Cours, Chapitre de Mathématiques de niveau Terminale

Tcherkan

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Continuité et équation
Cours, Chapitre en Mathématiques (2011) pour Terminale ES

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Extrait

1 sur 7

I. CONTINUITE

CONTINUITE ET EQUATION

I.1 L'idée intuitive de continuité

Graphiquement

Définition I.1. Une fonction estcontinuesur un intervalle I, si elle est définie sur I et si sa courbe représentativeℭse trace d'un trait continu, c'est à dire d'un seul tenant,sans lever le crayon. f Exemple. La fonction f est continue sur [ 0; 6 ]

C f

La fonctionvaleur absolueest continue surℝmais non monotone.

La fonctioninversen'est pas continue en 0 , car il y a untrouen 0 (c'est à dire que 0 n'a pas d'image par la fonction inverse. )

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La fonction inverse est continue sur ] − ∞; 0 [ et sur ] 0; + ∞ [ : on dit que la fonction inverse estcontinue par intervalles.

Etude de la fonction partie entière: La partie entière de 5.2 est 5.

Plus généralement, tout réelxappartient à un intervalle et un seul de la forme [ n;n+ 1 [ avec n∈ ℤ.

Ainsi −4.3∈ [ − 5; − 4 [ .La partie entière de −4.3 est -5.

La partie entière du réelx, notéeE ( x ) est définie ainsi: six∈ [ n;n+ 1 [ avecn∈ ℤalors E ( x ) = n.

La fonction partie entière est celle qui à tout réelxassocie la partie entière dex.

La fonction partie entière n'est pas continue surℝcar il y a unsauten chaque entiern. Elle est continue sur chaque intervalle du type [ n;n+ 1 [ oùn∈ ℤ.

Collection DECLIC exercice résolu H p19

Exercices n°71 et 73 p31

I.2 Fonctions de référence

Théorème I.1.

La fonctionracine carréeest continue sur [ ∞0; + [ . Une fonction obtenue par opérations (+,-, × ,: )sur les fonctions usuelles est continue sur chaque intervalle où elle est définnie. Ainsi les fonctionspolynômes, rationnelles(quotient de 2 polynômes) sont continues sur tout intervalle de leur ensemble de définition. Toute fonction dérivable sur un intervalle est continue sur cet intervalle.

Remarque. La réciproque de DERIVABLE⇒CONTINUE En effet: la fonction valeur absolue est continue en 0 mais non dérivable en 0.

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II. Théorème des valeurs intermédiaires

II.1 Introduction

Soitfune fonction continue sur un intervalle [ a;b ] .SoitDla droite d'équationy = koùkest un réel compris entref ( a ) etf ( b )

c 1 f ( b )

f ( a )

c 2

C f

c 3

y = k

se trace sans lever le crayon, donccoupe la droiteDen un point au moins. f f Sur la figure ci-dessus,coupe la droiteDen 3 points. f f ( c ) = k,f ( c ) = k,f ( c ) = k. Cela revient à dire que l'équationf ( x ) = kadmet 3 solutions dans 1 2 3 l'intervalle [ a;b ] .

II.2 Enoncé du théorème

Théorème II.1. Soit f une fonctioncontinuesur un intervallefermé [ a;b ] . Pour tout réelkcompris entref ( a ) etf ( b ) , il existeau moinsun réelccompris entreaetb tel quef ( c ) = k.

Remarque. On peut donc dire que c est unantécédentdu réelkpar la fonction f ou ou encore que l'équationf ( x ) = kadmet au moins une solution.

Remarque. Importance de l'hypothèse de continuité:

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Si la fonction f n'est pas continue, il est possible que pour un réel k compris entref ( a ) et f ( b ) , il n'existe aucun réelccompris entreaetbtel quef ( c ) = k.

y = k

Conséquence.

Théorème II.2. Si une fonction estcontinueetstrictement monotonesur un intervalle fermé [ a;b ] , alors pour tout réelkcompris entref ( a ) etf ( b ) (ces 2 valeurs étant comprises), l'équationf ( x ) = k admet une unique solution dans l'intervalle [ a;b ] Exemple.

C f

k

c

b

Remarque. "Srictement monotone" signifie soit "strictement croissante" soit "strictement décroissante".

Remarque. Importance de l'hypothèse "strictement monotone":

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Si la fonction f est continue sans être strictement monotone,toute valeurkcomprise entref ( a ) etf ( b ) est prise par f, mais pas forcément une seule fois.(voir figure de l'introduction).

Cas particulier

Corollaire II.1. Si f est continue sur l'intervalle fermé [ a;b ] et sif ( a ) etf ( b ) sont de signes opposés, alors l'équationf ( x ) = 0 admet au moins une solution.Si de plus f est strictement monotone, alors cette solution est unique.

Démonstration. En effet, si f ( a ) et f ( b ) sont de signes opposés, alors la valeur 0 est comprise entre f ( a ) et f ( b ) , et le TVI (théorème des valeurs intermédiaires) est appliquable.

Exemple.

0 a

f ( b ) >0

f ( a ) <0

Exercices résolus I et J p19

II.3 Une convention importante

b

Dans un tableau de variations, on convient que les flèches obliques traduisentla continuité et la stricte monotoniede la fonction sur l'intervalle considéré.

Exercices p31 n° 74 a).75 et 76. p 34 n° 89

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TES 2

F ICHEMÉTHODE : TVI

Vendredi 30 Septembre

NOM:....................................................................PRENOM:....................................................................................

E X E R C I C E  1 3 Soitfla fonction définie sur [ 1; 2 ] parf ( x ) =x+x. Etudier la continuité def.Justifier. .................................................................................................................................... Sans clacul (donc sans dériver), étudier le sens de variation def: .................................................................................................................................... .................................................................................................................................... .................................................................................................................................... Dresser le tableau des variations de f.

Démontrer que l'équationf ( x ) = 5 admet une unique solution α dans l'intervalle [ 1; 2 ] : .................................................................................................................................... .................................................................................................................................. .................................................................................................................................. ..................................................................................................................................

On peut trouver une valeur approchée de α en réalisant un tableau des valeurs def. Avec la TI, suivre la démarche suivante: Rentrez l'expression algébrique defdans l'éditeur de fonctionf ( x ) .

Appuyer surDe f Tableet compléter: déb table:1, pas table:0.1 (Cela signifie que vous demandez à la calcultrice de calculer les images par f de 1; 1.1;1.2;1.3;...)

Appuyez sur table et compléter le tableau de valeurs ci-dessous: x 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 f ( x )

On a doncf ( ... ) < α <f ( ... ) .On en déduit que la solution α est telle que: ... < α < ...

E X E R C I C E  2 Nous avons démontré dans l'exercice 76 p31 (collection DECLIC) que l'équationf ( x ) = 0 avec 3 2 f ( x ) =x− 2x− 4x+ 3 admet une unique solution α dans l' intervalle [ 0; 1 ] .Pour déterminer une valeur − 3 approchée defprès, suivre la démarche ci-dessous:à 10 Rentrez l'expression algébrique defdans l'éditeur de fonction.

Appuyer surDe f Tableet compléter Déb table:0, pas table: 0.1

x f ( x ) 0.6 f ( 0.6 ) = ... 0.7

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Donc ... < α < ...

NOM:..............................................................................PRENOM...............................................

Pour affiner cet encadrement, on continue ainsi: Déb table:0.6, pas table: 0.01 x f ( x ) 0.61 f ( 0.61 ) = ... 0.62

Donc ..... < α < .....

Déb table:0.61, pas table: 0.001 x f ( x ) 0.618 f ( 0.618 ) = ... 0.619

Donc ...... < α < ......

E X E R C I C E  3 Continue à t'exercer en faisant ci-dessous l'exercice n° 78 p31.Soigne la rédaction et la présentation des tableaux.

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