Cours, Chapitre de Mathématiques de niveau Terminale

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Produit scalaire dans l'espace
Cours, Chapitre en Mathématiques (2011) pour Terminale S

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• Langue: Français

Extrait

1. Définitionet conséquences:

Ch...: Produit scalaire dans l'espace

u  x ; y ; z On considère une base orthonormale de l'espace. Soientet  u v   u.v  appelle produit scalaire deet dele réel notéet défini par: u  .v  =xx 'yy 'zz '

v  x '; x ' ; z '

deux vecteurs. On

 u1;2;3  v2;−3;0 Exemple: Siet ,on obtient ... Remarques: 2 22  u u  .u  =xyz= ∥ u  ∥ ² ● Pour tout vecteur, on a. u  ²=x²y²z²= ∥ u  ∥ ² On notera par convention. AB.AB=∥AB∥² AB²=∥AB∥² De même si A et B sont deux points, on a. on notera parfois. ●  u  v Si l'un des vecteursou estnul, alors leur produit scalaire est nul mais la réciproque est fausse: si  u1;2;0  v2;−1;0u  .v  =1×2−1×20×0=0 et ,. ●  u  v  v=k u  v  kx ; ky ; kz Si les vecteurset sontcolinéaires (avec )alors  u.v  =x×k xy×k yz×k zu  .k  u=kx²y²z²=k∥  u∥²  u.k u  =k∥  u∥² <=> .Ainsi, . 2. Théorème:autres expressions du produit scalaire: 1 2 2 2 1 2 22 1 2 2 u  .  v= ∥  u  v∥ −∥u  ∥ −∥v  ∥ ∥  u∥ ∥  v∥ −∥u  −  v∥  ∥  uv  ∥ −∥u  −v  ∥  a) == 224 (identité de polarisation indépendantes de la base orthonormée choisie)

 Lors eet ; b) qu u  ≠0 v  ≠0  u.v  =∥  u∥×∥v  ∥×cos  u ;  v

 ≠  =  v u  c)Lorsque  u0 ; u  .v u  .v ' où v ' .sur la direction deest le projeté orthogonal de Démonstration: .......................................................................................................................................................................................

Exemple: ABCDEFGH est un cube d'arête a.

AE.DG Calculons de plusieurs façons le produit scalaire. Méth1:projetés orthogonaux ...

Méth2:dans un repère ...

Lien entre produit scalaire et théorème de Pythagore: u   v Soient et deuxvecteurs orthogonaux. 2 22     On a, d 'après le théorème de Pythagore, ∥uv∥ =∥u∥ ∥v∥ . 1 2 2 2 u  .v  =0 ∥u  v  ∥ −∥u  ∥ −∥v  ∥ =0 Réciproquement, si, on a, 2 2 2 2 ∥  u  v∥ =∥u  ∥ ∥  v∥ c'est-à-dire .

u  ⊥v  =u  .v  =0

Remarque: u  Si un vecteurest orthogonal à tout vecteur, alors c'est le vecteur nul. Preuve: ...

3. Propriétédu produit scalaire:

u  v  Soient et deuxvecteurs de l'espace. Soit k un réel. ➢  u.v  =v  .u  Symétrie:(évident d'après la définition) ➢ Bilinéarité:(linéarité par rapport aux deux places)     u  v.w=  u.w  v. w k  u.  v=k  u.  v et (linéaritépar rapport à la première place)  u.  vw=  u.  v  u.w u  .k  v=k  u.v   et (linéaritépar rapport à la deuxième place)  ➢ u  .u  =0 = Séparation:si ,alors  u0 Démonstrations: .......................................................................................................................................................................................

Exercice 1: ABCD est un tétraèdre régulier d'arête a. Démontrer que deux arêtes opposées sont orthogonales. ...

Exercice 2: ABCDEFGH est un cube dont les sommets sont disposés comme sur la figure ci-dessous. Les vecteurs AH et CE sont-ils orthogonaux? ...

4. Applicationsdu produit scalaire dans l'espace:

a) Équation cartésienne d'un plan:

 n Définition:Un vecteur normalà un plan P est un vecteur non nul dont l

Soit A un point du plan P. On a donc, pour tout point M de P, AM.  n=0 . Réciproquement, si un point M vérifie A , alors M.  n=0 M∈P.

Conséquence:  n Le plan P qui passe par A et qui est orthogonal àest l'ensemble AM.  n=0 des points M tels que.

   Exemple: Trouver dans un repère orthonormé j ; kO ; i ; une équation cartésienne du plan P passant par   n  1;1;2 A(2;1;-3) dont un vecteur normal est. .......................................................................................................................................................................................

     Théorème:Dans un repère orthonormé O ; i ;j ; k , tout plan P admet une équation dite cartésienne de la axbyczd=0 n  a ; b ; c forme (a,b, c non tous nuls). Le vecteurest normal à ce plan. Démonstration: ....................................................................................................................................................................................... Cas particuliers: ● z=0 Le plan (Oxy)a pour équation ● y=0 Le plan (Oxz) a pour équation ● x=0 Le plan (Oyz) a pour équation Aa ;0;0B0; b ;0C0;0; c abc≠0 Le plan passant par les points, et () a pour équation: x y z   =1 a b c Preuve: .......................................................................................................................................................................................

Exercice: On donne les équations cartésiennes de deux plans P et Q: P: x – 4y + 7 = 0 Q: x + 2y – z + 1 = 0 1. Montrerque ces plans sont sécants. On note (d) leur droite d'intersection. 2. Déterminerun vecteur directeur de (d). ....................................................................................................................................................................................... Cet exercice permet ainsi d'obtenir une représentation paramétrée d'une droite dans l'espace Définition: Azy ;x ; Soit d une droite de l'espace passant par le point A AA et de vec  u;; teur directeur. Dire qu'un Mx ; y ; z point appartientà d équivaut à dire qu'il existe unt AM=t  u réel telque . AMx−yx ;−zy ;−zt  ut; t; t Or AA A et si: −x=t x=xt AA −y=t y=yt  =>(S) . A A −z=t z=zt AA système (S) est unprésentation paramétrique de la droite d dont t est le paramètre. En généralisant l'exercice ci-dessus, (1) (d)est une droite de l'espace, on considère deux plans P et P' sécants suivant (d), de vecteurs normaux  na ; b ; c n'; b '; c 'a '  n respectifs et, et n' non colinéaires. Par ailleurs, P et P' ont des P : a xbyczd=0P ' : a ' xyb 'c 'zd '=0 équations cartésiennes de la formeet ,d et d' réels. axbyczd=0 La droite (d) est l'ensemble des points M(x;y;z) tels que (S'). a ' xb 'zc 'd '=0 La droite (d) est représentée par le système d'équations casiennes (S') (2) Réciproquement,... .......................................................................................................................................................................................

Théorème: Deux plans P et Q sont orthogonaux si et seulement si leurs vecteurs normaux sont orthogonaux. Deux plan Pet Q sont parallèles si et seulement si leurs vecteurs normaux sont colinéaires.

b) Distance d'un point à un plan:

axbyczd=0 Soit P un plan de l'espace d'équation quelconque non contenu dans le plan P, de coordonnées

, avec a, b, c réels non tous nuls; et A un point Ax ;y ;z . A AA

Hzy ;x ; H est son projeté orthogonal sur P de coordonnées H HH . AH Le vecteurest colinéaire à un vecteur normal à P, de coordonnées  nb ; ca ; AH=k  n donc il existe un réel k tel que. a k Par ailleurs AHx−x ;y−y ;z−z x−x A = . Donc , H AH AH A h ; y−y=b k z−z=c k H A et H A . x=a kyx ;=b kyz=c kz Ainsi, H AH A et H A . H∈P En outre,donc ces coordonnées vérifient une équation de P. a xb yc zd=0aa kxbb kycc kzd=0 <=> H HHAA A −axbyczd A A A a² ka xb² kb yc² kc zd=0 k= <=> AA A <=> 2 2 2 car a, b, c sont des réels non tous abc nuls. 2 2 22 2 2 2 = AH=∣k∣×∥n  ∥ ∥  n∥ =a Or, nAH k  donc d ∣×  abc . avec bc 'où AH=∣k ∣axbycz A A A d∣ ∣axbyczd∣ A A A AH= ×  a²b²c² AH= Ainsi, 2 2 2 <=> . abc  a²b²c²

Ay ;x ;z A retenir:la distance entre le point A AA et le plan P, pour A non contenu dans P est égale à ∣axbyczd∣ A A A AH= ,H désignant le projeté orthogonal de A sur P.  a²b²c²

c) Application à un demi-espace:

axbyczd=0 Le plan P d'équationou a, b et c sont des réels non tous nuls partage l'espace en deux demi- espaces d'inéquation du type: ● axbyczd0axbyczd0 et (demi-espacesfermés) ● axbyczd0 axbyczd0 et (demi-espacesouverts)

d) Application au cas de la sphère:

Azy ;x ; By ;x ;z Soit AA A et BB B . Trouvons une équation de la sphère S de diamètre [AB]. Mx ; y ; z La sphère de diamètre [AB] est l'ensemble des points M de l'espace de coordonnéestel que MA.MB=0 . MAx−x ; y−y ; z−z MBx−x ; y−y ; z−z Or A A A et B B B . D'où: x−xx−xy−yy−yz−zz−z=0 A B . Poursuivez les calculs! A BA B .......................................................................................................................................................................................

A retenir:Toute sphère de diamètre [AB], avec I milieu de [AB], soit R = IB = IA, admet une équation de la forme: x−x²y−y²z−z²=R² I II

Exemple: A0;0;−1B1;2;−3 Donner l'équation de la sphère S de diamètre [AB] tel queet .Vous préciserez les coordonnées de son centre et la longueur de son rayon.

D'après le cours de G.COSTANTINI,http://bacamaths.fr.