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Description

Niveau: Supérieur, Licence, Bac+1

  • redaction


Université de Nice Sophia Antipolis L1 M 2011-2012 Exemples de rédactions Exercice 3 feuille 3 Pour démontrer l'équivalence i)? ii) , prouvons l'implication i)? ii) puis l'implication non i)? non ii) contra- posée de la réciproque. * Preuve de l'implication i)? ii). Supposons donc f de limite en x0 et considérons une suite de réels un ?]a, b[ convergeant vers x0. Il s'agit alors de montrer que la suite (f(un)) converge vers , à savoir que : ? > 0 ?N ? N ; ?n ? N , n > N ? |f(un)? | < . Soit donc un réel > 0 quelconque. Comme f a pour limite en x0 on sait que : ?? > 0 ; ?x ?]a, b[ , |x? x0| < ? ? |f(x)? | < . Comme la suite (un) converge vers x0 et que ? > 0 on en déduit que : ?N ? N ; ?n ? N , n > N ? |un ? x0| < ?. Pour cet entier N , comme un ?]a, b[ on a alors ?n ? N , n > N ? |un ? x0| < ? ? |f(un)? | < et on peut alors conclure que i)? ii).

  • ?x ≤

  • comportement du numérateur

  • ?n ?

  • implication attendue

  • numérateur

  • preuve de l'implication

  • limite en x0


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Langue Français

Extrait

UniversitÉ de Nice Sophia Antipolis
Exemples de rÉdactions
L1 M 2011-2012
Exercice 3 feuille 3 Pour dÉmontrer l’Équivalencei)ii), prouvons l’implicationi)ii)puis l’implicationnon i)non ii)contra-posÉe de la rÉciproque.
* Preuve de l’implicationi)ii).
Supposons doncfde limite`enx0et considÉrons une suite de rÉelsun]a, b[convergeant versx0. Il s’agit alors de montrer que la suite(f(un))converge vers`, À savoir que :
 >0NN;nN,n > N⇒ |f(un)`|< .
Soit donc un rÉel >0quelconque. Commefa pour limite`enx0on sait que :
δ >0;x]a, b[,|xx0|< δ⇒ |f(x)`|< .
Comme la suite(un)converge versx0et queδ >0on en dÉduit que :
NN;nN,n > N⇒ |unx0|< δ. Pour cet entierN, commeun]a, b[on a alors nN,n > N⇒ |unx0|< δ⇒ |f(un)`|<  et on peut alors conclure quei)ii). ** Preuve de l’implicationnon i)non ii).
On supposenon i)c’est À dire que : 0>0;δ >0x]a, b[;|xx0|< δet|f(x)`| ≥0. 1 Appliquons, pour chaque entiern >0, ce rÉsultat au cas particulier oÙδ=. On obtient ainsi une suite de n 1 nombres rÉelsxn]a, b[tels que|xnx0|<et|f(xn)`| ≥0>0. n
On en dÉduit alorsnon ii)car il est aisÉ de voir avec le "thÉorÈme des gendarmes" que la suite(xn)ainsi obtenue converge versx0tandis que la suite(f(xn))correspondante ne converge pas vers`car le fait quen >0 |f(xn)`| ≥0>0interdit À la suite(f(xn)`)de converger vers0.
Exercice 6 feuille 3 9 5 x+4x+2x a) La limite quandx0du quotientf(x)=12 3se prÉsente sous forme indÉterminÉe car le numÉrateur x+2x+2x et le dÉnominateur tendent vers0. Il convient alors de rÉÉcrire ce quotient sous une forme qui fait disparatre cette indÉtermination. Pour cela, remarquons que lorsquex0, le comportement du numÉrateur est dominÉ par celui du terme2xcar les autres termes de la somme sont nÉgligeables devant lui. Il en est de mme ici pour le dÉnominateur. Factorisons-les tous les deux par2xpuis simplifions l’expression. On obtient : 8 4x 1+2x+ 2 f(x)=11 x 2 1+x+ 2 La limite quandx0du quotient obtenu est alors clairement lisible, elle vaut 1. Conclusion :limf(x)=1. x0 100 2 x+x b) La limite quandx0de4se prÉsente sous forme indÉterminÉe : numÉrateur et dÉnominateur tendent x+x vers0. 2 100 Remarquons que lorsquex0, au numÉrateur le termexdomine le termextandis qu’au dÉnominateur le 4 2 termexdomine le termex. Factorisons alors le numÉrateur parxet le dÉnominateur parxpuis simplifions l’expression. On obtient : 98 1+x g(x)=x3 1+x La limite quandx0de l’expression obtenue est alors clairement lisible et vaut 0. Conclusion :limg(x)=0. x0 c) Pour les mmes raisons que celles ÉvoquÉes plus haut, on rÉÉcrit icih(x)sous la forme 8 1 1+x h(x)=2 2 x1+x La limite quandx0deh(x)est alors clairement lisible et vaut+.
Exercice 7 feuille 3 * Pourx >0En utilisant le fait que la fonction sinus est bornÉe par1et1, on obtient 1 xxsin( )x x D’aprÈs le thÉorÈme des gendarmes on peut en conclure quelimf(x)=0. + x0 2 * Pourx0on af(x) = 2x+xqui est polynÔmiale donc on peut en dÉduire quelimf(x)=f(0)=0. x0 Comme on alimf(x)=limf(x)=f(0), on peut conclure quefa pour limitef(0)quandxtend vers0, À +x0x0 savoir0.
Exercice 8 feuille 3 4 22 x+2x x+2 * Pourx >0On af(x)=6 2= =4et on dÉduit directement de cette derniÈre expression quelimf(x) x+x x+1 + x0 =2. * Pourx0On af(x)=1cos(x)ce qui nous donnelimf(x)=11=0, on peut conclure alors quefn’a x0 pas de limite quandxtend vers0.
Exercice 9 feuille 3 1 On considÈre la fonctionfsur l’intervalle]0; 1[dÉfinie parf(x)= ,et il s’agit de dÉmontrer que : x1 1 A >0δ >0;x]0; 1[,|x1|< δ<A. x1
Pourx]0; 1[on a|x1|= 1xet l’hypothÈse|x1|< δs’Écrit donc plus simplement1x < δ. 1 11 Pour obtenir<Ail suffit alors quex1>ou encore que1x <. x1A A 1 Si on peut toujours trouver un rÉel strictement positifδ <on aura alors bien l’implication attendue. A 1 Un tel rÉel existe toujours, par exemple on peut prendreδ=. 2A Conclusion :limf(x)=−∞ x1 Exercice 14 feuille 3 * Nous allons montrer que la fonctionfn’a pas de limite quandx+. 0 Pour c)qui tendent ve ela construisons deux suites(xn)et(xnrs+et telles que les suites images(f(xn))et 0 (f(x))ont des limites diffÉrentes. n 0 ne limite, finie ou infinie, les suites ((f(x Sifavait uf(xn)) etn)) auraient cette mme limite. 0π0 0 Prenons par exemplexn=2etx=+ )=xet, de maniÈre Évidente n22on a alorsf(xn)=0etf(xn n 0 limf(xn)=0alors quelimf(x)=+. n n+n+sin(x) ** Pourg(x)=, en utilisant le fait que la fonction sinus est bornÉe par1et1, on obtient (x) 1 1 − √g(x)≤ √ (x) (x) D’aprÈs le thÉorÈme des gendarmes on peut en conclure quelimg(x)=0. x+
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