Math III Algèbre Automne Université Claude Bernard Lyon

Claude Bernard Lyon

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• cours - matière potentielle : du temps


• cours - matière potentielle : l' exercice

Math III-Algèbre - Automne 2007 Université Claude Bernard Lyon 1 Quelques applications de la réduction des endomorphismes Exercice 1.* — Les solutions du système différentiel d dt X(t) = AX(t)+ V(t) sont les applications X de R dans R3 de la forme X(t) = exp(tA)X0 + ∫ t 0 exp((t ? s)A)V(s)ds avec X0 ?R3.Le premier terme du membre de droite est la solution générale de l'équation homogène (i.e. avec V(t) = 0) et le second une solution particulière du système inhomogène obtenue par la méthode de « variation de la constante ». Écrivant V(t) sous la forme V(t) = V? + tV?? avec V? = ? ? 1 0 1 ? ? et V?? = ? ? 0 1 0 ? ? , le calcul de l'intégrale ∫ t 0 exp(?sA)V(s)ds = ∫ t 0 exp(?sA)V?ds+ ∫ t 0 sexp(?sA)V??ds est particulièrement facile lorsque la matrice A est inversible car tout se passe alors comme si A était un nombre réel : ∫ t 0 exp(?sA)V?ds =?A?1 exp(?tA)V? et ∫ t 0 sexp(?sA)V??ds = ?A?1 exp(?tA)(tI3 + A?1)V??, d'où

• répartition stable entre zones rurales


• vérification par le calcul


• zones urbaines


• solutions du système différentiel


• a? i2


• système différentiel


• calcul de l'exercice

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Math III-Algèbre - Automne 2007

Université Claude Bernard Lyon 1

Quelques applications de la réduction des endomorphismes

Exercice 1.*— Les solutions du système différentiel d X(t) =AX(t) +V(t) dt 3 sont les applications X deRdansRde la forme Z t X(t) =exp(tA)X 0 +exp((t−s)A)V(s)ds 0 3 avec X 0 ∈R.Le premier terme du membre de droite est la solution générale de l'équation homogène (i.e. avec V(t) =0) et le second une solution particulière du système inhomogène obtenue par la méthode de « variation de la constante ». ′ ′′ Écrivant V(t)sous la forme V(t) =V+tV avec    1 0 ′ ′′    V= 0 et V= 1 , 1 0 le calcul de l'intégrale Z ZZ t tt ′ ′′ exp(−sA)V(s)ds=exp(−sA)V ds+sexp(−sA)V ds 0 00 est particulièrement facile lorsque la matrice A estinversiblecar tout se passe alors comme si A était un nombre réel : Z Z t t ′ −1−′ ′′1−1′′ exp(−sA)V ds=−A exp(−tA)V etsexp(−sA)V ds=−A exp(−tA)(tI 3 +A)V, 0 0 d'où Z t −1−2′′ exp(−sA)V(s)ds=−A exp(−tA)V(t)−A exp(−tA)V. 0 Remarque : Les calculs précédents (qu'il faut vérifier !) se déduisent simplement de l'identité d −1 (A exp(tA)) =exp(tA). dt

Nous obtenons ainsi l'expression suivante pour les solutions du système différentiel considéré lorsque la matrice A estinversible: −1−2′′ X(t) =exp(tA)X 0 −A V(t)−A V. Il reste maintenant à utiliser les calculs effectués au cours de l'exercice 8 de la fiche 4. - Dans le premier cas, 1 11 1 4tt t4t−1−2 exp(tA() =e−e)A+ (4e−e)I 3 ,A= (5I 3 −A)et A= (21I 3 −5A), 3 34 16 −1 2 le calcul de Ase faisant aisément à partir de l'identité A−5A+4I 3 =0 (polynôme minimal). - Dans le second cas, 1 t2 2t−1 2 exp(tA) =e(A−2I 3 )−e((1−2t)I 3 +tA)(A−I 3 )(A−3I 3 )et A= (A−5A+8I 3 ), 4 3 2 le polynôme minimal de A étant dans ce cas T−5T+8T−4.

d Exercice 3.*— La solution du système différentielX(t) =AX(t)prenant la valeur X 0 ent=0 est l'appli- dt n cation X deRdansRdéfinie par X(t) =exp(tA)X 0 .

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