Experimental Mathematics no

Gt102

Description

Niveau: Supérieur, Doctorat, Bac+8
Experimental Mathematics, 19, no 3 (2010), 345–361 Constantes de Turan-Kubilius friables : une etude numerique Guillaume Hanrot, Bruno Martin & Gerald Tenenbaum Abstract. This study is a follow up to recent works, by La Breteche–Tenenbaum [2] and Martin–Tenenbaum [15]. The former work provides a friable (i.e. with respect to integers free of large prime factors) extension of the classical Turan-Kubilius inequality, while the latter furnishes a theoretical method for sharp evaluation of the involved constants. Here, we complement these investigations with a numerical study of the friable Turan-Kubilius constants, thereby supplying an effective, quantitative measure of the discrepancy between probabilistic number theory and its probabilistic model. Keywords: probabilistic number theory, Kubilius model, Turan-Kubilius inequality, friable integers, self-adjoint operator, power method, saddle-point method. 1. Introduction Un entier naturel n 1 est dit y-friable si son plus grand facteur premier P (n) — avec la convention P (1) = 1 — n'excede pas y. La theorie des entiers friables prend graduellement une place preponderante dans les diverses branches actuelles de la theorie analytique des nombres. Dans cette perspective, une etude de la generalisation friable de l'inegalite de Turan- Kubilius, qui constitue un outil classique et essentiel de la theorie analytique et probabiliste des nombres, est susceptible de nombreuses applications.

• accord exact avec le modele probabiliste de kubilius


• point-selle de l'integrale de perron inverse pour ?


• turan-kubilius friables


• unique solution


• operateur de dimension finie


• equation


• kubilius

Sujets

• Tannenbaum
• Martin
• Équation
• Kubilius

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Extrait

Experimental Mathematics, 19,n o 3 (2010), 345–361

ConstantesdeTura´n-Kubilius friables:unee´tudenum´erique

GuillaumeHanrot,BrunoMartin&G´eraldTenenbaum

Abstract.Thisstuuwolrotpsiydlofa,bksaByLenecortwneabT–neceeher`t]andum[2 Martin–Tenenbaum [15]. The former work provides a friable (i.e. with respect to integers freeoflargeprimefactors)extensionoftheclassicalTura´n-Kubiliusinequality,whilethe latter furnishes a theoretical method for sharp evaluation of the involved constants. Here, we complementtheseinvestigationswithanumericalstudyofthefriableTur´an-Kubiliusconstants, thereby supplying an effective, quantitative measure of the discrepancy between probabilistic number theory and its probabilistic model. Keywords:htrebmuncitsilibodsmiuilub,Kryeorobapelba-nuKibilleT,rua´lity,friusinequa integers, self-adjoint operator, power method, saddle-point method.

1. Introduction Un entier natureln1 est dity-friable si son plus grand facteur premierP(n) — avec la conventionPasepde`cxe’n—1=)1(yelleraduendgesprailbsrrftneiedesieor´ethLa.tnemenu placepre´pond´erantedanslesdiversesbranchesactuellesdelath´eorieanalytiquedesnombres. Danscetteperspective,unee´tudedelage´n´eralisationfriabledel’ine´galit´edeTura´n- Kubilius,quiconstitueunoutilclassiqueetessentieldelath´eorieanalytiqueetprobabiliste desnombres,estsusceptibledenombreusesapplications.Ceprobl`emea´et´eaborde´dansla bibliographie,notammentparAlladi[1],Xuan[19],[20],etLaBrete`che&Tenenbaum[2]. Conform´ementa`l’usage,nousde´signonsparS(x, y) l’ensemble des entiersy-friables n’exce´dantpas xet parΨ(x, y) son cardinal. Notonsα=α(x, yl’)quatl’´eioneuosnuqinoedulit transcendante  l α ogp = logx, py p−1 quicorrespondaupoint-selledel’inte´graledePerroninversepourΨ(x, y) — cf. [12]. Les auteursde[2]mode´lisentlar´epartitiond’unefonctionadditive (1) tsera`etnierS(x, y) en introduisantlavariableal´eatoireZ f,x,y abstraite f,x,y :=  ξ p , Z py

` lξ p soiosdslenaetpendnd´euesitriqe´moe´gseriotae´alesbliaarsvdent ou es (1∙1)P  ξ p =f(p ν )  = p ν 1 α  1− p 1 α  (ν0). Nous convenons ici que, si plusieurs valeursf(p ν )iosninfitntueneve´ntmeleel)rbmonne( e´gales,laprobabilit´ecorrespondanteestobtenueensommantlesprobabilite´sapparaissantau secondmembre.Delad´emonstrationducorollaire5.1de[2],onpeutfacilementd´eduireque pour toute constantec >0, la majoration V f (x, y  1 ) :=   f(n)−E(Z f,x,y )  2 V(Z f,x,y ), Ψ(x, y) n∈S(x,y)

2000 Mathematics Subject Classification: primary 11N25, 11N37; secondary 11-04, 47-04. 1.Rappelonsqu’unefonctionarithme´tiquef:N ∗ →Cest dite additive si l’on af(mn) =f(m) +f(n) pour tous entiersmetnpremiers entre eux.

2

G. Hanrot, B. Martin & G. Tenenbaum

estvalableuniforme´mentpourtoutefonctionadditivecomplexeflorsqueclogxyx. Pourx=yque.reisssvasaisnolc,onretrouvelanr´ub-Kiuilansd´ni’lagee´tiuTed NotonsA’enslivitddsaleva`aessedelbmenoitcnofesexec.Lscurplomnocanatsuclaledlte optimale C(x, y sup) = V f (x, y) f∈A, f=0 V(Z f,x,y ) etlade´terminationdesoncomportementasymptotiquesontdesquestionsnaturellesissues delamode´lisationd´ecriteplushaut:onobtientainsiunemesurequantitativedel’e´cartentre lathe´orieanalytiquedesnombresetsonparadigmeprobabiliste.Danscetteperspective,les auteurs de [2] obtiennent la relation (1∙2)C(x, y) = 1 +o(1)  lo y gxgol + golx y 0  →. Parailleurs,ilsd´eduisentdesre´sultatsde[10]quel’ona lim supC(x, x) = 2. x→∞ Leseuilsup´erieurdel’ind´ependanceasymptotiqueexprim´eeparlarelation(1∙2) est en accordexactaveclemod`eleprobabilistedeKubilius—voirnotammentKubilius[13],[14], Elliott [4], [5], et Tenenbaum [16]. Plusge´ne´ralement,lecomportementasymptotiquedeC(x, yleuqrapee`maertlors),

u:= (logx)/logy

estfixe´,ae´t´ere´cemment´elucid´eparlesdeuxderniersauteurs[15].Nousrestituonsa`pre´sent succinctementlesnotationsetler´esultatprincipaldecetravail. La fonctionulegeri`timar´oneuqeecnlede´rfaermetdefman,quipaepporixuonrrinuckDide Ψ(x, y)/x’lemqinueustreecavlemuorefmoceinfie´dtse,)eparevoir(runu]1opel1[expm solutiondel’´equationdiffdie´ertneillaexuff´erences  v(v) +(v− (1) = 0v >1),

satisfaisant la condition initiale(v (0) = 1v1).Conotonsn,egasuon`antusl’rmfome´e ξ=ξ(vllnenounitno´reeiquesolu)l’unontiuaeq’´eledll 1 +vξ= e ξ

lorsquev= 1 et posonsξpletsmoarseenrauies´dtCi.vnio1)=0(m u rdiesu´efin1]par[0; dm u (t) = e tξ(u) d t , t nous introduisons l’espaceH u =L 2 ([0,1], m u ) muni du produit scalaire et de la norme canoniques,note´srespectivement∙,∙et∙d´lanttaetomenneecnadnepeueur’op´eratlte, auto-adjointT u de´nfisiurH u par 1 T u ϕ(t) :=h(u, t)ϕ(t)−  0 K u (s, t)ϕ(s) dm u (s) (t∈[0; 1]), avec h(u, t) := (  u (u − ) t e ) −tξ(u) = exp   t {r(u−v)−ξ(u)}dv  (t0) 0 et K u (s, t) :=h(u, s) +h(u, t)−h(u, s+t)−1 (s, t∈[0; 1] 2 ).