Universite de Nice Sophia Antipolis L1 MP MI Algebre semestre

Description

Niveau: Supérieur, Licence, Bac+1
Universite de Nice Sophia-Antipolis L1 - MP - MI Algebre 07-08 semestre 2 Feuille 1 Corps des nombres complexes Exercice 1 – Mettre sous la forme x+ iy avec x, y reels les nombres complexes : (3? 2i)2 ; (3? 2i)3 ; 1 3? 2i ; 1 (3? 2i)(1? i) ; 2? i (3? i)(1? 2i) . Exercice 2 – Determiner sous la forme x+iy avec x, y reels les nombres complexes z solutions des equations : a) 4iz + 4? 3i = 0 b) (10? 2i)z + 5 + 7i = 0 c) (1? i)z ? 4 + 5i = 0 Exercice 3 – Determiner les couples de complexes solutions du systeme d'equations : [ (1 + i)z1 ? 2z2 = 3? i iz1 + (3 + 2i)z2 = 1 + 2i En deduire les couples de complexes solutions du systeme d'equations : [ (1? i)z1 ? 2z2 = 3 + i ?iz1 + (3? 2i)z2 = 1? 2i Exercice 4 – (Equations du second degre a coefficients reels) Trouver les nombres reels ou complexes solutions des equations suivantes : 1a) x2 = 32 49 ; 1b) x2 = 0 ; 1c) x2 = ?17

• couples de complexes solutions du systeme d'equations


• nature des similitudes directes


• loi de composition des applications


• solutions de l'equation z2


• c? ?c ?


• point fixe


• coefficients complexes


• meme question avec ? ?

Sujets

• Point fixe

Informations

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Extrait

Universit ´ edeNiceSophia-AntipolisL1-MP-MIAlge ´ bre 07-08 semestre2 Feuille 1 Corps des nombres complexes Exercice 1–Mettre sous la formex+iyavecx, yeeslelns´rmplexes:ombresco 1 12−i 2 3 (3−2i) ;(3−2i; ;) ;. 3−2i(3−2i)(1−i) (3−i)(1−2i) Exercice 2–rofalsuosrenimreD´etmex+iyavecx, yxelpse´selerlnoesrembomsczsolutions des´equations: a) 4iz+ 4−3i= 0 b) (10−2i)z+ 5 + 7i= 0 c) (1−i)z−4 + 5i= 0 Exercice 3–eq’´tiuat`ysedemnoitsudssexeulosno:spuelseocmolpdsceD´etnerlermi " (1 +i)z 1 −2z 2 = 3−i iz 1 + (3+ 2i)z 2 = 1+ 2i Ende´duirelescouplesdecomplexessolutionsdusyste`med’´equations: " (1−i)z 1 −2z 2 = 3+i −iz 1 + (3−2i)z 2 = 1−2i ´ Exercice 4–itauqE(cesudsnorlvenoesremb´esrosleuonddegr´e`acoefficeitnrse´le)srTuo complexessolutionsdese´quationssuivantes: 32 2 22 1a)x1= ;b)x= 0; 1c)x=−17 49 √ 1 31 5 2 22 2a) (x−)−= 0; 2b) (3x−0 ;2) =2c) (x−) += 0 2 42 4 √ 13 2 22 3a) 6x−5x; 3+ 1 = 0b) 9x2+ 12x+ 8 = 0; 3c)x−x0+ = 36 ´ Exercice 5–´r`eddgecffieicaeotionEquaeconsdus(rmemretrenisuosofalscntplomesex´e)D 2 x+iyavecx, yeesleldsuenxmorbnr´ioatqu´el’densiotulossexelpmocsez=cdans les cas : c= 3 + 8i;c=−11 + 4i;c= 1−i . 2 22 22 (Unem´ethodeconsiste`aremarquerque|z|=x+y=|c|, x−y= Recrminerle,`ad´etes 2 2 couples (yx ,), puis les couples (x, y) en tenant compte du signe de 2xy= Imc). ´ Exercice 6–(Endcosedunsioatquneicffieoca`e´rgedstocpmelex)s´Dteerminersouslaforem x+iyavecx, yselpxee´rslelnoesrembomsczsoisnlotuequades´s:tion

2 a)z+ (2 +i)z−i= 0 2 b)z−(1 + 2i)z+ 2 = 0 2 c) 4z+ (2−6i)z−8−6i= 0 De´duiredea)lessolutionscomplexesdel’e´quation: 2 z+ (2−i)z+i= 0 . Exercice 7–:selexsnomntdecompbresreelmrnie´etDgumel’arleetmodu √ √ 1 +i −11 ;−i;−+ 22 3i+; (1i)( 3−i) ; √ . 3−i Ende´duireparexemplelemoduleetl’argumentdescomplexesztels que √ 5 3 z= 1 +i;z= (1 +i)( 3−i). Exercice 8–etxesfintoieprlneimrete´D)etceridtudemili(sirectes:itudesdiedssmilialanuter φ 1 :C→C;z→φ 1 (z) = 2iz+ 1−3i φ 2 :C→C;z7→φ 2 (z) = (1−i)z+ 1−3i √ φ 3 :C→C;z7→φ 3 (z) = (1 +i3)z+ 1−3i √ 3i φ 4 :C→C;z7→φ 4 (z) = (−)z+ 2 +i 2 2 Exercice 9–edirecte)Consid´renolsseisimilut:setceridseds(limiduti φ:C→C;z7→φ(z) = (1 +i)z+ 2 + 3i √ 3i ψ:C→C;z7→ψ(z) = (+ )z+ 1 +i 2 2 1)D´eterminerlepointfixeetlanaturedeφet deψ. 2)Pre´ciserl’applicationcompos´eeφ◦ψuqi’sla’notstare.Crmine´D.ereteidedtcermisitulitdgine’u son point fixe et sa nature. 3)Meˆmequestionavecψ◦φ. −1−1 4) Nous savons queφetψves,pr´ecisersnobtjiceitφetψ. −1−1 5) Constater queφetψes.Prectiserr´ecmiliedssseidtidurseuslntsoastecevaluclacsn points fixes et leurs natures. Exercice 10–3Donner une expression de cosθ3et sinθ`laa’osecedidθet sinθ. Pourcela, inθ iθn on utilisera que pour tout entier relatifnretutotlee´θ:e= (eoianevc)Mˆ.eqemstue cos 5θ5et sinθ

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Exercice 11–Soitθee´rtelunnombrez= cosθ+isinθ. Montrerque pour tout entiern:    n n 1 1 n n 2cosnθ=z+ ;2isinnθ=z− z z    5 5 1 1 5 5 Ende´veloppantz+ etz−, donner une expression de cosθet sinθ`aia’leded z z cos 5θ, sin5θ, cos3θ3, sinθ, cosθet sinθ Exercice 12–rtouepoueltr´e1M)reuqnortθ:  ! ! ! ! ! ! θ θθ θθ θ 2 22 2 cosθ= cos−2cossin =−1 = 1−2sin ;sinθsin= 2cos 2 22 22 2 θ 2)D´eduirea`l’aidelemoduleetl’argumentdunombrecomplexe: 2 iθ e−1 = cosθ+isinθ−1. 3) Montrer que pour tout nombre complexezdistinct de 1 : n n +1 X z−1 k n z= 1 +z+∙ ∙ ∙+z= z−1 k=0 4) Soitθe´reidlennurbmood0m2instdectπque pour tout entier. Montrern: n θ X θ sin(n+ 1) ikθ iθinθ in 2 e= 1 +e+∙ ∙ ∙+e=e 2 θ sin k=0 2 5)End´eduirequepourtoutentiernetθrel´estditcnim0ed2doπ: n n X X 1 1 |coskθ|≤et|sinkθ|≤ θ θ |sin| |sin| k=0 2k=0 2 z−i Exercice 13–1) Soitzere´edtnmxoeclnpffuide−ique le nombre complexe. Montrer z+i estdiff´erentde1. z−i On note alorsf:C− {−i} →C− {1}apl’parnfieidne´taoilpcif(z.) = z+i −1 2) Montrer quefcejievite´D.mretinertbesf. 3) Montrer quefadmet deux points fixesz 1 etz 2 e´dno’lerenimreta.qu 4) Montrer qu’il existe un complexeaicesrpe´’lnoqeutoutpourlqueratezdictinct de−iet z 2 : f(z)−z 1 z−z 1 =a f(z)−z 2 z−z 2 5)D´eterminerdeuxcomplexescetdtels que pour tout complexezdistinct de−i: d f(z) =c+ z+i

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+ Exercice 14–s.tedsedceriimisutilembled(essiml’enssiesi`dderretScesmeiOl)ictnidnuo Pouraun nombre complexe non nul etbun nombre complexe, on noteφ a,b la similitude directe : φ a,b :C→C;z7→φ a,b (z) =az+b 0 0 1) Soita, ades complexes non nuls etb, bcsedees´poompalpre’loicncitaexesomplecis.Pr´ φ a,b ◦φ a ,b . 0 0 −1 2) Montrer queφ a,b cejievitbtsenemird´eteretφque Id. Montrer C :C→Cfiniepard´e a,b Id C (z) =zest une similitude directe. + 3)MontrerqueSimpourlaloidecompositiondesapplicationsestungrouped’´el´ementneutre Id C . 4)D´eterminerenfonctiondeaetbles points fixes deφ a,b . 0 0 0 tsM ,MM ,. NotonsM ,Moints dont les affixes Soitz 0 , z 1 , z 2 les affixes de 3 poin 0 1 2 0 1 , M 2 les p sontφ a,b (z 0 ), φ a,b (z 1 ), φ a,b (z 2 ). 5) Montrer que −→ − 0 − 0 −−−→ M kM 0 1 k=|a|kM 0 M 1 k End´eduirequesiMd’affixeztinue´rceledeccrΩdrentceedffix’aωet de rayonR, les points d’affixesφ a,b (z´dceirevtnnueccr).arequle’oelr´npisec 6)Montrerl’e´galite´desanglesdevecteurs: −−→ d − 0 0 − 0 −−→ 0 −−−→ d −−−→ M MM) = (M ( 0 1 , M 0 2 0 M 1 , M 0 M 2 ) End´eduirequesiMd’affixezsxeaffiirutenrd´dcepointsd’oite,lesφ a,b (zecd´)nutnevir.etiorde ∗ Onconsid´erel’ensembleC×Cscdeplou(aes)t,bqsleeumre´ofaest un nombre complexe non ∗ nul etbe.excoOnidnsre`eolaltniienreunnmorbcemolp?surC×Cd´efiniepar: 0 00 0 (a, b)?(a , b) = (aa , ab+b). ∗ 7) Montrer que muni de cette loiC×Csiceareotno´rpnegroustuncnmoeponitdfumat l’e´l´ementneutre. 8) Montrer que l’application : ∗ + C×C→Sim :(a, b)7→φ a,b est un morphisme de groupe. 9)Montrerquecemorphismedegroupesestbijectifetd´eterminersoninverse.

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