THESE PRESENTEE A L'UNIVERSITE

Bruno Demange

Description

Niveau: Supérieur, Doctorat, Bac+8
THESE PRESENTEE A L'UNIVERSITE D'ORLEANS POUR OBTENIR LE GRADE DE DOCTEUR DE L'UNIVERSITE D'ORLEANS par Bruno DEMANGE Discipline : Mathematiques Principes d'incertitude associes a desformes quadratiques non degenerees These effectuee sous la direction de Aline BONAMI Soutenue le:7 Decembre 2004 MEMBRES DU JURY -Aline BONAMI (Professeur, Universite d'Orleans, directeur de these) -Philippe JAMING (Maıtre de conference, Universite d'Orleans, codirecteur de these) -Jean-Philippe ANKER (Professeur, Universite d'Orleans) -Pascal AUSCHER (Professeur, Universite de Paris-Sud) -Xavier TOLSA (Universitat Autonoma de Barcelona) -Claire ANANTHARAMAN (Professeur, Universite d'Orleans) RAPPORTEURS -Pascal AUSCHER, Michael COWLING 1

• espace de fock


• theoreme de paley-wiener-schwartz


• uncertainty principles


• conditions necessaires sur la transformee de bargmann


• transformee de fourier


• principe d'incertitude de beurling


• conditions


• beurling-hormander's theorem

Sujets

• Cowling
• Demange
• Espace de Fock
• Transformée de Fourier

Informations

• Publié par: profil-zyak-2012
• Publié le: 01 décembre 2004
• Nombre de lectures: 109
• Poids de l'ouvrage: 1 Mo

Extrait

TH È SE PR É SENT É E À L’UNIVERSIT É D’ORL É ANS POUR OBTENIR LE GRADE DE DOCTEURDEL’UNIVERSIT É D’ORL É ANS par Bruno DEMANGE Discipline :Mathématiques

Principes d’incertitude associés à des formesquadratiques non dégénérées

Thèse effectuée sous la direction de Aline BONAMI

Soutenue le:7 Décembre 2004

MEMBRES DU JURY Aline BONAMI (Professeur, Université d’Orléans, directeur de thèse) Philippe JAMING (Mâıtre de conférence, Université d’Orléans, codirecteur de thèse) JeanPhilippe ANKER (Professeur, Université d’Orléans) Pascal AUSCHER (Professeur, Université de ParisSud) Xavier TOLSA (Universitat Autònoma de Barcelona) Claire ANANTHARAMAN (Professeur, Université d’Orléans) RAPPORTEURS Pascal AUSCHER, Michael COWLING

1

2

Table

1

des

matières

Introduction générale

2 Outils d’analyse complexe 2.1 Notations et préliminaires . . . . . . . . . . 2.2 Transformée de Fourier et distributions . . . 2.3 Principe de PhragmènLindelöf . . . . . . . 2.4 Le Théorème de PaleyWienerSchwartz . . 2.5 Espace de Fock . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.2 Propriétés de l’espace de Fock . . . . 2.5.3 L’espaceF 2 . . . . . . . . . . . . . . 2.5.4 L’espaceF 0 . . . . . . . . . . . . . . 2.5.5 L’espaceF. . . . . . . . . . . . . .

3.1 3.2 3.3 3.4

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 Principe d’incertitude de Beurling pour la forme de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Statement of the main result . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1 Notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.2 Construction of solutions . . . . . . . . . . . . 3.2.3 Statement of the main result . . . . . . . . . . 3.2.4 The cased= 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . Proof of Theorem 3.2.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.1 The Bargmann Transform . . . . . . . . . . . 3.3.2 A family of operators . . . . . . . . . . . . . . 3.3.3 The Bargmann Transform of solutions . . . . 3.3.4 A converse to Theorem 3.2.5 . . . . . . . . . . Vanishing solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.1 Examples of vanishing solutions . . . . . . . . 3.4.2 Characterization of vanishing solutions . . . . 3.4.3 Weak Uncertainty Principles . . . . . . . . . .

3

7

21 21 22 23 24 27 27 28 31 33 34

37 45 48 48 49 51 53 54 54 55 59 65 67 67 68 71

4

5

6

7

Principe d’incertitude de Beurling pour des formes non dé générées: cas général 77 4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 4.2 Conditions suffisantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 4.3 Conditions nécessaires sur la transformée de Bargmann . . . . 81 4.4 Résolution de cas particuliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 4.4.1 Premier exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 4.4.2 Second exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 4.5 Conditions plus générales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 4.6 Commentaires sur le cas général . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

Principes d’incertitude pour la fonction d’ambigüıtéradar 97 5.1 Définitions et propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 5.2 Inégalités de Heisenberg généralisées . . . . . . . . . . . . . . 98 5.2.1 Simplification du problème . . . . . . . . . . . . . . . . 99 5.2.2 Existence de fonctions minimisantes . . . . . . . . . . . 104 5.2.3 Discussions sur l’unicité . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 5.3 Principe d’incertitude de Beurling pourA(u, v) . . . . . . . . 112 5.3.1A(u, v. . . . . . . . . . . . . . ) pour des distributions 114 5.3.2 Énoncé du résultat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 5.3.3 Étude d’une fonction auxiliaire . . . . . . . . . . . . . 115 5.3.4 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

Paires faiblement et fortement annihilantes 6.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 Paires de formes quadratiques annihilantes . . . . 6.2.1 Exemples associés à la forme de Lorentz . 6.2.2 Le résultat principal . . . . . . . . . . . . 6.2.3 Corollaires et généralisations . . . . . . . . 6.3 Paires d’ensembles fortement annihilantes . . . . 6.3.1 Ensemblesε. . . . . . . . . . . .minces . 6.3.2 Autres exemples . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.3 Démonstration du théorème 6.3.4 . . . . . 6.3.4 Démonstration du théorème 6.3.5 . . . . . 6.3.5 Corollaires . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Perspectives et problèmes ouverts

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

123 . . 123 . . 125 . . 125 . . 126 . . 133 . . 138 . . 139 . . 140 . . 141 . . 144 . . 146

151

A Hermite functions and uncertainty principles for the Fourier and the windowed Fourier transforms 155 A.1 Introduction and Notations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

4

A.2 A.3 A.4 A.5 A.6 A.7

Generalization of BeurlingHörmander’s theorem. . . . . . . . 160 Applications to other uncertainty principles. . . . . . . . . . . 166 Properties of the ambiguity function . . . . . . . . . . . . . . 170 Heisenberg inequality for the ambiguity function. . . . . . . . 171 Uncertainty principles for the ambiguity function. . . . . . . . 177 Appendix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

B Uncertainty Principles for the Ambiguity function 185 B.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 B.2 Heisenberg’s Inequality and strong annihilating conditions for A(u, v) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188 B.2.1 Strong annihilating conditions . . . . . . . . . . . . . . 188 B.2.2 Thin hyperbolas and variants . . . . . . . . . . . . . . 189 B.3 Proof of Beurling’s Uncertainty Principle . . . . . . . . . . . . 193 B.3.1 Some properties of functionsF. . . . satisfying (B.8) 195 B.3.2 End of the proof of theorem B.1.2 . . . . . . . . . . . . 198

C

A survey on the Uncertainty Principles for quadratic forms201 C.1 Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 C.2 Examples of annihilating pairs of sets related to quadratic forms.203 C.3 Hardy’s Uncertainty Principle for distributions. . . . . . . . . 215 C.4 Beurling’s Uncertainty Principle for distributions. . . . . . . . 220 C.5 Weak uncertainty principles related to general non degenerate quadratic forms. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223 C.6 Strong uncertainty principles related to nondegenerate qua dratic forms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225 C.7 The Morgan uncertainty principle and onesided estimates. . . 231

Bibliographie

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235

REMERCIEMENTS

C’est quasiment par hasard que j’ai décidé en 1998 de faire mon stage de licence avec Aline et Philippe. Quand j’y repense, j’ai eu beaucoup de chance de pouvoir travailler avec eux. Ce petit mois passé à Orléans a été un déclic pour moi et m’a éveillé à la recherche. Je les remercie chaleureusement de m’avoir appris ce métier. Je me souviens qu’au début de ma thèse Aline avait tous les jours une case libre dans son emploi du temps chargé pour venir discuter avec moi. Philippe m’a beaucoup aidé à prendre du recul par rapport à ce que je faisais, à mieux expliquer les choses, et sans lui, ma thèse ne serait pas ce qu’elle est.

Je remercie P. Auscher et M. Cowling pour l’intérêt qu’ils ont porté à mes travaux en acceptant d’être les rapporteurs de ma thèse. Je remercie JP. Anker, X. Tolsa et C. Anantharaman d’avoir accepté de faire partie de mon jury. J’apprécie l’intérêt visible qu’ils ont pour mes travaux.

Je ne pourrais jamais assez remercier les membres du labo et du dépar tement qui ont contribué au bon déroulement de ces trois années. Je remercie les profs avec qui j’ai fait mes premiers enseignements. Les secrétaires ont fait un travail formidable pour me simplifier toute la partie administrative. Entre doctorants nous avons eu de très nombreuses discussions mathématiques très intéressantes qui ont animé le quotidien des journées du labo. Dominique et Barbara avaient toujours un problème sous la main. Tout cela a d’ailleurs abouti à la création de notre séminaire des doctorants. J’espère qu’il va durer encore longtemps (je compte sur Olivier et Hermine). Mes proches m’ont aidé et soutenu tout au long de mes études. Mes discussions mathématiques presque quotidiennes avec mon frère jumeau ont été très fructueuses. Je ne peux pas terminer sans remercier ma mère pour tous les sacrifices qu’elle a fait pour me permettre de faire une thèse. Bruno

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Chapitre

1

Introduction

générale

Cette thèse porte sur l’étude de certaines formes du principe d’incertitude en analyse de Fourier. Le principe d’incertitude est un phénomène général, qui fait qu’on ne peut pas localiser aussi précisément qu’on le veut une fonction b fet sa transformée de Fourierfprécisément, les deux relations. Plus b f≈g, f≈gb entrâınentf=gexiste de nombreux énoncés mathématiques justifiant ce. Il phénomène. L’histoire du principe d’incertitude commence dans les années 1930 avec la découverte en mécanique quantique du principe de Heisenberg : un ob servateur ne peut pas mesurer simultanément, et aussi précisément qu’il le souhaite, la position et la quantité de mouvement d’une particule quantique. Si la précision sur la position augmente, alors il y aura inévitablement une perte de précision sur la quantité de mouvement, et réciproquement. Le principe de Heisenberg est une conséquence de l’inégalité du même 2d b nom. Soitfune fonction deL(R), etfsa transformée de Fourier. L’iné galité de Heisenberg stipule que Z Z 2 d 2 2 2 2 4 b kxk |f(x)|dx× kξk |f(ξ)|dξ≥ kfk 2d . L(R) 2 R R d 16π d Les cas d’égalité sont réalisés uniquement par les gaussiennes de la forme 2 f(x) =Cexp(−πtkxk),t >0. Les gaussiennes vont donc jouer un rôle fondamental dans le principe d’incertitude. On dit de manière heuristique qu’elles le minimisent. Au vu du principe de Heisenberg, il est naturel de comparer une fonction et sa transformée de Fourier à des gaussiennes, pour savoir si elles sont très localisées en temps et en fréquence, ou au contraire si elles sont loin de minimiser l’incertitude.

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Le principe d’incertitude de Hardy entre dans ce cadre. Dans sa forme la plus simple, il stipule qu’une fonction qui est plus petite que la gaussienne standard, ainsi que sa transformée de Fourier, doit être proportionnelle à cette gaussienne. b Unautrefac¸ondeminimiserl’incertitudeconsisteàdemanderàfetfde s’annuler sur certains ensemblesELe principe d’incertitude consisteet Σ. alors à limiter les choix possibles pourEet Σ. Il est par exemple classique qu’une fonction non nulle et sa transformée de Fourier ne peuvent pas être toutes les deux à support compact. Plus précisément, sifest à support compact, sa transformée de Fourier est une fonction entière, donc ne peut pas s’annuler sur un ensemble de mesure positive. L’intérêt porté au principe d’incertitude a été ravivé dans les années 1990 suite à la publication des traités [DCT], [HJ] et [FS]. Nous nous intéressons plus particulièrement aux prolongements des résultats de [SVW, BDJ] qui les ont suivis. En suivant la terminologie du livre de Havin et Jöricke, nous distinguons deux types de principes d’incertitude : lesprincipes d’incertitude faibleset lesprincipes d’incertitude forts. Un principe d’incertitude faible s’exprime sous forme de conditions suf b fisantes sur la localisation simultanée defetfpour que la fonctionfsoit b nulle. Lorsque le fait quefait son support dans un ensembleE,fait son support dans Σ, entrâıne la nullité def, on dira que la paire (E,Σ) est faiblement annihilante. Ici,festa prioriune fonction de carré intégrable, mais on peut aussi définir la notion de paire faiblement annihilante pour des distributions tempérées. Nous avons ainsi vu plus haut qu’une paire 2 d’ensembles compacts est faiblement annihilante pour des fonctions deL, mais c’est encore le cas pour des distributions. Le théorème de Benedicks [B] établit plus généralement que toute paire d’ensembles de mesure finie a 2 cette propriété, pour des fonctions deL. Suivant la nomenclature de [HJ], on dira que la paire faiblement annihi lante (E,Σ) estfortement annihilantes’il existe une constanteC(E,Σ) telle 2d que pour toute fonctionf∈L(R), Z Z Z  2 2 2 b |f(x)|dx≤C(E,Σ)|f(x)|dx+|f(ξ)|dξ . d c c REΣ Cette inégalité représente une estimation quantitative sur la masse minimale b qu’ontfetfdansEet Σ. On connâıt de nombreux exemples de paires faible ment annihilantes, mais il est en général difficile de démontrer qu’elles sont fortement annihilantes.A fortioriil est encore plus difficile de donner une estimation de la constanteC(E,il est démontré dans [AB] qu’uneΣ). Ainsi paire d’ensembles de mesure finie est fortement annihilante. Ce résultat a

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été amélioré dans [Na], où il est démontré que l’on peut choisir la constante sous la forme C 0 exp(C 0 |E||Σ|) en dimension 1, oùC 0 est une constante numérique explicite. Cette thèse porte essentiellement sur des principes d’incertitude du type du théorème de Hardy. Le résultat initial, dû à Hardy ([H]), peut être énoncé en deux étapes. Le théorème suivant est le théorème de Hardy dans le cas non critique. C’est à ce théorème que l’on se réfère en général lorsque l’on parle du principe d’incertitude de Hardy. d Théorème 1.0.1SoientA, Bdeux matrices définies positives surR. Soit d fune fonction mesurable telle que pour toutx, ξ∈R, N |f(x)| ≤C(1 +kxk) exp(−πhAx, xi), N b |f(ξ)| ≤C(1 +kξk) exp(−πhBξ, ξi), −1 oùC, N >0Si la matricesont des constantes fixées. A−Best semidéfinie positive, sans être nulle, alorsf= 0. En nous inspirant de la terminologie de [HJ], nous parlerons de principe d’incertitude faible de Hardy. La seconde partie du théorème de Hardy va préciser ce théorème. Elle −1 caractérise les fonctions satisfaisant à cette condition lorsqueA=B, et démontre l’optimalité du théorème 1.0.1.

d Théorème 1.0.2SoitAune matrice définie positive surR. Soitfune fonction mesurable telle qu’il existe deux constantesC, N, telles que pour d toutx, ξ∈R, N |f(x)| ≤C(1 +kxk) exp(−πhAx, xi),   b N−1 |f(ξ)| ≤C(1 +kξk) exp(−ξ, ξπ A ). Alorsfest de la forme

f(x) =P(x) exp(−πhAx, xi),

oùPest un polynôme de degré inférieur ou égal àN. Nous nous parlerons de principe d’incertitude fort de Hardy. Dans [M], une généralisation du théorème 1.0.1 a été démontrée. Elle consiste à remplacer les gaussiennes par des fonctions plus générales du type     p q kxk kxk exp−πaet exp−πb . p q

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Ce résultat est un principe d’incertitude faible, les cas critiques n’étant pas tout à fait connus. Au début des années 90, Hörmander a publié un résultat perdu de Beur ling dans [HB]. C’est une généralisation directe du théorème de Hardy, qui a l’avantage d’avoir un énoncé particulièrement élégant : 2 Théorème 1.0.3 (Théorème de Beurling)Soitf∈L(R). Si Z Z b |f(x)||f(ξ)|exp(2π|xξ|)dxdξ <∞,

alorsf= 0. Ce résultat se classe dans la catégorie des principes faibles. Il est optimal 2 car, une fois de plus, la gaussiennef(x) = exp(−πx) satisfait à Z Z b |f(x)||f(ξ)|exp(2aπ|xξ|)dxdξ <∞

d pour touta <1. Il a été généralisé dans [NR] àR, mais est toujours sous la forme d’un principe d’incertitude faible. Ce manque a été comblé dans [BDJ]. Nous y établissons une version multidimensionnellefortedu théorème de Beurling : 2d Théorème 1.0.4Soitf∈L(R). S’il existeN≥0tel que Z Z b |f(x)||f(ξ)| exp(2π|hx, ξi|)dxdξ <∞, N (1 +kxk+kξk) d d R×R il existe un polynômeP, et une matrice symétrique définie positiveA, tels que f(x) =P(x) exp(−πhAx, xi). Il s’avère qu’on peut obtenir une version bilinéaire du théorème 1.0.4 à moin dres frais. Nous établissons en effet dans [D2] le résultat plus général suivant : 2d Théorème 1.0.5Soitf 1 , f 2 ∈L(R). S’il existeN≥0tel que Z Z b |f 1 (x)||f 2 (ξ)| exp(2π|hx, ξi|)dxdξ <∞, N R×R (1 +kxk+kξk) d d et Z Z b |f 1 (ξ)||f 2 (x)| exp(2π|hx, ξi|)dxdξ <∞, N (1 +kxk+kξk) d d R×R il existe des polynômesP 1 , P 2 , et une matrice symétrique définie positiveA, tels que f 1 (x) =P 1 (x) exp(−πhAx, xi), f 2 (x) =P 2 (x) exp(−πhAx, xi).

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