Devoir Surveillé du 13 octobre 2010 : Mathématiques de niveau Terminale

Tpautrel

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N-2
Devoir Surveillé (DS) en Mathématiques (2011) pour Terminale S

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Extrait

TS – MathématiquesDEVOIR 2 (4h)13 octobre 2010

Exercice 1:(3 points) f On considère la fonctiondéfinie sur IR par: fx=xsinxcosx On se propose d'étudier cette fonction sur [0; 2π]. f 'f 1. Calculerla dérivéede . f 2. Endéduire le tableau de variation desur [0; 2π]. 3 fx=0 ; 3. Démontrerque l'équationadmet une unique solution α dans l'intervalle. [ 2 2 ] 5  4. Démontrerque . 6

Exercice 2:(5,5 points) Partie A f On considère la fonctiondéfinie sur IR de la façon suivante: fx=1si x−2 fx=−x si−2x−1 fx=x² si−1x0 fx=0si x0 f 1. Étudede en-2: f a) Étudier les limites deen -2 à gauche et à droite. f b) La fonctionest-elle continue en -2? f 2. Étudede en-1: f a) Démontrer que la fonctionest continue en -1. fx−f−1 x b) Étudier les limites, lorsquetend vers -1, à gauche puis à droite de. x1 f c) La fonctionest-elle dérivable en -1? f 3. Étudede en0: f Démontrer que la fonctionest dérivable en 0.

Partie B: Soit I un intervalle et soit a un réel appartenant à I. Pour chacune des propositions suivantes, indiquer s'il existe  une fonctiondéfinie sur I et vérifiant simultanément des deux propriétés données: Si la réponse est OUI, donner un exemple. Si la réponse est NON, la justifier par un théorème du cours.   1. estcontinue en a etest dérivable en a.   2. estcontinue en a etn'est pas dérivable en a.   3. n'estpas continue en a etest dérivable en a.   4. n'estpas continue en a etn'est pas dérivable en a.

Exercice 3:(6 points) ℘ O ;  u ;v   Dans le plan complexerapporté au repère orthonormé direct, on considère les points A, B, C et z=2i ; z=i ; z=−1i ; z=1i D d'affixes respectives: C DA B . On fera une figure qui sera complétée au fur et à mesure de l'exercice (unités graphiques: 4 cm).

f ℘ ℘ 1. Soitl'application deprivé du point B dansqui au point M d'affixe z associe le point M' z−2i z '=i d'affixe z' où.   z−i z1−iz−1−i a) Développer la quantité. fM=M b) Chercher les points M vérifiantet exprimer leurs affixes sous forme algébrique puis trigonométrique. AM ∣z '∣= 2. a)Montrer que pour tout z différent de i,et que pour tout z différent de i et de 2i, BM

 argz '=BM ; AM [2 ] . 2 ∣z '∣=1 b) Déterminer et construire l'ensemble (E)des points M d'affixes z tels que.  argz '= [2 ] c) Déterminer et construire l'ensemble (F) des points M d'affixes z tels que. 2 1 z '−i= ∣ z '−i∣×∣z−i∣=1 3. a)Démontrer que pour tout z différent de i,. En déduire. z−i 1 b) Soit M un point du cercle C de centre B et de rayon. Prouver que le point M' d'affixe z' appartient à 2 un cercle de centre B dont on déterminera le rayon.

Exercice 4:(5,5 points) f On se propose de démontrer qu'il existe une seule fonctiondérivable sur IRvérifiant la condition: f−xf 'x=1 x f0=−4 (C): pourtout réelet f g On suppose qu'il existe une fonctionsatisfaisant la condition (C) et on considère alors la fonctiondéfinie gx=fxf−x sur IR par. f 1. Démontrerque la fonctionne s'annule pas sur IR. 2. Calculerla dérivée de la fonction g. 3. Endéduire que la fonction g est constante et calculer sa valeur. 1 f f '=f f 0=−4 4. Montrerque la fonctionvérifie: et. 16 f 5. Envous appuyant sur un théorème du cours, déterminer. 6. Contrôlerque la fonction ainsi déterminée satisfait bien la condition (C).

Exercice 5:(préparation à rendre jeudi 22 octobre) f  − = Soit lafonction définie par xf x  x²6x . f−∞;0 6;∞ 1. Démontrerque l'ensemble de définition deest ]] U[ [. f−∞ ∞ 2. Déterminerles limites deen eten . f Peut-on déduire l'existence d'une ou plusieursasymptotes à la courbe (C f ) représentative de? : y=2x−3∞ 3. a)Démontrer que la droiteest asymptote oblique à la courbe (C f .) en  −∞;0 6;∞ b) Étudier les positions relatives de la droiteet de la courbe (C f ) surU ]] ][. f 4. a)Étudier la dérivabilité de la fonctionen 0 et en 6. b) Quelles sont les conséquences graphiques de ces calculs?