Cours, Chapitre de Mathématiques de niveau Terminale

Tcheordukian

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La fonction exponentielle
Cours, Chapitre en Mathématiques (2012) pour Terminale ES

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Extrait

III.Croissances comparées de l'exponentielle et de la fonction puissance

Théorème .1.

Soit n un naturel non nul. x x e e a) lim = + ∞ et lim n ∞= + x x x→ + ∞x→ + ∞ x n x b) limxe= 0etlimx e= 0 x→ − ∞x∞→ −

Démonstration. Soit n un naturel non nul. ln ( x ) x x x1− e e x−ln ( x ) x a)Pour x> 0 , = = e = e . x ln ( x ) e ln ( x ) ln ( x ) ln ( x ) Or on sait que lim = 0 , donc limx1 − = 1 et limx1 − + ∞ .De plus x x x x→ +∞x→ +∞x→ +∞ X lime = + ∞ . X→ +∞ ln ( x ) x1− x x e Donc par composée des limites, on a lime∞ = + prouve que, ce qui + ∞ lim = . x x→ +∞x→ +∞ x e On admet que + ∞ lim = n x x→ +∞ x− ( −x ) 1 −x b) xe = − ( −x ) e = − x = − avec lim ( −x ) = + ∞ −x−x e e x→ −∞ X e X D'après a) + ∞ lim = , donc par passage à l'inverse lim = 0 . X X X→ +∞X→ +∞ e x On a donc bien prouvé que limxe = 0 x→ −∞ n x On admet que limx e = 0 x→ ∞

Remarque. On peut traduire et retenir ces résultats par: au voisinage de l'infini eten cas de forme indéterminée, l'exponentielle de x l'emporte sur toute puissance de x. Remarque. x e Interprétation graphique de lim = + ∞ x x∞→ + x x e e− 0 = est le coefficient directeur de la droite (OM) où M est un point de x x− 0 x Cdonc de coordonnées ( x;e ) . ex p Donc lorsque x tend vers +∞ la droite (OM) tend vers l'axe des ordonnées,

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ce que l'on retrouve sur le graphique II.5

Exemple. 3x Etudions lim ( 2x− 3e ) x→ + ∞ 3 Si nous procédons de façon classique, lim ( 2x ) = + ∞ et x→ + ∞ x lim ( − 3e ) ∞.= − x∞→ + Donc par somme nous obtenons la F.I + ∞ − ∞. 3 Pour lever l'indétermination, on factorisexet il vient x 3x3 e 2x− 3e=x2 − 3 . 3 x x x e e Comme lim = + ∞− 3 lim 2 ∞= − , on a 3 3 x x x∞→ + x∞→ + x 3 3 e D'autre part lim ( x ) = + ∞, il vient par produit limx2 − 3 3 x x∞→ + x→ + ∞ 3x soit lim ( 2x− 3e ) ∞= − x→ + ∞

= − ∞,

Exemple. 2x Etude de la fonction f définie surℝparf ( x ) = ( x+x ) e. f est de la forme 2x uv avecu ( x ) =x+xetv ( x ) =e.Or ( uv ) ' =u'v+uv'.Ici on a: x u' ( x ) = 2x+ 1 etv' ( x ) =e. x2x2x Doncf' ( x ) = ( 2x+ 1 ) e+ ( x+x ) e= ( x+ 3x+ 1 ) e x2 e> 0 pour tout réel x, doncf' ( x ) sera du signe du trinômex+ 3x+ 1. Pour étudier le signe d'un trinôme, on détermine ses racines éventuelles: − 3 − √ 3 +5 − √ 5 Δ = 9 − 4 = 5 etx=≅− 2.6,x=≅− 0.38. 1 2 2 2 D'où le tableau des variations de f:

2

x

f' ( x )

f ( x )

−∞

+

x 1

0

−

x 2

0

+

+∞

Déterminons les limites de f aux bornes de son ensemble de définition: 2x En −∞:limf ( x ) = lim ( x+x ) e. x→ − ∞x∞→ − x2 2 Or lime= 0 et lim ( x+x ) = lim ( x ) ∞= + x→ − ∞x∞→ − x∞→ − Et par produit on obtient la F.I : 0× + ∞. 2x x2x f ( x ) =x e+xeavec limx e= 0, car au voisinage de l'infini en cas de x→ − ∞ FI, l'exponentielle de x l'emporte sur toute puissance de x.De même x limxelim= 0, et par somme f ( x ) = 0 x→ − ∞x∞→ − 2x En +∞:lim ( x+x ) = + ∞ etlim ( e ) ∞, donc par produit:= + x∞→ + x→ + ∞ limf ( x ) = + ∞. x∞→ + Les courageux détermineront les valeurs exactes def ( x ) etf ( x ) qui sont 1 2 − 3 + √ 5 2 + √ 5 2 respectivement: et ( 2 − √ 5 ) e. 3 + √ 5 2 e

exercices résolus C et D p 145

Ex p 155 n° 34 à 41

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u IV) Etude deeoù u est une fonction définie sur un intervalle I deℝ

1.Limites On utilise le théorème sur la limite d'une fonction composée. Exemple. 2 −x+ 1 Soit f la fonction définie surℝparf ( x ) =e. u2 f est de la formeeavecu ( x ) = −x+ 1 ,donc 2X limu ( x ) = lim ( −x ) ∞ et lim= − e= 0. x∞→ + x→ + ∞X∞→ − Donc d'après le thm sur la limite d'une fonction composée, limf ( x ) = 0 x∞→ +

u 2.Dérivée deeet sens de variation a) Dérivée u ( x ) Pour toutx∈Ion af ( x ) =e.Si u est dérivable sur I, alors comme l'exponentielle est dérivable surℝ, d'après le thm de dérivation d'une fonction composée, f est dérivable sur I et pour toutx∈I, on a: u ( x ) f' ( x ) '= exp ( u ( x )) × u' ( x ) = exp ( u ( x )) × u' ( x ) =u' ( x ) e

Théorème .2.

u Si u est une fonction dérivable sur un intervalle I, alors la fonctione est dérivable sur I et u u ( e ) ' =u'e

b) Exemple. Déterminons la dérivée de la fonction f définie sur ] 0; + ∞ [ par 1 x f ( x ) =e 1 On au ( x ) = etI= ] ∞0; + [ .La fonction inverse u est dérivable sur x 1 I= ] ∞0; + [ etu' ( x ) = − 2 x Donc d'après le thm pércédent , f est dérivable sur I et on a: 1 1 u ( x ) 1 x x f' ( x ) =u' ( x ) e=u' ( x ) e= −e 2 x

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c) Sens de variation Supposons toujours u dérivable sur I. u ( x ) u ( x ) Pour toutx∈I,e' =u' ( x ) e

Si u est croissante sur I, alorsu ' ≥ 0 et comme la fonction exponentielle est u ( x ) u ( x ) positive, le produitu' ( x ) e ≥ 0, ce qui signifie que la dérivée de eest u positive sur I et par suiteeest croissante sur I. De même si u est décroissante sur I, alorsu ' ≤ 0, et comme la fonction u ( x ) exponentielle est positive, le produitu' ( x ) e ≤ 0, ce qui signifie que la u ( x ) u dérivée deeest négative sur I et par suiteeest décroissante sur I.

Théorème .3.

u Sur l'intervalle I, u eteont le même sens de variation.

Démonstration. On l'a déjà démontré lorsque u est dérivable sur I.Si u n'est pas dérivable sur I, alors le thm est encore vrai, car la fonction exponentielle est croissante et la composée de deux fonctions de même sens de variation est croissante et la composée de deux fonctions de sens de variations contraires est décroissante.

d) Exemple. 2 x− 2x Etude de la fonction f définie surℝparf ( x ) =e u ( x ) 2 pour tout réel x, on af ( x ) =eavecu ( x ) =x− 2x

Etude des limites aux bornes de l'ensemble de définition 2 2X lim ( x− 2x ) = lim ( x ) ∞= + et lim ( e ) = + ∞. x∞→ − x∞→ − X→ + ∞ Donc d'après le thm sur la limite d'une fonction composée limf ( x ) = + ∞ x∞→ − 2 2X lim ( x− 2x ) = lim ( x ) ∞ et = + lim ( e ) = + ∞ donc par x∞→ + x∞→ + X→ + ∞ composée, limf ( x ) = + ∞ x→ + ∞

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Calcul de la dérivée:u' ( x ) = 2x− 2 = 2 ( x− 1 ) et 2 u ( x ) x− 2x f' ( x ) =u' ( x ) e= 2 ( x− 1 ) e Etude du sens de variation: La fonction exponentielle étant strictement positive,f' ( x ) sera du signe de x-1. Orx − 1 ≥ 0 ⇔x ≥ 1

x

f' ( x )

f ( x )

− ∞

+ ∞

1 − 2 − 1 1 f ( 1 ) =e=e= e

−

1

0

1 /e

+

+ ∞

+ ∞

3. Primitive a)Proposition .1. u u Si u est dérivable sur un intervalle I, une primitive deu'eeste

b) Conséquence. u ( x ) Si f est la fonction définie sur I parf ( x ) =e u' ( x ) , alors toutes les u primitives de f sont de la formee+koùk∈ ℝ

Exemple. Déterminons la primitive qui s'annule en 1 de la fonction f définie surℝ − 2x+ 1 parf ( x ) =e On poseu ( x ) 2= − x+ 1, doncu' ( x ) = − 2.On écrit f à l'aide deu'. 1 − 2x 1 + 1 u ( x ) f ( x ) = − × ( − 2 ) e= −u' ( x ) e 2 2

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1 u ( x ) 1 − 2x+ 1 Une primitive de f surℝest donc −e= −e 2 2 1 − 2x+ 1 Toutes les primitives F de f surℝsont de la formeF ( x ) = −e+koù 2 k est une constante. 1 − 2x 11 − 2 + 1 + 1 F ( 1 ) = 0⇔e+k= 0⇔−e+k= 0⇔− +k= 0⇔k= 2 2 2e 1 − 2x 1 + 1 La primitive de f surℝqui s'annule en 1 est doncF ( x ) = −e+ 2 2e

Ex résolus E et F p 147.

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