Universite de Nice Sophia Antipolis L1 MP Algebre semestre

Description

Niveau: Supérieur, Licence, Bac+1
Universite de Nice Sophia-Antipolis L1 - MP Algebre 08-09 semestre 1 1 Sous-espaces vectoriels euclidiens de Rn Un plan geometrique muni d'un repere orthonorme s'identifie a R2. Cette identification permet de definir sur R2 le produit scalaire de deux vecteurs de R2 , la norme d'un vecteur de R2, la notion de vecteurs orthogonaux de R2, ... Plus generalement, nous allons munir Rn et ses sous-espaces vectoriels d'un produit scalaire et en examiner les premieres proprietes. 1.1 Definitions Definition 1.1.1 (produit scalaire de deux vecteurs de Rn) Soit u = (u1, . . . , un) et v = (v1, . . . , vn) deux vecteurs de Rn, on appelle produit scalaire de u et v, le reel note < u, v > et defini par : < u, v > = u1v1 + u2v2 + · · ·+ unvn . Definition 1.1.2 (norme d'un vecteur de Rn) Soit u = (u1, . . . , un) un vecteur de Rn, on appelle norme de u et on note || u || le reel positif defini par : || u || = √ u21 + u 2 2 + · · ·+ u2n = √ < u, u > . Proprietes du produit scalaire et de la norme : Bilinearite : Pour tout u1, u2, v ? Rn, pour tout ? ? R : < u1 + u2, v > = < u1, v > + < u2, v >

• produit scalaire


• appelee norme euclidienne


• universite de nice - sophia-antipolis


• propriete sur les bases echelonnees

Sujets

• Produit scalaire

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Extrait

Universit ´ edeNiceSophia-Antipolis 08-09

1

Sous-espaces

n vectoriels euclidiens de R

L1-MPAlg ´ ebre semestre 1

2 Unplange´ome´triquemunid’unrepe`reorthonorm´es’identifie`aR.Ceacfiinoitietttnedefid´rnirmpedeet 2 2 2 surRle produit scalaire de deux vecteurs deR, la norme d’un vecteur deR, la notion de vecteurs 2n orthogonaux deRirunsmelemtnn,uoasllno,...Plusg´en´eraRet ses sous-espaces vectoriels d’un produit scalaireetenexaminerlespremie`resproprie´t´es.

1.1De´finitions n D´efinition1.1.1(produit scalaire de deux vecteurs deR) Soitu= (u 1 , . . . , u n )etv= (v 1 , . . . , v n )deux n vecteurs deR, on appelle produit scalaire deuetve´tonleer´le,< u, v >´efinipar:dte

< u, v >=u 1 v 1 +u 2 v 2 +∙ ∙ ∙+u n v n

.

n n D´efinition1.1.2(norme d’un vecteur deR) Soitu= (u 1 , . . . , u n )un vecteur deR, on appelle norme de uet on note||u||eeplsotiel´rpar:ifd´efini q √ 2 2 2 ||u|< u, u |=u 1 +u 2 +∙ ∙ ∙+u n => .

Propri´ete´sduproduitscalaireetdelanorme:

n Bilin´earit´e:Pour toutu 1 , u 2 , v∈R, pour toutλ∈R:

< u 1 +u 2 >, v =< u 1 >, v +< u 2 , v > < v, u 1 +u 2 >=< v, u 1 >+< v, u 2 , >

n Syme´trie:Pour toutu, v∈R:v >< u, =u >< v, .

1

, ,

< λu 1 >, v =λ < u 1 , v > < v, λu 1 >=λ < v, u 1 >

.

n Leproduitscalaireestde´finipositif:Pour toutu∈R:

2 < u, u >=||u|| ≥0

et

||u||= 0⇐⇒u= 0

n Norme d’une somme de deux vecteurs :Pour toutu, v∈R:

.

2 2 2 ||u+v||=< u+v, u+v >=||u||+||v||+2< u, v >

.

En particulier, nous obtenons : 1 2 2 2 < u, v >= (||u+v|| − ||u|||| − v||). 2 n In´egalite´deSchwarz:Pour toutu, v∈R:|v >< u, | ≤ ||u|| ||v||teesueisnetlume´egaasd’ealilit´ceL. siv= 0 ou s’il existeλ∈Rtel queu=λv.

n Ine´galite´deMinkowski:Pour toutu, v∈Retλ∈R:||u+v|| ≤ ||u||+||v||ec.Laeil´te´agsa’d lieu si et seulement siv= 0 ou s’il existeλ≥0 tel queu=λv.

n Homog´en´eit´e:Pour toutu∈R:||λu||=|λ| ||u||.

D´efinition1.1.3 < u, v >= 0.

n (orthogonalit´e)DeuxvecteursuetvdeRsont dits orthogonaux si et seulement si

Remarque 1.1.4euctstreveUn`llaiuˆmrootoganeulementemesietsvxueD.luntseli’stonssurteec 2 2 2 ortogonauxsietseulementsi”l’identit´edePythagore”estve´rifi´ee:||u+v||=||u||+||v||.

n Proposition 1.1.5Une famille(u 1 , . . . , u r )de vecteurs non nuls deRxuedhtronogoexuade`auxetsnu famille libre.

Preuve :sid´Consnoreλ 1 , . . . , λ r ∈Rtels que

λ 1 u 1 +∙ ∙ ∙+λ r u r = 0

2

.

Onende´duit,pourtouti∈ {1,2, . . . , r}:

< λ 1 u 1 +∙ ∙ ∙+λ r u r , u i >=<0, u i >= 0

Parbiline´arit´eduproduitscalaire,onobtient:

.

λ 1 < u 1 , u i >+∙ ∙ ∙+λ i−1 < u i−1 , u i >+λ i < u i , u i >+λ i+1 < u i+1 , u i >+∙ ∙ ∙+λ r < u r , u i >= 0

Comme les vecteurs (u 1 . . . , u r nt:s)euadrtxotdonx`euono,eitbogohxuan

2 λ i < u i , u i >=λ i ||u i ||= 0

.

.

2 Puisque le vecteuru i ustseno´eospp,ulnn||u i || 6= 0 et doncλ i =usav0.Noinsionsatnomqe´raleuimafell (u 1 . . . , u r ) est libre.

n 1.2 Sous-espace euclidien de R n Dans ce paragraphe,E-suoapseevecrotcleieliucendiRde.d´esigneraunsSurE, nous avons une additionetunproduitparlesnombresre´elsvenantdesastructured’espacevectoriel.Maisnousavons,issu n du produit scalaire deRellenouv,unernousaritpoe´E:

E×E−→R

,

(u, v)−→7< u, v >

appele´eproduitscalairenaturelsurEavons donc aussi une application :. Nous √ E−→uR , ||7−→u||=< u, u >

appele´enormeeuclidiennenaturelledeE.

n Cesapplicationsconserventlespropri´ete´sduproduitscalairedeRtie´s,mylinie´ra:b,fitiosipfin´e,dietr´e ine´galite´deSchwarz,in´egalite´deMinkowski,homoge´n´eit´e.

3

D´efinition1.2.1sebane)Uee´mronohtroesab((e 1 , . . . , e p )deEnormrthoaseo´eebppleseated´eeEsi pour touti, j∈ {1,2, . . . , p}:

< e i , e j >= 0

si

i6=j

et

2 < e i , e i >=||e i ||= 1

n n Remarquons que la base canonique deR´meenoroedtuneesorthbaseR.

Proposition 1.2.2Soitpla dimension deEfamille de. Une pvecteurs deEde norme1dauexedtue`x orthogonaux est une base deEedeodtsnucneC.noho´ermasebrteoE.

Preuve :sestform´eedeD’apalrp`rsetioiposo,c.5.1n1mifateetiltseellellE.erbpvecteurs. Commepest la dimension deE, c’est une base deE. Proce´de´d’orthonormalisationdeSchmidt: Soitpla dimension deEet (e 1 , e 2 , . . . , e p ) une base de Eloalexns.usNoorthonord´editd’nurpcoe´lpcitireofiuqtdinetinrutisalimahmScdeonppesu´etaseneba orthonorm´eedeE.

De´part:(e 1 , e 2 , . . . , e p ) base deE. e 1 ´ EtapePosons1 :  1 = . C’est un vecteur de norme 1. La famille ( 1 , e 1 , e 2 , . . . , e p ) est une base deE. ||e 1 || ´ Etaper: ( 1 ,  2 , . . . ,  r ) famille deronogthorc(vexaauedseriatxueda`xuvecsuniteur 1 ,  2 , . . . ,  r , e r+1 . . . , e p ) base deE.

Posons : e r+1 −<  1 , e r+1 >  1 −<  2 , e r+1 >  2 − ∙ ∙ ∙ −<  r , e r+1 >  r  r+1 =. ||e r+1 −<  1 , e r+1 >  1 −<  2 , e r+1 >  2 − ∙ ∙ ∙ −<  r , e r+1 || On constate d’une part que r+1 est unitaire et orthogonaux aux vecteurs 1 ,  2 , . . . ,  r lrse.prroepUnsu´eeti´ basesechelonn´eespermetd’affirmerque( 1 ,  2 , . . . ,  r+1 , e r+2 , . . . , e p ) est une base deE(. Ainsi,  1 ,  2 , . . . ,  r+1 ) est une famille deradeueux`resditaite(anxuohogoxtrnusruetcev 1 ,  2 , . . . ,  r+1 , e r+2 . . . , e p ) base deE.

4

Noussommesarrive´s`a:

´ Etaper(+1 :  1 ,  2 , . . . ,  r+1 ) famille derceetruusinatrise+1vuano(texuxdede`aoruxogth 1 ,  2 , . . . ,  r+1 , e r+2 . . . , e p ) base deE.

´ Etapen: ( 1 ,  2 , . . . ,  n )edm´eeonororthbaseE.

n Proposition 1.2.3Tout sous-espace vectoriel deReem´oron.baseorthadmetune

Preuve :´eocedd´rt’onoholamrtasidnoihcSemidtnuteffenE-suosletceveespaielactornubemdteeLrpsa.e permet`apartirdecettebased’enconstruireunebaseorthonorm´ee.

4 Exercices-ouusedcepaes:Donnerunbesaoetrohonmre´HdeRqe´’dnoitaux 1 +x 2 +x 3 +x 4 = 0.

Solutionloseoituemht´redtqen(ueonn,tiobP:raogir’llae 1 = (−1,1,0,0), e 2 = (−1,0,1,0), e 3 (−1,0,0,1)) est une base deHonqulipp.A’drodee´or´clspetionlisaormathondeSchmidt: √ ´ Etape 1 :||e 1 ||on obtient := 2, 1  1 = √ (−1,1,0,0). 2 s 1 1 3 ´ Etape 2 :e 2 −<  1 , e 2 >  1 = (−,−,1,0) et||e 2 −<  1 , e 2 >  1 ||= . On obtient : 2 2 2 s 2 1 1  2 = (−,−,1,0). 3 2 2 1 1 1 2 ´ Etape 3 :e 3 −<  1 , e 3 >  1 −<  2 , e 3 >  2 = (−,−,−,1) et||e 2 −<  1 , e 2 >  1 ||= √ . On obtient : 3 3 3 3 √ 3 1 1 1  3 = (−,−,−,1). 2 3 3 3

5

=