Prescription de la multiplicité des valeurs propres

Pierre Jammes

Description

Prescription de la multiplicité des valeurs propres du laplacien de Hodge-de Rham Pierre Jammes Résumé. Sur toute variété compacte de dimension supérieure ou égale à 6, on prescrit le volume et le début du spectre du laplacien de Hodge-de Rham agissant sur les p-formes di?érentielles pour 1 ≤ p < n2 . En particulier, on prescrit la multiplicité des premières valeurs propres. Mots-clefs : laplacien de Hodge-de Rham, formes di?érentielles, multiplicité de valeurs propres. Abstract. On any compact manifold of dimension greater than 6, we pres- cribe the volume and any finite part of the spectrum of the Hodge Laplacian acting on p-form for 1 ≤ p < n2 . In particular, we prescribe the multiplicity of the first eigenvalues. Keywords : Hodge Laplacian, di?erential forms, multiplicity of eigenvalues. MSC2000 : 58J50 1. Introduction On sait depuis les travaux de S. Y. Cheng [Ch76] que la multiplicité de la k-ième valeur propres du laplacien sur une surface compacte est majorée en fonction de k et de la topologie. En dimension plus grande, Y. Colin de Ver- dière a montré ([CdV86], [CdV87]) que toute rigidité disparaît et qu'on peut arbitrairement prescrire le début du spectre, en particulier la multiplicité des valeurs propres peut être arbitrairement grande.

• bord


• hodge


• spectre


• laplacien de hodge


• norme l2


• opérateur


• laplacien∆p agissant sur l'espace ?p


• primitif

Sujets

• Jammes
• Spectre
• Opérateur
• Primitif

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Extrait

np 1p< 2
np 1 p <
2
k
k
ectre,-sondevRhamvPierrefacesJammes?tudi?R?sum?.sSur[CdV87])toutegrande.v[HHN99]),ari?t?tcompaclesquelstveRhdededimeutensionvs?rateursupultiplicit??rieurerouhr??galeennec?ec6,tonlesprescrittr?leduvdi?renolumer?sultatetaledispara?td?butledumspeutectreChengdudingerlaplacjorationien(vdeestimationHodedge-deopRhamsurfaceagissanpartprobl?mesuroples([CdVT93],dgep-formeslesdi?renplustiellestp.ourpHotoutedelaplacienlaplacienagitduimpsd'proprer?sultat.er-Entr?particulier,touteonqu'onprescrittladumparticulierulcit?tpropresiarbitrairemenplicit?r?sultatdesauxpremi?resScvlesaleurslapropres.laMots-clefs?t?:[Be80],lmeilaplacienodemHo2dge-depropreRham,deformessurdi?renytielles,obtenmS?-ultiplicit?[S?02]).deaussivouralaeurshamppropres.pAbstramct.?treOnEnannybcompactconcernanmanifold?rateursoflesdimensionnaturels.greaater[Gu04]thanp6,riwnieectrepres-Hocribm,elesthemaisvtolumepropresandsimples.anLeyColinniteVpartdi?reofmonthe([CdV86],spqueectrumrigidit?ofetthepHoarbitrairemendgeprescrireLaplaciand?butactingsponenaleursla-formultiplifordesvaleursspde?treultiplicit?tmLelade.s'?tendInopparticular,dewhr?esurprescribsur-eetthemamdeultiplicimtayam?lior?eofoirthe[Na88],rstlaeigenleurevpalueusla.ultiplicit?Keywlaordse:aleurHod'und?rateurgScedingerLaplaciunean,adierenantial?t?forms,uemB.ultiplicitvy([S?94],ofCeeigenav?t?aplues.desMSC2000?rateurs:v58J50c1.magn?tiqueIn[BCC98]),troourductionlaOnultiplicit?saiteutdepuisarbitrairemenlesgrande.tracomparaison,vcoauxnaissancesdetS.eaucoupY.limit?sChengt[Ch76]opqueagissanlasurmbr?sultiplicit?ectorielsdePlaGu?rinidemon-i?medansvqu'onaleureutpropresreduclaplacienresurpartieuneesspurfaceducompactedeestdge-demaajor?equiensurfonctionformesdetielles,Prescriptionenblableosan?t?auxualeursM.prescritesp?trel'opUndesemiracaetobtendeparlaDahltopourologie.?rateurEnDdimension([Da05]).plusseulgrande,1Y.n 6
n
2
n(M ;g)
p pn
(M) p
= dd+dd d
0 = (M;g)< (M;g) (M;g):::p;0 p;1 p;2
b (M)p
( (M;g)) ( (M;g)) ( (M;g))p;i i1 p;i i p 1;i i
0< (M;g) (M;g):::p;1 p;2
p
(M;g) = (M;g) p ip;i n p 1;i
M
n 1 (M;g) pp;i 2
nM
n 6 N 2 N V > 0
0<a <a a :::a 0<a a :::a1;1 1;2 1;3 1;N p;1 p;2 p;N
n 32p [ ] g M
2
n 3 (M;g) =a 1kN 1p [ ]p;k p;k 2
n 1 (M;g)> sup ap;ii;N[ ];1
2
Vol(M;g) =V
n 1 (M;g)> sup ap;ii;N[ ];1
2
n 1[ ]
2
n
2
ilVconsistedeimen-Colinetdepr?cis?menth?or?medebutlespd'?tendreconstruireestsparticleformesesteutlaondanr?uniond'undemocetari?t?deubutleLeco[Ja06a]).estoiron(vtableRhammdge-deectre,etetHoectrededomainelaplacienpropri?t?sduformesdoublesquepropres,aleursourvdge-dededearbitrairelicit?bretielle.o?o?nomparunonconstruiresureutlepRemarquequ'onari?t?estle?rateursdeopendeuxlescesexactes.deeullesvnari?t?non(enpropresari?t?)aleursdevdudese.ultiplicit?cmsuiteslatoutetde(1.2)pd?signevlespropresvdealeurs,puneromprestdunoteronslaplacienourrestreind?signetp?quel'espacedesdi?renconcernanexcepte-formesdegr?coagissanexactes,petdeonLaacompacteenuneoutrearbitrairemenuSiauxpconncrireectrespspvledudge,propresHo?tandedansth?orielearlaPfaire.leformesladi?renerstiellesmoenccurencemonlapaoursouhait?toutgr?ceBettieetectrede?siourbredegr?sn'adepasdesdetbsurord.vLecompactespdimensionectreoncompleteutdudeslaplacienpsealeursd?duitdalorslaplaciendesHonomRhamlealorsc'estexiste:m?triquegiquesurolo-teltopquepultipourarbitrairementectreariansonvNousinpundi?renestlaerdi?regrande,etlaet?clusentdesi'in;arianced?ni2tiellesv-formesaleursdespropreslesqu'ondevl'espaceats'in,t?resser.;Th?or?melaplacien1.3.,Soitsionexiste,delle.une1.4.vari?t?conditioncorienompriemannienneactevcestonprescrirenexetorientabled?butsansultiplicit?.becorermetdpres-deledimensiondusiectreulle,degr?naetspre,pformesrocorrespptes.tSiCommeon[CdV86]se[CdV87],donneprincipunderd?monstration??econlergeraleurspvdelav,vuneceluisuiteespaceded?letiplicit?l'oul-unmdeLavultiplicit?.quimleaectreyets'ilconclure?t?esauxr?pdtstabilit?sonspullesdundnonlpropresPaleurslesvdelesproo?hes(1.1)tran,,c'estd?monstrationdonchoue?raisonlalmvultiplicit?(oudeces2L
n 6
(M;g)1;1
n 1 (M;g)
[ ];k
2
n 4
n 1[ ]
2
(M;g)1;1
nM
n 5 M g
(M;g)1;1
M
(M;g) k1;k
laOnChengutiliseraduitsunepconstructionlespSuradrtiquec?ucomprendli?reChengquidene?p3ermetonnexepassurdepaspres-ermetcrireplusla3.mdimensionultiplicit?exactesdeunelaendantpremi?respvlaaleur?propreTh?or?meetompqorualorim?meneauxfonctionneonqu'endedimensiontUnepropres.d?les.semmose.eLe06a]pL'?nonc?roauxb3l?medesuivsuanlestderesteargumendon(domainescenouvmoertsection:th?or?mesQuestion1.31.5.SiLvari?t?aemultiplicit?sansdesdevaleursmoprilopruneesleespacesplicit?desappconstructionpa?lLatnefaciliteronenddegr?sdecesvetprobl?meourt?ressanp?tretceapparaissenenquieet,sexemplest?dansrigiditlesmoinsqueS.tourraitendanformespneut-elQuestionlevari?t??tr3,eoarbitrlaairautresementpgrdeanded?monstration?tDansson[Ja06a],auxondaux)montoptre2.commen2tdeconstruiremaines.desseraexemplesd?monstrationdeetvor?meari?t?s:de1.6.dimensionourcepuneerracvactadmettanctorientabledesbvdaleursdimensionpropresd?lesde,msultiplicit?existearbitraire-espacesmenm?triquettelgrande,queymulti-comprisdeeneldegr?faireOnourra.nenormesoitlagalede3..m?thoLeurutilis?etoppologiecepestantr?spasparticuli?represcrire(vautresari?t?saleursproLeduits),lemaisincestexemplesblemondetrenretquiqpasseudimension'onEnalpassenprog?n?raldonn?de[Jabsonornedesuraula4.mdeultiplicit?Y.compmes'?tendreen1-dimensionco2.eEndimensionce:q1.7.uunei1,lesdimensionetexiste-t-illabolorneder?multiplicit?fautdegr?degr?s.de?tablirformestelourond?peutuniquementt?rerconcernedeconformetopappara?tgiedicult?MautreIlnoterpqueariance)ourvuninr?sultat,presquepladicilementrerons,espquelquesadapterelslahnideudonqu'onleseutsfairetle?ciquesectrefonctionsvnocompacteetourlalaplacienologieHodimensiongeDansdesectionvnouslenectreapr?s,rappontecpqeutes,aussipapptortertendrecetsp?l?mend'unetari?t?depr?pleonsedeendutilisan-tRhamlesersm?msped'untecseshnioqLau3esconsacr?equelapdesour1.3le1.6.th?1U C M
j : @U ! U N
U

j (i !) = 0 j (!) = 0N(A) j (i d!) = 0 j (d!) = 0N

j (!) = 0
(R) j (d!) = 0
pKer H (U)
pH (U)0
j (d!) = 0
j (d!) = 0

j (!) = 0
(D) j (!) = 0
2 pL ( U) = Im d Ker Imd
! ! = dd ++dd
Ker
! = d’
! = dd ’
!
d j (i d) = 0N
(R)querapnous?rienoteronslrespdeectivouremenplusieurstla(A)auet'on(R)betm?mequitangensonconditiont[An89]).d?nies?phlet.amonrPpari?t?elordappesttseferondenousadmetauquelsectreRham(2.3)dge-deoHoestderestrilaplacien?quivduNeumann,ectralelaspdeth?oriedeatrerlbeudonesfaireubqleout.hnisatecitects2.8).aspvcertains(veler[Mc93]).rappceluiallonsvnousdet,Ilanoursuivleleauetpparagraphe(vceelonsDansauxord(A)(2.1)lenetconditionbles?(D)ari?t?devd?compunedgeourecteurpccohomologiecanoniqueetd?pordconditionbceunedelleConditionseu2.1.tdomained'uned'untendreceluiconditionersconsid(2.2)tPyourcorrespladomainecondition,(A),ositionvcari?t?nest?isomorphedomaines?delaaucunecohomologieordvled'une2.1reparticulier,ectprimitivspquietepari?t?es,ourb(R),conditionsilexisteestord.isomorpheP?lal(D),ancohomoylduoagielacien?trivialsuppoirortRappcqu'enompactctiondufonctions,ergenceconditionetestva-Conte2.laferm?es.deoiretparconditionsexempleet[T?a96],conditioncDirich.La5).ositionIlHoestbimm?diatnormalquevsoushamplaunconditionet(R)l'injectiononqaendabsolueslaconditionsdelesordthoisie.sonourprincipalesformedeux,.s'?critEtpcommenotela,dualit?compactedevHoo?dgeetpvermlaudelesordrelativ?r?e,et?tan?danslesnobauord,?(A)ondanimpliqueSiqueunelliptique),lesoitalorslaplaciend?compepllaqueondtellesio(c'est-?-dire(A)ourr?duit.SiNous(th?or?meauronssesbsiesoinned'une?rieautreconditionconditionbdeparticuli?reboirord,paragd?niheedeparEnsurd'unRhamunedge-deeHoersdeestlaplacientiellle(ourcompactepvblesd'uneadmissispordte)cesorthogonaledeuxtoutesconditionsformesde4(vppH (U) H (U)0
U M
U U
p p pH (U=M) =f!2
(U); d! = 0g=f! ; !2
(M) d! = 0gjU
U
p pM H (U=M) H (U)
p pH (M)!H (U)
pH (U=M)

2k!k
= inf sup ; d’ =! ;p;i 2V k’ki !2Vnf0gi
V ii
p + 1
! ’
!
2q(!) = inf k’kd’=!
!
1q(!) = ( !;!)
2Q(!) =k!k 2L
j!j = inf k’k 2L
d’=!
2 p+1L ( M)\ Im d
jj
Q
2 p 2 p+1L ( M)=Ker d L ( M)
conleacth?or?meoprdauronsetervconrvformeergence.adeu:paragraphedesuivdeantt,etnousdeutiliseronsdeunedecaract?risationulevquadratiqueariationnellectrduauxsprestrictionectreconstruitdonentertle(c'estprincipidenehaqueestlad?co?estJ.(onCheegeraetCommeJ.eDoositiondziukr?le:normePropLositionesp2.5en([Do82],o[Mc93]).atiqueSurferm?esunenormevari?t?.cRemarqueomptraduisanacteespacesanspasbnormeordo-dmaisou?aver,cecquadratique,onditionaudeprimitivbdeorspdv(A),duoneutaaincretrertoujoursd?monformeouretPOndgeaHoladeenaplacientlladudeectreHilbspositionduspCaract?risationet2.2.esnie.dudimensionestric-deexactesestcparticulier,formeEnformesactes.parexdeset?ferm?esleformesespacedescellerestrictionlaarL'espacepl'ino?ded?niepaseHil-pilaromplcourourtunl'ensembletdesdesous-espplusacpessondeodimensionlesnaturell,dansexactel'espesoinacformeec'estdesnormecationcarr?l'appli-ladee-formesexacteexacteslalisses.SonIlectreel'in?tanerseidencelui?laplacienbpdeseprimitivv5qu'onord,aussicetteestformexacteuleunefournit(2.4)le:sp).ectreretrouvplourformladeconditionprop(A2.5)inm?meertissansileondeneformesuppetoselapasdequeertdesPropformes2.6.'imageetelevles?rienactprcetteescondition.laplacienCelartitionenformestsessennttieuxelalquadrlemeferm?esndestlaaudefaitformesrapptel?elativementpluslahautquotienqu'unecommeformeesteCe