Universite de Nice Annee NOM Departement de Mathematiques LICENCE MP 2e annee Prenom

Description

Niveau: Supérieur, Licence, Bac+3
Universite de Nice, Annee 2007-2008 NOM : . Departement de Mathematiques, LICENCE MP, 2e annee Prenom : . Probabilites Controle Continu Final - Session de Mai 2008 Mardi 20 mai 2007 13 :00 - 15 :00 Calculatrice autorisee. Document autorise : une feuille A4 (recto-verso) ecrite de votre main Exercice 1 ((5 points)) Soient X et Y deux v.a. de meme loi, de fonction de repartion FX et FY , avec FX (x) := 11+e?x . 1. Calculer la densite fX de X . fX(x) = 2. Montrer que fX(?x) = fX(x) ; en deduire E(X). E(X) = 3. On suppose que les v.a. sont couplees par la copule C(u, v) = uvu+v?uv . Calculer la fonction de repartition FZ du vecteur aleatoire Z := (X,Y ). FZ(x, y) =

• normale d'esperance


• estimateur au maximum de vraissemblance ?n de ? pour l'echantillon x1


• t4 de la classe v4


• densite fz du vecteur aleatoire


• estimateur ?n

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Extrait

Universit´edeNice,Anne´e2007-2008 D´epartementdeMathe´matiques,LICENCEMP,2eanne´e

NOM : Pre´nom:

Probabilite´s ControˆleContinuFinal-SessiondeMai2008 Mardi 20 mai 2007 13 :00 - 15 :00

. .

Calculatriceautoris´ee.Documentautoris´e:unefeuilleA4(recto-verso)e´critedevotremain

Exercice 1 ((5 points))SoientXetYuedontiaredofcnitnoed´rpexv.a.demˆemeloi,F X etF Y , avec 1 F X (x) := −x . 1+e 1.Calculerladensit´ef X deX.

2. Montrer quef X (−x) =f X (xd´enuieder);E(X).

f X (x) =

E(X) =

uv 3.Onsupposequelesv.a.sontcouple´esparlacopuleC(u, v) = . Calculer la fonction de u+v−uv r´epartitionF Z uvecdlae´etruertaioZ:= (X, Y).

F Z (x, y) =

4. Les v.a.XetYesind´epsont-ell?neadtnse

5.Calculerladensit´ef Z dree´laiotacevuruetZ.

f Z (x, y) =

θ Exercice 2 ((10 points))Soit (X i ) i=1,2,... et (Y i ) i=1,2,... deux suites de v.a., avecX i = +σY i u`o,θ i etσsont des nombres positifs. 1. On suppose que les v.a.Y i sontr´ntcede´r-see’c(setiu-d`at-eseirE(Y i ) = 0 etV ar(Y i )=re.D1)ete´nimr µ i :=E(X i ),V ar(X i ) etσ i :=V ar(X i ).

µ i :=E(X i ) =

V ar(X i ) =

σ i :=

V ar(X i ) =

2.Onsupposedore´navantquelesY i suivent une loi normale. Quelle est la loi deX i ? Indiquer sa densite´f X i ?

X i ❀

f X i (x) =

3. Montrer que la vraissemblanceLlitnnold’´elhaecX 1 ,. . .,X n egalest´e`a  n  X 1 1 L(x 1 , . . . , x n , θ, σexp) = −x i − 2 n (σ2π ) 2σ i=1

4. Calculer la log-vraissemblanceldecetnollhce´itna

l(x 1 , . . . , x n , θ, σ) =

!  2 θ i

∗ 5. Pourx 1 , . . . , x n , σmaxierlerouv´estxfimumθde la fonctionθ7→ϕ(θ) :=l(x 1 , . . . , x n , θ, σ) et P P n n ∗ 1 x 1 ve´rifierqueθ,o`u=s n := . i=1 i s n i=1 i

∗ θ(x 1 , . . . , x n ) =

ˆ 6. Donner l’estimateur au maximum de vraissemblanceθ n deθntnahollip´’ceuolrX 1 , . . . , X n .

ˆ θ n =

ˆ ˆ 7. CalculerE(θ n ). L’estimateurθ n t-ilbiais´e?es

ˆ 8. Calculer Var (θ n )

ˆ E(θ n ) =

ˆ L’estimateurθ n

ˆ Var (θ n ) =

biais´e.

2 ˆ ˆ 9. Calculerkθ n −θkuqleiuer´dde.nEreuatimst’eθ n converge versθearno;ppleeluqlesae´ir L 2 harmonique diverge : lim n→∞ s n = +∞

ˆ 2 k k= θ n −θ L 2

Exercice 3 (5 points)Peanuts 1. SoitUreriec;´py2etrt-e´ac00tencuen1e´eran’oersmpav.lae.dUsous la formeU=a+bZu`o,Z −+ estunev.a.normalecentr´ee-re´duiteettrouverdeuxnombrezetztels que

−+−+ −+ {U∈]uu , ]}={Z∈]zz , ]},o`uu= 101 etu= 103

U=

− z=

−+ 2.Al’aidedelatablefourniecalculerprobabilit´ep:=P({U∈]uu , ]})

Soit (U k ) k=1..1000 V 4 =]101,103] ?

p:=P({U∈]101,103]}=

+ z=

un1000-e´chantillondeN(100,2efftclte’lese;)uqueiqthifor´et 4 de la classe

3.Quelestl’effectifthe´oriquet 5 de la classeV 5 =]103,+∞[ ?

t 4 =

t 5 =

4.Quelssontleseffectifsthe´oriquest 1 ett 2 des classesV 1 =]∞

t 1 =

Quelestl’effectifth´eoriquet 3 de la classeV 3 =]99,101] ?

,97],V 2 =]97,99] ?

t 2 =

t 3 =

5.Undispositifestcon¸cupouremballerdescacaouettesenpaquetsde100g.Onsupposequele poids des paquets produits suivent une loiN(100,oduitsonaquetsprleseoasbre´vp0001ruS.)2 effectifssuivantspourcesmeˆmesclassesV 1 =]∞,97],V 2 =]97,99],V 3 =]99,101],V 4 =]101,103], V 5 =]103,+∞[, les effectifs respectifs suivants : 73, 235, 391, 233, 68. 2 Au moyen d’un test duχttecretejeruoremfironecld-intienviulauseese,oth`ehyp,coα?= 10%

∗ Votre statistique :χ=

Il convient donc

l’hypoth`ese

Loi Normale

:probabilite´queZ❀N(0,`erua1)itsof´inieeru 1 +u 2 .

LoisduChi-deux:Leslignescorrespondentaunombrededegr´esdeliberte´,entre1et9.Chaque colonnecorrespond`aunemeˆmeprobabilit´ed’ˆetresup´erieura`lavaleurindiqu´eedansletableau.