Concours de Physique, Mathématiques de niveau Terminale

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Avec correction. Concours geipi 2012
Concours en Physique, Mathématiques (2012) pour Terminale S

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SUJET DE MATHÉMATIQUES Mercredi 9 mai 2012 Epreuves communes ENIT et Geipi Polytech Nous vous conseillons de répartir équitablement les 3 heures d’épreuves entre les sujets de mathématiques et de physiquechimie. La durée conseillée de ce sujet de mathématiques est de 1h30. L’usage d’une calculatrice est autorisé. Tout échange de calculatrices entre candidats, pour quelque raison que ce soit, est interdit. Aucun document n’est autorisé. L’usage du téléphone est interdit. Vous ne devez traiter que 3 exercices sur les 4 proposés. Chaque exercice est noté sur 20 points. Le sujet est donc noté sur 60 points. Si vous traitez les 4 exercices, seules seront retenues les 3 meilleures notes.

Ne rien inscrire cidessous 1 2 3 4 TOTAL

Lesujetcomporte8pagesnum´erot´eesde2a`9

Ilfautchoisiretre´aliserseulementtroisdesquatreexercicespropose´s

EXERCICE I Donnerlesr´eponsesa`cetexercicedanslecadrepr´evua`lapage3

Onconside`relafonctionfdeel´dep,einfie´rtuotruo+] 0; ∞[, par

2 f(x) = 2 lnx−(lnx)

:

SoitClaberecoure´rptnestnafreunerp`esnad(O;~ı , ~)rohtnoro´m.e

I1a

1b

I2a

2b

2c

I3

I4

I5

5a

5b

5c

2/9

D´eterminerlimf(x)itefilrrae´opsn.e.Jus x→0 x >0 De´terminerlimf(x)J.itsuar´efierle.pons x→+∞ ′ ′ f´denalsegi´eiverd´eedfrenimret´e.Df(x).

Pour toutx∈] 0 ; +∞[,

′ f(x)s’´ecrit:emrsuosofal

Donner l’expression deg(x).

′ f(x) =g(x) (1−lnx)

Compl´eterletableaudevariationdelafonctionf. fintpesr´teenxenumertnemuopnuM.Donnerlescoroodnne´se(x M , y M )deM.

La courbeCcoupe l’axe des abscisses(Ox)en deux pointsAetBd’abscisses respectivesx A etx B telles quex A < x B . De´terminerlesvaleursexactesdex A et dex B ´D.sl.cualscleerllaiet −1 Donnerunevaleurapproch´ee`a10`esdprex B .

Placer les pointsA,BetM. Tracer la courbeCainsi que sa tangente au pointM.

Onconside`relafonctionFp,eitruotuodfin´ex∈]0; +∞[, par :   2 F(x) =x−4 + 4 lnx−(lnx)

Montrer queFest une primitive def.culs.reelcsla´Dteiall Z e SoitJl’arep:´delinfie´tniargeJ=f(x)dx. 1 Calculer la valeur exacte deJen justifiant le calcul.

Sur la figure deI4ire,exprim´eeenuin´tse’diaer,,hhuacrlrearapdeitalpunodna’lt vautJ.

Geipi PolytechENIT 2012 MATHEMATIQUES

I1a

I1b

I2a

I2b

I2c

I3

I4

I5a

I5b

I5c

REPONSES A L’EXERCICE I

limf(x) = x→0 x >0 limf(x) = x→+∞

′ f(x) =

g(x) =

x ′ f(x) f(x)

x A = car

~ j

O

~ i

0 | | |

Fest la primitive defcar

J=

car

Utiliser la figure deI4.

Geipi PolytechENIT 2012 MATHEMATIQUES

car

car

x B =

+∞

x B ≃

x M =

y M =

3/9

EXERCICE II Donnerlesr´eponsesa`cetexercicedanslecadrepr´evu`alapage5

Danscetexercice,pourchaqueprobabilit´edemande´e,ondonnerasa valeur exactes´e,tircuose forme deebltinoitcarfcude´rri. Un marchand de parapluies ouvre son magasin240urjoeen´ils,80yapsrunaraustesecrjo jours de beau temps,40jours de pluie et120jours de temps maussade. 3 Ilconstatequelorsd’unejourn´eedebeautemps,ilauneprobabilite´dedenepasvendre 4 1 deparapluie,etuneprobabilite´dedevendreunparapluie. 4 1 Lorsd’unejourn´eedepluie,ilauneprobabilite´dedevendreunparapluie,uneprobabilite´ 4 1 1 dedevendredeuxparapluiesetuneprobabilite´dedevendretroisparapluies. 4 2 1 Lorsd’unejourn´eedetempsmaussade,ilauneprobabilit´ededenepasvendredeparapluie, 4 1 1 uneprobabilit´ededevendreunparapluieetuneprobabilit´ededevendredeuxparapluies. 2 4

Pourunejourn´eequelconqued’ouverturedumagasin,onconside`relese´ve´nementssuivants: B: ”Le temps est beau”,P: ”Le temps est pluvieux”,M: ”Le temps est maussade”. X´lresveariespnegolbtraier´alaaieredenombntdl´eeentasudnevseiulparap.`alurjoce

II1

II2a

2b

II3a

3b

3c

II4a 4b

II5

II6

II7

4/9

Compl´eterl’arbredonn´eaveclesprobabilite´scorrespondantes.

Sachantqu’ilfaitbeau,quelleestlaprobabilit´eP 1 nevendepasmoceleuqtnac¸rem deparapluiecejourl`a? Sachantqu’ilpleut,quelleestlaprobabibilite´P 2 an¸cermmcoleueqsomnieduavtne deuxparapluiescejourl`a?

Quelleestlaprobabilite´P(X= 0)padeasepeuiplrantnevendommer¸cauqlece cejourl`a? Quelleestlaprobabilite´P(X= 2)xuedarapiulpecsemmco¸certvandeeneuelq jourl`a? Quelleestlaprobabilite´P(X= 3)siorarapiulpecseommer¸cantvendetuqlece jourl`a?

Compl´eterletableauquidonnelaloidelavariableale´atoireX. Calculerl’esp´eranceE(X)avirbaeledalre´ealoiatX.

Il vend chaque parapluie10euros. Quel est le gain moyenG, en euros, que lui rapporte sa vente de parapluies pour un an ?

Sachantque,lorsd’unejourn´eedonn´ee,lecommerc¸antavenduunseulparapluie, quelleestlaprobabilit´eP 3 cesoque´ernebedunitouej?tuaespme

Sachantquelajourn´ee P 4 electnqu¸racmoem

n’estpasunejourn´eedebeautemps,quelleestlaprobabilit´e ne vende qu’un parapluie ?

Geipi PolytechENIT 2012 MATHEMATIQUES

II1

II2a

II3a

II3b

II3c

II4a

II4b

II6

P 1 =

REPONSES A L’EXERCICE II

P(X= 0) =

P(X= 2) =

P(X= 3) =

x i

P(X=x i )

E(X) =

P 3 =

Geipi PolytechENIT 2012 MATHEMATIQUES

......

......

......

B

P

M

3 4

......

...... ......

......

...... ......

......

II2b

II7

II5

X= 0

X= 1

X= 1

X= 2

X= 3

X= 0

X= 1

X= 2

P 2 =

P 4 =

G=

euros

5/9