Cours, Chapitre de Mathématiques de niveau Terminale

Tcheordukian, Tcheordukian

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La fonction exponentielle
Cours, Chapitre en Mathématiques (2012) pour Terminale ES

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Extrait

I. Généralités

I.1 Introduction

a

FONCTION EXPONENTIELLE

C ln

a=ln ( b )

b

On sait que la fonction logarithme népérien est une fonction définie sur ] 0; +∞ [ , continue, strictement croissante et à valeurs dansℝ. Pour tout réela, il existe donc un unique réelb∈ ] ∞0; + [ , tel que a=ln ( b ) . b est l'antécédent du réel a par la fonction logarithme népérien, mais il est plutôt d'usage d'appeler ce réel b exponentielle du réel a et on note b= exp ( a ) . Ainsi à chaque réela, on peut associer un unique réelb∈ ] 0; +∞ [ tel que

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a= lnb ) , ce qui permet de définir une nouvelle fonction, définie surℝet à valeurs dans ] ∞0; + [ .

Remarque. Avec les notations précédentes, il vient a= ln ( b ) = ln ( exp ( a )) = ( lnoexp )( a ) Ainsi pour tout réela, on a la relationa= ln ( exp ( a )) , c'est à dire que exp ( a ) est l'unique réel de ] ∞0; + [ dont le logarithme népérien esta.

I.2 Définition

Définition I.1. Pour tout réelx, on appelle exponentielle de x et on note exp(x) l'unique réel de ] ∞0; + [ dont le logarithme népérien est x. On appelle fonction exponentielle la fonction notée exp :ℝ→ ] 0; +∞ [ x֏ex p ( x )

I.3 Autrenotation

Remarque. a)On rappelle que e est l'unique réel tel que ln ( e ) = 1, avec e≈ 2.72 m Pour tout entier relatifm, on am= ln ( e ) car [ m ln ( e ) =m ×ln ( e ) =m ×1 = m] Or par définition, exp ( x ) est l'unique réel de ] ∞0; + [ tel que m= ln ( exp ( m )) . m On a donc exp ( m ) =epour toutm∈Z Remarque. b) On convient donc d'étendre cette notation pour un réel x xquelconque, c'est à dire exp ( x ) sera aussi notéee, lire "e exposant x"

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x x Pour tout réel x, exp ( x ) =e exp:ℝ→ ] ∞0; + [ ,x֏e

I.4 Conséquencesde la définition

Conséquence. a)La fonction exponentielle étant à valeurs dans ] 0; +∞ [ , exp est une fonction strictement positive x Pour tout réel x,e> 0 Conséquence. b)x= ln ( y ) ⇔y= exp ( x ) y∈ ] ∞0; + [ x∈ ℝ

Démonstration.

Supposons x = ln ( y ) avec y∈ ] ∞0; + [ .Alors x∈ ℝ et par définition, exp ( x ) est l'unique réel de ] 0; +∞ [ dont le logarithme népérien est x.Or on a aussi ln ( y ) = x , donc y = exp ( x ) Supposons x∈ ℝ et notons y = exp ( x ) . L'exponentielle étant une fonction strictement positive on a y> 0 .De même par définition, exp ( x ) est l'unique réel de ] 0; +∞ [ dont le logarithme népérien est x. Donc ln ( y ) = x

Conséquence. 0 c) exp ( 0 ) = 1e= 1 En effet 0 = ln ( 1 ) ⇔1 = exp ( 0 ) (d'après l'équivalence donnée à la conséquence b). Conséquence. 1 d) exp ( 1 ) =ee=e En effet, par définition, exp ( 1 ) est l'unique réel de ] ∞0; + [ dont le logarithme népérien est 1. Or le seul réel ayant 1 pour logarithme népérien est le nombre e. Conséquence. e)Pour tout réel x strictement positif, on a exp ( ln ( x )) =x

ln ( x ) Pour tout réel x strictement positif, on ae=x

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Démonstration. xln ( y ) Soit y un réel strictement positif.Posons x = ln ( y ) .On sait que e = y donc e = y . ln ( y ) ln ( x ) On a donc e = y pour tout réel y> 0 . Et par conséquent e = x pour tout réel x> 0

En résuméPour tout réel x, on aln ( exp ( x )) =xtout réel Pourx> 0, ln ( x ) on ae=x On dit que les fonctions logarithme népérien et exponentielle sont des fonctionsréciproquesl'une de l'autre.

I.5 Propriétésalgébriques: Pour tous réels a et b ,et tout entier relatif n on a: 1 a a+bb a−a a−a nan b e e=e × ee= ;e= ; ( e ) =e b a e e

Démonstration. Pour démontrer chacune de ces égalités, il suffit de vérifier que les deux membres ont le même logarithme népérien.

a+bb ab a lne = a+b et lne × e = ln ( e ) + lne = a+b −a 1 a ln ( e ) = − a et ln = − ln ( e ) = − a a e a a− b e a b lne = a−b et ln ln = ( e ) − lne = a−b b e a na an Pour n∈Z , ln (( e ) ) = n ×ln ( e ) = n × a = an et ln ( e ) = an

Remarque. La fonction logarithme népérien transforme un produit en une somme, un inverse en opposé, un quotient en différence. La fonction exponentielle étant la fonction réciproque du logarithme népérien, elle transforme une somme en produit, un opposé en inverse, une différence en quotient.

I.6 Exemples

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a. Simplifionsles écritures 3 ln ( 4 ) − 33 + ln ( 4 ) = e×e3 A= ln ( e ) = −3 ;B=e= 4e ; − 47 −4 + 73 e × ee e 5 5ln ( 2 ) ln ( 2 ) 5 C=e=e= 2= 32;D= =1= = 3 33 e ee b. Résolvonsles équations: x x e= 3⇔ln ( e ) = ln ( 3 ) ⇔x= ln ( 3 ) , doncS= { ln ( 3 )} x x e+ 5 = 0⇔e= −5, doncS=∅ x2x2 e=e⇔ln ( e ) = ln ( e ) ⇔x= 2, doncS= { 2 } 2x− 32x− 3 3 e= 1⇔ln ( e ) = ln ( 1 ) ⇔2x− 3 = 0⇔x= ,donc 2 3 S= { } 2 c. résolvonsles inéquations, en utilisant la croissance de la fonction logarithme népérien: x−x x−x x−x e−e ≥ 0 ⇔e ≥ e⇔ln ( e ) n ≥ l ( e ) ⇔x ≥ − x⇔2x ≥ 0 doncS= [ ∞0; + [

I.7 Exercices

Voir aussi exercices résolus A et B p 143

A faire: p154 n° 19.21.22.24.25.26

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