Bac Blanc de Mathématiques de niveau Terminale, janvier 2011

Kdouh

Description

Avec correction. Bacblanc-1-fevrier-2011-termstg
Bac Blanc en Mathématiques (2011) pour Terminale STG CFE, Terminale STG Merca.

Sujets

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Informations

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• Langue: Français

Extrait

BACCALAUREAT TECHNOLOGIQUE

janvier 2011

MATHÉMATIQUES

SERIE : STG

CFE-Mercatique

DUREE DE L’EPREUVE : 3 heures – COEFFICIENT : 3

Dès que le sujet est remis, assurez-vous qu’il est complet, que toutes les pages sont imprimées.

L'usage d'une calculatrice est autorisé pour cette épreuve . Mais l’échange de calculatrice entre élèves est interdit

Le candidat doit traiter les trois exercices.

L'usage des formulaires de mathématiques n'est pas autorisé.

Il sera tenu compte de la clarté des raisonnements et de la qualité de la rédaction dans l'appréciation des copies.

Ce sujet comporte 5 pages .

N.B : La feuille annexe est à rendre avec la copie

Exercice1pio:4nts  Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM).  Pour chaque question, trois réponses sont proposées parmi lesquelles une seule est correcte.  On vous demande de recopier sur votre copie celle que vous pensez correcte. Aucune justification  n’est demandée.  TS.V.P

 Chaque bonne réponse rapporte un point, chaque réponse fausse relire 0,25 point, une question sans  réponse ne rapporte ni n’enlève aucun point. Si· le total est négatif. La note attribuée à l’exercice est  ramenée à zéro.

 Le tableau ci-dessous montre l’évolution entre 2000 et 2007 du nombre d’hôtels 4 étoiles en France  métropolitaine.

Année 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 1 2 3 4 5 6 7 année x 0 Rang de l’ i y 613 646 673 704 719 747 777 808 Nombre d’hôtels i  (source INSEE - direction du tourisme)

1.Le taux d’évolution entre 2000 et 2003, arrondi à 0,01 % près, est :

 a.12,93 % b.14,85 % c.1,15 %

2.Le taux d’évolution annuel moyen entre 2000 et 2007, arrondi à 0,01 % près, est :  a.4,02 % b.1,12 % c.10,40 %

3. Entre 1999 et 2000, le nombre d’hôtels 4 étoiles a augmenté de 2,51 %. Le nombre d’hôtels 4 étoiles  en 1999, arrondi à l’unité, était donc :  a.244 b.624 c.598 ( x; ! 4.On considère la série statistique i y i donnée par le tableau ci-dessus. La droite d’ajustement affine  deyenxobtenue par la méthode des moindres carrés a pour équation :  a. y =26,87x%616,83  b. y =26,87x#616,83  c. y =%26,87x#616,83

Exercice 2-10 pointsOn s’intéresse à la place des femmes ayant un emploi en France. Partie A  On donne le tableau suivant

Année 2001 Nombre de femmes ayant un emploi(en milliers) 9828 Nombre d’hommes et de femmes ayant un emploi(en milliers) 22312 Pourcentage de femmes parmi les personnes ayant un emploi 44,05  Pour chacune des questions suivantes, donner le détail des calculs faits

2003

22478 44 ,45

2006 10418 23255

2007 10653

44,85

1.Calculer le nombre de femmes ayant un emploi en 2004. Le résultat sera arrondi à un millier près.

2.Déterminer le pourcentage de femmes ayant un emploi en 2006. Le résultat sera arrondi au centième près.

3.Déterminer le nombre total de personnes ayant un emploi en France en 2007.  Le résultat sera arrondi à 1 millier près.

4.En 2002, on comptait 16% de personnes ayant un emploi à temps partiel. Parmi eux, 75% étaient des  femmes. Déterminer le pourcentage de femmes ayant un emploi à temps partiel en 2002.

Partie B Dans cette question, on s’intéresse à l’évolution du pourcentage de femmes dans la population active depuis 2001.  TS.V.P

Année 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 1 2 3 4 5 6 7 8 Rang de l’année x i y 44,05 44,15 44,45 44,65 44,80 44,85 45,25 45,40 Pourcentage de femmes i ( x;y ! 1.Dans un repère orthogonal ( O;i,j ! représenter le nuage des pointsMde coordonnées i i de cette  série. En abscisse, on prendra 1 cm pour1 unité ; en ordonnée, on prendra 1 cm pour 0,1% ;  on graduera l’axe de 44% à 46,3 %.

2.En considérant l’allure du nuage, on se propose d’effectuer un ajustement affine en prenant comme droite  d’ajustement la droite D passant par les points du nuage d’abscisse 3 et d’abscisse 7.

 a.Tracer cette droite sur le graphique,

 b.Déterminer graphiquement une approximation au centième du pourcentage de femmes ayant un emploi  en 2012. On fera apparaître en pointillés les traits de construction.

 c.Justifier que l’équation de la droite D est y10, 2x#43,85 .

 d.Retrouver par le calcul le résultat du b.

 e.À partir de quelle année y aura-t-il plus de femmes que d’hommes ayant un emploi (en supposant que  cette tendance se continue) ?

3.Déterminer, à l’aide de la calculatrice, une équation de la droite d’ajustement obtenue par la méthode  des moindres carrés. Les coefficients seront donnés à 0,1 près.

4.a.Donner les coordonnées x et y du point moyen G ( x;y ! du nuage.  b.Placer G sur le graphique c.Vérifier que le point G est un point de la droite D .

5.À partir des calculs ci-dessus, on décide de réaliser un ajustement affine à l’aide de la droite D d’équation y10,16x#44 . Tracer la droite D sur le graphique

6.En supposant que ce modèle reste valable pour 2009 et 2010, prévoir le pourcentage de femmes ayant  un emploi en 2010. Justifier la réponse.

Exercice3soint:6p Partie I Cette partie est un questionnaire à choix multiples (QCM). Dans cette partie, pour chaque question, trois réponses sont proposées,une seule est correcte. Aucune justification n’est demandée. Pour chaque question, indiquer le numéro de la question et la réponse choisie Toute réponse exacte rapporte 0,5 point, une réponse inexacte ou une question sans réponse n’apporte ni ne retire aucun point. [%2,5 ;3 ] On donne ci-dessous la courbe de la fonction f définie sur l’intervalle , ainsi que la tangente T au point A ( ! ( ! 1 % 1. a. f'(1)14 b.f114 c.f' 1 6 .

2.L’équationf(x) = 0 admet une seule solution dans l’intervalle : %  a. [%2, 5 ; 3 ] b. [ 1 ;3 ] c. [1 ; 3 ]

TS.V.P 3. [ Sur l’intervalle % l’équation 2, 5 ; 3 ] , f′(x) = 0

 a. admet une seule solution b. admet deux solutions c. n’admet pas de solution. 4.On a :  a. f'(x)00 sur l’intervalle [%2, 5; 0 ] b. f'(x)00 sur l’intervalle[ 2; 3]  c. f'(x)20 sur l’intervalle [ 2; 3] .

-3

 C

-2

-1

T

y 6

5

4

3

2

1

0 -1

-2

-3

-4

-5

-6

-7

1

A

2

3

Partie II  La fonctionfdont on connait la courbe C [ est définie sur l’intervalle % : 2, 5 ; 3 ] par 3 2 f(x)1x%1, 5x%6x#2, 5 1.Calculer f%1 . ( !

2.a. Calculer f'x . ( !

 b. Vérifier quef′(x) = 3(x+1)(x−2).

 c. Étudier le signe def′(x) sur l’intervalle [−2,5 ; 3] à l’aide d’un tableau de signes.

3.En déduire le tableau de variation complet de la fonctionfsur l’intervalle [−2,5 : 3].

Calculer f' ( %1 ! , en déduire l’équation de la tangente au point d’abscisse % 1. 4.

5. Déterminer l’équation de la tangente au point d’abscisse 1.

x

Nom …………………………………. Prénom …………………………..

y 46,3

46,2

46,1

46

45,9

45,8

45,7

45,6

45,5

45,4

45,3

45,2

45,1

45

44,9

44,8

44,7

44,6

44,5

44,4

44,3

44,2

44,1

44 -1 0

1

2

3

4

5

Annexe exercice 2

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

x

Exercice 1 1. Le taux d’évolution entre 2000 et 2003 est donné par la formule : v%v 704%613 91 2003 2000 t1 »1 1 0,14845  , soit environ 14,85 % . Réponse b. v613 613 2000 t t 2.Soit m le taux d’évolution moyen entre 2000 et 2007 et g le taux d’évolution global entre 2000 et 2007. 1/n n  ( n 1 7 ) t t donné par m formule : 1es la #t1 ( 1#t ! , on obtient t1 ( 1#t ! %1 . g m m g v%v 808%613 195 2007 2000 t1 »1 1 0, 31810  Or g , soit environ 31, 81 % Réponse a. v613 613 2000 1/ 7 1/ 7  Donc on a : t1 ( 1#0, 3181 ! %11 ( 1, 3181 ! %1»1, 040245 1%0» soit environ , 04025 , 4, 025 % . m 3.le nombre d’hôtels 4 étoiles a augmenté de 2,51 % entre 1999 et 2000. v%v 2, 51 613%v 2000 1999 1999 t1 1  Le nombre d’hôtels 4 étoiles en 1999 est donné par : , soit v100v 1999 1999 613 0, 0251v#v1613Ûv1 »598  Donc 1999 1999 1999 .Réponse c. 1, 0251 y x 4. La droite d’ajustement affine de en obtenue par la méthode des moindres carrés a pour équation # y1a x b . à l’aide de la calculatrice on obtient : a»26, 87 et b»616, 83  soit y126,87x#616,83 . Réponse b. Exercice 2 Partie A : Pour les questions 1, 2 et 3, on utilise les proportionnalités : et on fait les produits en croix Effectif partiel Pourcentage n p Effectif N 100 22478 milliers de personnes travaillent en 1998, dont 44.45% de femmes on connait le total et le pourcentage, on calcule 44, 45  22478´ 19991, 471 , il y avait donc 9991 milliers de femmes ayant un emploi en France en 2004. 100  10418 milliers de femmes travaillent parmi 23262 actifs. 10418  Dans la question 2, on connait la partie et le total, on calcule p1 ´100144, 785% , soit 44.79% 23255  arrondi à 0.01%.il y avait 44,80% de femmes parmi les personnes ayant un emploi en France en 2006. 10653 ´100»23753, 508  Dans la question 3, on connait la partie et le pourcentage, on calcule , il y avait 44, 85  23753 milliers de personnes ayant un emploi en France en 2007. Année 2001 2003 2005 2006 Nombre de femmes ayant un emploi(en milliers) 9828999110418 10653 Nombre d’hommes et de femmes ayant un emploi(en milliers) 22312 22478 2325523753 Pourcentage de femmes parmi les personnes ayant un emploi 44,05 44 ,4544,8044,85 ´0,16 0,75 4. On a : é population ùé ¾¾|¾effectif partiel¾¾|¾ ùé femmes ù ë û ë û ë p10,16´0, 7510,12  donc au final on a multiplié par soit 12 %, Ainsi, le pourcentage de femmes ayant  un emploi à temps partiel dans la population totale était de 12% en 2002. Année 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 7 8 Rang de l’année x 1 2 3 4 5 6 i 44,05 44,15 44,45 44,65 44,80 44,85 45,25 45,40 Pourcentage de femmes y i Partie B : 1. Nuage de points, droite : voir graphique.  2012 correspond à x111 . On se place donc à l’abscisse 11 sur la droiteD, on lit y146, 25 .  On peut estimer à 46,25 le pourcentage de femmes parmi les personnes ayant un emploi en France  en 2012.

y%y 2 1 a1  2. Pour trouver l’équation deD, on calcule tout d’abord son coefficient directeur x%x 2 1 45, 25%44, 45 0,8 a11 1 0, 2 . L’équation deDest donc y10, 2x#b . Comme quand x1 a 3 on 7%3 4 % ´ 1 y1 on trouve 44, 45 , b185 . L’équation de D est bien 2 43, 3 0, 44, 45 y10, 2x#43,85 remplace maintenant par 12 da D pour trouver y1, 2´12#43,85146, 25  On x ns l’équation de 0  donc y146, 25 . On retrouve bien le résultat du b). y e. Pour savoir quand il y aura plus de femmes que d’hommes ayant un emploi, il faut savoir quand 6,15 5010, 2x#43,85Û0, 2x150%43,8516,15Ûx1 130, 75  dépassera 50. On écrit donc ; 0, 2  31 correspond à l’année 2031. C’est donc en 2031 qu’il y aura plus de femmes que d’hommes ayant un  emploi (si ce modèle reste valable).

3.Déterminer, à l’aide de la calculatrice, une équation de la droite d’ajustement obtenue par la méthode  des moindres carrés. Les coefficients seront donnés à 0,1 près.  L’équation de la droite (D) par la méthode de moindres carrés est y10,194x#43,826 . G ( x;y ! 4.a.Donner les coordonnées x et y du nuage.du point moyen er G sur le grap G x y1G4, 5; 44, 7  b.Plac hique ( ; ! ( ! y19 44, 7 c.Vérifier que le point G est un point de la droite D . G 0,194´4, 5#43,826144, 69» 5.À partir des calculs ci-dessus, on décide de réaliser un ajustement affine à l’aide de la droite D d’équation y10, 2x# Tracer la droite 44, 85 . D sur le graphique 6.En supposant que ce modèle reste valable pour 2009 et 2010, prévoir le pourcentage de femmes ayant  un emploi en 2010. Justifier la réponse. y10,194´10#43,826»45, 77% . le pourcentage de femmes ayant un emploi en 2010 est 45, 77 Exercice 3 1. a. f'(1)14 b.f114 c. f ' 1 =%6 . ( !( ! 2.L’équationf(x) = 0 admet une seule solution dans l’intervalle :  a. [%2, 5 ; 3 ] b. ][%1 ; )  c. [1 ; 3 ] 3.Sur l’intervalle [% l’équation 2, 5 ; 3 ] , f′(x) = 0  a. admet une seule solutionb. admet deux solutions c. n’admet pas de solution. 4.On a :  a. f'(x)0l’intervalle [0 sur % b. 2, 5; 0 ] f'(x)00 sur l’intervalle[ 2; 3] c. f'(x) > 0[ 2; 3 ] . sur l’intervalle Partie II 3 2 %  La fonctionf [ 2, est définie sur l’intervalle : 5 ; 3 ] par f(x)1x%1, 5x%6x#2, 5 3 2 f ( %1 ! 1, 5 1 6 2, 5 1 1, 5. ( ) 1 1.Calculer : f x1 % # 1 ´ % %6%2#, 516 2 2.a. Calculer f' ( x ! . f(x)13x%3x%6 2 2 1 # %  b. Vérifier que f'(x) 3(x1)(x2) : 3( x#1)(x%2)13(x%2x#x%2)13x3%x6  c. Étudier le signe def′(x) sur l’intervalle [−2,5 ; 3] à x -2,5 -1 2 3 x# + + 1 0 x-2 0 + f'(x + ) + 0 0  6 %2 %7, 5%7, 5 f(x)  l’aide d’un tableau de signes. f'(x)10 : 3(x#1)(x%2)10x#110ou x%210 x1 %1ou x12et S1 { %1; 2 }

3.En déduire le tableau de variation complet de la  fonctionfsur l’intervalle [−2,5 : 3]. 4. Calculer f'%1 , en déduire l’équation de ( !  la tangente au point d’abscisse % 1. Comme f'%110 , la tangente est parallèle à l’axe des abscisses ( !  et a pour équation : y16 . 5. Déterminer l’équation de la tangente au point d’abscisse 1. f'(1)1 % donc 6 , y1f'(1)x#b1 %6x#b , or f(1)1 % le point 4 , donc A1;%4 est un point de la courbe ( ! y% # Û 1 % #% 1 21  et un point de la tangente .donc A 1 %6x A #bÛ4 6b b4 6  Donc l’équation de la tangente est y1 %6x#2

y 46,3

46,2

46,1

46

45,9

45,8

45,7

45,6

45,5

45,4

45,3

45,2

45,1

45

44,9

44,8

44,7

44,6

44,5

44,4

44,3

44,2

44,1

44 0

1

2

A

3

4

5

6

B

7

8

9

10

11

12

13 x