`onitNos.esslhaoue´dsrinfiopsunovu nouveausch´emaimplicitepourre´soudreleproble`me 0 u(t) =f(t, u(t)), u(0) =u 0 , en posant   h n+1n nn n+1n+1 u=u+f(ut ,) +f(t ,u) 2 •´tcepnueeccsireracomh´emsch´meunpnua`amesaMtronquer’oel n+1nn n u=u+h φ(t ,u ,h), n+1 ou`ue`innuerteinamedenbiefid´steique. •.nttaiseatsocsneccs´hmentrerqueMo •tstseame´hcseceurqrentMo.able

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