Universite Claude Bernard Lyon Semestre de printemps

Claude Bernard Lyon

Description

Niveau: Supérieur
Universite Claude Bernard - Lyon 1 Semestre de printemps 2011-2012 UE de Geometrie elementaire Feuille d'exercices no 2 Exercice 1 (Theoreme de Menelaus via les homotheties-translations). Dans le plan affine, soit ABC un triangle non aplati. Soient M,N,P trois points appartenant respectivement aux droites (AB), (BC) et (AC) et distincts des sommets du triangle ABC. Montrer l'equivalence suivante : M,N et P sont alignes ?? MA MB ? NB NC ? PC PA = 1. On rappelle que pour trois points alignes E,F,G, EF EG designe l'unique scalaire ? tel que ??? EF = ? · ??? EG. Considerons l'application f = hM ? hN ? hP ou hM , hN , hP sont les homotheties de centre respectif M , N , P telles que hM (B) = A, hN (C) = B et hP (A) = C. 1. Supposons le membre de droite vrai. (a) Remarquer que f a un point fixe puis, en considerant Lf , montrer que f est l'identite. (b) Utiliser l'egalite hM ? hN = (hP )?1 pour en deduire que P appartient a (MN). 2. Ici on suppose les points M,N,P alignes.

• theoreme de menelaus


• a11 ?


• hyperplan mediateur des points z0


• rn ?


• unique scalaire


• hyperplan


• point fixe


• meme hyperplan

Sujets

• Théorème de Ménélaüs
• Hyperplan
• Point fixe

Informations

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• Langue: Français

Extrait

Universit´eClaudeBernard-Lyon1 UEdeG´eom´etrie´el´ementaire

o Feuille d’exercices n2

Semestre de printemps 2011-2012

Exercice 1alsuivlaed´Mnee´´eties-teshomoth)snosnaritalhT(eme`roe´.Dans le plan affine, soitABCun triangle non aplati. SoientM, N, Ptrois points appartenant respectivement aux droites (AB), (BC) et (AC) et distincts des sommets du triangleABCsecnelav:etnaviurentMo.uieq’´rl M AN BP C M, NetPsoseign´ntal⇐⇒ ××= 1. M BN CP A −→−→ EF Onrappellequepourtroispointsaligne´sE, F, Ggnel’unid´esieri,alacseuqλtel queEF=λ∙EG. EG Conside´ronsl’applicationf=h M ◦h N ◦h P `uoh M ,h N ,h P trenecsdctpeeserfisohsmotnelteeito´hM,N,P telles queh M (B) =A,h N (C) =Beth P (A) =C. 1. Supposonsle membre de droite vrai. (a) Remarquerquefopnianutnare´donsi,encpuistfixeL f , montrer quef´t.etienidl’ste −1 (b)Utiliserl’´egalit´eh M ◦h N = (h P nerude´d)opreuiequPpa(api`earnttM N). 2. Icion suppose les pointsM, N, Palis.gn´e (a) Montrerpar l’absurde quefune translation puis quefsetl’identit´e. (b)Conside´rerL f et conclure.

Exercice 2usenela ¨ ´en´edeM`rme´hoedntutaoiisalern´´eegUn(reeu)pusnire´emidoisn.SoitXun espace affine de dimensionn. Soit (A 0 , . . . , A n `ereaffineed)unrepXmoomid´t.aPcranadasslnneoerotetiuA n+1 =A 0 . Soient M 0 , . . . , M n des points deXtels que pour touti∈ {0, . . . , n},M i (a`tneitrappaA i A i+1 )r{A i , A i+1 }. Le but de l’exercice de montrer que les pointsM 0 , . . . , M n aptrpane`teinnyperaunhaffineplanluesteis:istneme M 0 A 0 M 1 A 1 M n A n (?)∙ ∙ ∙× ×= 1. M 0 A 1 M 1 A 2 M n A 0 Conside´ronsf=h 0 ◦ ∙ ∙ ∙ ◦h n o`uh i rentcedeieeth’moto´he´isngledM i telle queh i (A i+1 ) =A i . 1.Supposonsl’e´galite´(?) vraie. (a) Montrerquefest une translation puis quef= Id. −−−→ −1 (b)End´eduireque(h 0 ) =h 1 ◦ ∙ ∙ ∙ ◦h n puis que les vecteursM 0 M i ,i= 1, . . . , nntli,so´es. 2. Supposonsque lesM i soient dans un certain hyperplanH. (a) Montrerquefntoie.fixnutseetie-traehomoth´yanautpnsnalitno (b) Montrerque sifate´nutito´hhemon(noteeiialetrivrs)aloA 0 serait dansH. (c) Notonsf 0 =f´drenossiontcef 1 =h 1 ◦∙ ∙ ∙◦h n ◦h 0 ,f 2 =h 2 ◦∙ ∙ ∙◦h n ◦h 0 ◦h 1 , . . . ,f n =h n ◦h 0 ◦∙ ∙ ∙◦h n−1 . Montrer que l’un desf i est Id puis conclure.

Exercice 3e´´ndnMesroienevs)(Uerminantseltte´dtneceseresalrybaa ¨ elvius.Soit (X, V) un espace affine de dimensionnsur un corpsK. Soit (A 0 , . . . , A n deu)affinee`errnpeX. −−−→−−−→ On noteraBla base (A 0 A 1 , . . . , A 0 A n ) deV.

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