Bac Blanc de Mathématiques de niveau Terminale

Kdouh

Description

Avec correction. Bac-blanc-term stl-ch-2011
Bac Blanc en Mathématiques (2011) pour Terminale STL CH

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• Langue: Français

Extrait

MATHEMATIQUES

Baccalauréat blanc - STL-Chimie de laboratoire et de procédés industriels

 Session 2010-2011

Le candidat traitera obligatoirement les deux exercices et le problème. Il est rappelé aux candidats que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.

L'utilisation des calculatrices électroniques, programmables, alphanumériques ou à écran graphique est autorisée, à condition que leur fonctionnement soit autonome et qu'il ne soit fait usage d'aucune imprimante. Chaque candidat ne peut utiliser qu'une seule machine sur sa table.

En cas de défaillance, elle pourra cependant être remplacée. Cependant, les échanges de machines entre candidats, la consultation des notices fournies par les constructeurs ainsi que l'échange d'informations par l'intermédiaire des fonctions de transmission des calculatrices sont interdits. ( circulaire n°99-186 du 16 novembre 1999 ).

Un formulaire de mathématiques est distribué en même temps que le sujet.

Ce sujet nécessite deux feuilles de papier millimétré.

Coefficient : 4 Durée : 3 heures

- Ce sujet comporte 4 pages-

N.B: Le formulaire et le sujet sont à rendre avec la copie

EXERCICEpo54,–1tsin Cet exercice est un vrai/faux : il s’agit donc de préciser si chacune des affirmations proposées est vraie ou fausse. À chaque bonne réponse est attribuée 0,5 point. Toute réponse incorrecte enlève 0,25 point. L’absence de réponse n’enlève aucun point. En cas de total négatif, la note attribuée à l’exercice sera 0. Pour chaque affirmation, le candidat donnera la réponse sur sa copie en écrivant en toutes lettres « vrai » ou « faux »..

Les questions 1., 2., 3. sont indépendantes.

P(x) 1 (x % 1)(x % 3)(2x 1. On considère le polynômePdéfini pour tout réelxpar 3 a )L’équationP(x) = 0 admet dans ¡ trois solutions qui sont 1, 3 et % 2 3 2 b )Pour tout réelx, P(x) 1 2x % 5x % 6x . x x x % % # 1 c )L’équation ( e1 ! ( e3 ! ( 2e3 ! 0 admet trois solutions dans ¡ .

# 3)

2. Dans l’ensemble C des nombres complexes, i désigne le nombre complexe de module 1 p  et d’argument 2  On considère les nombres z 1 2 # 2i et z 1 2 % 2i 1 2

2 z a )Les nombres 1 et z 2 sont solutions dans £ de l’équation z % 2 2z # 4 1 0 .

b )Un argument de z 2 est % 3 p / 4

z c )Le module de 1 est

2 .

æ xp ö f f(x)12 cos% 3. définie sur l’ensembleOn considère la fonction ¡ des nombres réels par ç ¸ è 3 3 ø  a) f est solution dé l’équation différentielle : Réponse A: y"%9y10 9y"%y10 Réponse C : 9y"%y10 Réponse B:

b)La valeur moyenne de fsur l’intervalle [ 0 ;p] est : 3 3 3 2 3  Réponse A:Réponse B:Réponse C: p2p p 1 % c)de l’équationLa solution f(x) 0 sur l’intervalle [p;p] est : 5p5p p Réponse A:Réponse B:Réponse C: % 6 2 2

EXERCICE 2 – 4,5 points

Dans cet exercice toutes les probabilités sont données sous forme de fraction.

 Une urne contient des boules de couleur numérotées .

B ●Une boule blanche numérotée1 , que l’on note 1 ;

R R ● Deux boules rouges numérotées 2 et 3 , que l’on note 2 et 3 ;

V V V ● Trois boules vertes numérotées 1 ; 2 et 3 , que l’on note 1 , 2 et 3 .  Les boules sont indiscernables au toucher.

1. On extrait une boule de l’urne, puis une deuxième, sans avoir remis dans l’urne.  On appelle résultat un couple dont le premier élément est la boule obtenue au premier tirage , et  le second celle obtenue au second tirage. ( ; !  Par exemple R 2 V 3 est un résultat ; il signifie que la première boule est rouge numérotée 2  et que la deuxième boule est verte numérotée 3.  Pour répondre aux questions posées on peut s’aider d’un arbre ou d’un tableau.

a )Déterminer le nombre de résultats possibles.

b)On admet que tous les tirages sont équiprobables. Calculer la probabilité de chacun des événements Suivants : A: « Les deux boules sont de la même couleur » ;  B: « le produit des numéros inscrits sur les boules est 6 » ; C: « Il y a au moins une boule blanche » .

2. Un jeu consiste à tirer 2 boules de l’urne , selon la méthode décrite dans la question 1.  On note X la variable aléatoire qui associe , à chaque résultat, produit des numéros inscrits sur les deux  boules . ( B;V !  Exemple : on associe au tirage 1 2 le nombre 2 car 1 ´21 2 .

a )Donner toutes les valeurs que peut prendre la variable aléatoire X .

1 b )Montrer que la probabilité que la variable aléatoire X .prenne la valeur 9 est égale à 15

c )Donner la loi de probabilité de la variable aléatoire X sous forme de tableau.

d ) Calculer l’espérance mathématique de la variable aléatoire X .

PROBLÈME - 11 points

Partie A 1 x  Soit la fonction f définie sur l’ensemble ¡ des nombres réels par : f(x) 1 (2 % x)e . 2  Le plan est muni d’un repère orthonormé (O;i,j) (unité graphique : 2 cm ).  On notela courbe représentative de la fonction f dans ce repère.

1 x x f(x) 1 e % x e 1. En observant que, pour tout nombre réelxdéterminer la limite de la fonction, , 2 ¥ f en . Que peut-on en déduire pour la courbe?

f #¥ 2. en .Déterminer la limite de la fonction

f' f 3. surla fonction dérivée de la fonction On note ¡ . 1 x a)Démontrer que, pour tout nombre réelx, f'(x) 1 ( 1 % x ! e . 2

b)Étudier le signe de f'(x) suivant les valeurs dex.

%1 c)Calculer la valeur exacte de f1 . En donner une valeur approchée à 10 près. ( !

d)Dresser le tableau de variations de la fonction f sur ¡ .

Partie B

1. On note T la tangente à la courbe au point d’abscisse 2. 2 e  Montrer que la droite T a pour équation : y1(2%x) . 2 2. 2 e a)On considère la fonctiongdéfinie sur ¡ par g(x)1(2%x)%f(x ) . 2 1 2x  Vérifier que, pour tout nombre réelx, g(x)1(2%x) ( e%e ! 2 b)Étudier le signe de g(x suivant les valeurs de ) ¸ x.

c) En déduire la position de la courbe

par rapport à la droite T .

3. Tracer la droite T dans le repère (O;i,j) puis, sur le même graphique, la partie de la courbe  correspondant aux valeurs dex appartenant à l’intervalle [%] .4 ;3

Partie C 2 2 1 x e æ x ö G(x) 1 (x % 3)e2x 1. définie suSoit la fonct ç ¸ .  ion G  r ¡ par # % 2 2 2 è ø ¢  On note G la dérivée de la fonction G sur ¡ . Calculer G(x) , puis conclure .

2. On note D le domaine plan limité par la courbe , la droite T et les droites d’équations  respectivesxet= 0 x= 2 . a)Hachurer le domaine D sur le graphique représentant la droite T et la courbe. b)Calculer la valeur exacte de l’aire A , exprimée en unités d’aire, du domaine D .  En donner la valeur arrondie au centième.

Correction du bac blanc de mathématiques –30 mars 2010

EXERCICE2 1. Tableau traduisant la situation :

1ère boule

B 1

R 2

R 3

V 1

V 2

V 3

2ième boule B B R B R B V BB V V 1 ( 1 ; 2 ) ( 1 ; 2 ) ( 1 ; 1 ) ( 1 ; 2 ) ( 1 ; 3 ) R R B R R R V R R V 2 ( 2 ; 1 ) ( 2 ; 3 ) ( 2 ; 1 ) ( 2 ; V 2 ) ( 2 ; 3 ) R R R R V R V R V 3 (R3 ; B 1 ) ( 3 ; 2 ) ( 3 ; 1 ) ( 3 ; 2 ) ( 3 ; 3 ) V V B V R V V V V 1 ( 1 ; 1 ) ( 1 ; 2 ) ( R 3 ; V ) ( 1 ; 2 ) ( 1 ; 3 ) 1 V V B V R V R V V V 2 ( 2 ; 1 ) ( 2 ; 2 ) ( 2 ; 3 ) ( 2 ; 1 ) ( 2 ; V 3 ) V V B V R V R V V V 3 ( 3 ; 1 ) ( 3 ; 2 ) ( 3 ; 3 ) ( 3 ; 1 ) ( 3 ; V 2 )  a. Le nombre de résultats possibles est 6 ´ 5 1 30  b. A : « Les deux boules sont de la même couleur. ». L’événement A correspond à : R R R R V V V V V V V V V V V V  A={( 2 ; 3 )/ ( 3 ; 2 )/ ( 1 ; 2 ) / ( 1 ; 3 )/ ( 2 ; 1 )/ ( 2 ; 3 )/ ( 3 ; 1 )/ ( 3 ; 2 )} 8 4  Donc p(A) 1 1 30 15  B : « Le produit des numéros inscrits sur les boules est 6. » R R R R R V R V V V V  L’événement B correspond à : B={( 2 ; 3 )/ ( 3 ; 2 )/ ( 2 ; 3 () / 3 ; 2 )/ ( 2 ; 3 ) / ( V 3 ; 2 )}. 6 1  Donc p(B) 11 1 0, 2 30 5  C : « Il y a au moins une boule blanche. » . L’événement C correspond à : B R B R B V BB V V R B R B V B V B  C ={ ( 1 ; 2 )/ ( 1 ; 2 )/ ( 1 ; 1 ) / ( 1 ; 2 )/ ( 1 ; 3 )/ ( 2 ; 1 )/ ( 3 ; 1 )/ ( 1 ; 1 )/ ( 2 ; 1 )/ 10 1 V 1 1  ( 3 ; B 1 Donc) }. p(C) 30 3 1 { } 2. a. Les valeurs que peut prendre la variable aléatoire X sont : X1; 2;3; 4; 6;9 . 2 1 ( X 1 9 ! R V V R p ( X 1 9 ! 1 1  b. correspond au cas : ( 3 ; 3 ) et ( 3 ; 3 .). Donc 30 15 2 1 X 1 1 ! V B ( 1 ! 1 1 ( correspond au cas : B ; V 1 )/ ( 1 ; 1 ) , donc p X1 c.( 1 30 15 ( X 1 2 ! B R R V R V V R V V V B  correspond au cas : ( 1 ; 2 )/ ( 2 ; B 1 )/ ( B 1 ; 2 ) / ( 2 ; 1 )/ ( 1 ; 2 ) / ( 1 ; 2 ) /( 2 ; 1 ) / 8 4 V V p ( X 1 2 ! 1 1  ( 1 ; 2 ). 30 15 ( 1 ! B V V B B R V V V V V V B X3 (correspond au cas : 1 ; 3 () / 3 ; 1 )/ (R3 ; 1 ) / ( 3 ; 1 ) / ( 1 ; 3 ) / ( 1 ; 3 )/( 3 ; 1 )/ 8 4 V p ( X 1 3 ! 1 1  ( V 3 ; 1 ) . 30 15 2 1 ( ! V R R V ( 1 ! 1 1 X 1 4 correspond au cas : ( 2 ; 2 ) / ( 2 ; 2 ). p X4 30 15 ( X 1 6 ! R R R V R V R R V R V R V V  correspond au cas : ( 2 ; 3 )/ ( 3 ; 2 )/( 2 ; 3 ) /( 3 ; 2 ) / ( 3 ; 2 )/ ( 2 ; 3 ) /( 2 ; 3 ) / 8 4 V V ( !  ( 3 ; 2 ). p X 1 6 1 1 30 15 2 1 ( X 1 9 ! R V V R  correspond au cas : ( 3 ; 3 ) et ( 3 ; 3 ). p ( X 1 9 ! 1 1 30 15  Loi de probabilité de la variable aléatoire X :

X 1 x 1 2 3 4 6 9 i 4 1 P ( X ! 1 4 4 1 1 x i 15 15 15 15 15 15 d. Espérance mathématique de la variable aléatoire X : 1 4 4 1 4 1 58 »´ 1 ´ # . E ( X ! 1 1 ´ # 2 ´ # 3 ´ # 4 ´ # 3,876 9 15 15 15 15 15 15 15 PROBLÈME Partie A 1 x x 1 x f(x) 1 (2 % x)e 1 e % x e 1. 2 2 x x 1 x lime 1 0  On sait que et que limxe 1 0 donc lim % xe 1 0 , par conséquent, par somme de limites x |%¥ 2 x |%¥ | x %¥ limf(x)10  .On peut donc en déduire que la courbeC admet la droite d’équationy= 0 comme x|%¥  asymptote horizontale au voisinage de . 1 x 1 1 x lime 1 #¥ f(x) 1 (2 % x) ´ elim (2 % x) 1 lim % x 1 % 2. et. On a : x |#¥ 22 2 x |#¥ |# x ¥ limf(x) 1 %¥ .  donc par produit de limites x |#¥ 1 x x uvavecu(x)12%xetv(x)1e 3. a)fest de la form u x v x e e ; '( )1 %1 et '( )1 2 1 1 1 x x x x é ù é ( ! ù f'(x)1 %1´e#(2%x)e11% #2x%e1(1x%)e. ë û ë û 2 2 2 x  b)Pour toutxréel e20 doncf’(x) est du signe de (1 –x) : 1%x³0Ûx£1 .  Donc f'(x)20 sur%¥;1 ,f'(x)00 sur 1;#¥ et f'(1)10 ] [ ] [ 1e 1  c) f(1)1(2%1)e1 »1, 4 2 2  d)  x1 #¥

f'(x)

 + 0

f1 ( ! f(x) 0 Partie B 1 2 1 2 1 2 y1f'(2) ( x%2 ! #f(2) f(2)1(2%2)e10f'(2)1(1%2)e1 %e 1. ; ;Équation de la tangente : 2 2 2 2 1 2 e soit y1 %e(x%2) y1 ( %x#2 ! . 2 2 2 2 2 e e 1 x e 2x 1 x ( )1( 2)%( ) 2. a) x% #x = (%x#2)% ( 2%x ! e1 %x e#e xe g x f % # . 2 2 2 2 2 2 1e1 2x x2x  On développe (%x#2) ( e%e ! 1 %x#xe#e e% .On trouve les mêmes expressions développées 2 2 2  x 2 #¥  donc l’égalité est vérifiée . 1 %x#2 + 0 2x b)Étude ( du signe de %x#2) ( e%e ! 2x 2 e%e  + 0 %x#2³0Ûx£2 g(x) + 0 + 2x2x2x e%e³0Ûe³eÛlne³lneÛ2³x. 2 e  c)D’après le tableau ci-dessus g(x)³0 donc (%x#2)³f(x) pour toutx . 2 Doncpour tout réelxla courbe C est au-dessous de la tangente T. 3. Tracé ci-après

Partie C 2 2 1e æ x ö x G(x) 1 (x % 3)e # 2x % 1. ç ¸ . 2 2 2 è ø 2 2 2 1 x x e æ 2x ö 1 x e1 x e G'(x) 1 é 1´e# ( x%3 ! ´e ù # 2% 1 é ( 1#x%3 ! e ù # ( 2%x ! 1 ( x%2 ! e# ( 2x% ! ë û ç ¸ ë û 2 2 è 2 ø 2 22 2 2 e G'(x)1 %f(x)#(%x#2)1g(x) . On peut conclure queG(x) est une primitive deg. 2 C 2. a)Voir ci après le domaine D hachuré sur le graphique représentant la droite T et la courbe. 2 æ e ö 2 2 2 e au-dess te T donc ç ¸ ò 0 0 ò b) C st ous de la tangen A1(%x#2)%f(x)dx u.a14g(x)dx14 [ G(x) ] 0 2 è ø 2 1 2 1 2 æ 4ö é1 0 1 æ 0öù 2 1 2 3 2 1 [ G(x) ] 1G(2)%G(0)1(2%3)e#e4% %(0 3)%e#0% 1e%e# # ( 1e3 ! 0 ¸úê ç ç ¸ 2 2 è 2 ø ë 2 2 è 2 øû 22 2 4 2 2 2 2  Comme 1u.a14cm ,donc on a : A1 ( e#3 ! 1 ( 2e#6 ! cm . soit A»20, 78 cm². 2