DM Mathématiques Terminale S

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Avec correction. Corrigé
Devoir Maison (DM) en Mathématiques (2011) pour Terminale S

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Mathématiques Devoir maison n°4Terminale S Exercice 1: Soit ƒ la fonction définie sur l'intervalle ] 0 ; 1 ] par fx=x−2  x1 . Cette fonction est dérivable sur ] 0; 1] et sa dérivée ƒ' vérifie f'(1) = 0. La courbe représentative C de la fonction ƒ dans un repère orthonormal est donnée ci-contre.   1. a)Montrer que le point M(x;y) appartient à C si et seulement si x0, y0 et  x  =1 . 2 ● Si M(x;y) appartient à C, alors ses coordonnées vérifient y=x−2  x1=  x−1 en factorisant par l'identité remarquable. D'après l'énoncé, x est choisi dans ]0 ;1 ] donc x > 0. 2 ≥ Le fait d'écrire y=  x−1 permet d'en déduire que y0 , s'annulant en x = 1. 2 Le réel y étant positif, on peut donc lui définir sa racine carrée:  y=    x−1 =∣  x−1∣ .  ≤ Or sur ] 0 ;1 ], 0x1 donc 0  x≤1 par croissance de la fonction racine carrée. Donc sur ] 0 ;1],  x−1≤0 donc ∣  x−1∣=−  x1 . Il vient que  =−  x1 donc  x  =1 . ● ≥ Si x > 0 et y0 , on peut définir leurs racines carrées. 2  x  y=1⇒  y=1−  x⇒y=1−  x par élévation au carré. ≥ Donc =x−2  x1 . D'où si, x > 0, y0 et si  x  =1 , le point M(x,y) appartient à C.

b) Montrer que C est symétrique par rapport à la droite d'équation y = x. Soit M(x,y) un point quelconque de la courbe C. Quels sont les coordonnées du point N(x', y') symétrique de M(x,y) par rapport à la droite D d'équation y = x? y - Soit M un point n'appartenant par à la droite D de coordonnées M(x,y) et N(x',y') 1 le symétrique de M par rapport à D. D est la médiatrice du segment [MN] <=> D coupe [MN] en son milieu I.  u1,1 Soit levecteur directeur de la droite D. On a u  .MN=0 et xx 'yy ' x=; y= x=y I I . Ici comme D a pour équation y = x, I I .(1) 2 2 illeurs u  .MN=0 x '−x×1y '−y×1=0 Par a<=> (2). xx '=yy ' De (1) et (2), on a {. D'où x' = y et y' = x. x '−x'− =0 - Si M appartient à D, x = y = x' = y'. Montrons que si M(x,y) et N(y,x), M et N sont symétriques par rapport à D. y=x Le milieu I de [MN] est tel que I I d'après nos hypothèses. Donc I appartient 0 1 x à D.  −−  Par ailleurs, MN yx ; xy donc u  .MN=0 donc D est bien la médiatrice de [MN] et N est le symétrique de M par rapport à D. Si pour M(x,y) point de C, son symétrique N(y,x) par rapport à D appartient lui aussi à C alors C est symétrique par rapport à D: y= x On a l'équivalence suivante: M(x,y) appartient à C <=>  x  =1 , pour x >0 et y positif. xy=1 N appartient à C si et seulement si ses coordonnées vérifient  N  N . Ny ; x  = =   = Or .Donc  x N  y N  y  x  x  y par commutativité. Or  x  =1 . Donc  x N  y N 1 . Par équivalence, N appartient aussi à C On en déduit que C est symétrique par rapport à D: y = x.

2. a)Si C était un arc de cercle, quel pourrait être son centre? Quel pourrait être son rayon? Si C était un arc de cercle, l'information f'(1) =0 indique que cet arc de cercle admet l'axe (Ox) comme tangente en 1. Donc le centre de cet arc de cercle serait sur la perpendiculaire à (Ox) et par conséquent a pour abscisse 1. (3) Par ailleurs, cet arc de cercle passe par les points A(0,1) et B(1,0). Comme C est symétrique par rapport à D: y = x, le centre de cet arc de cercle devrait appartenir à D.  1,1 Donc on en tire que. Quel pourrait être son rayon? 2 2 A=x−x  Cet arc de cercle passe par les points A(0,1) et B(1,0). Calculons   A  y−y  . A 2  1,1 A=  0−1²1−1 =1 et son rayon 1.. Donc si C était un arc de cercle, son centre serait le point b) La courbe C est-elle un arc de cercle? Si C était un arc de cercle, on pourrait écrire son équation comme ci-dessous: 2  , Pour x0,y≥0 x−x  ²y−y   =R²⇔x−1²y−1²=1.(*)

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Px ,y Le point particulier P P qui correspond à l'intersection de la droite D: y = x et de C devrait donc, si C est un arc de cercle, vérifier l'équation (*). Déterminons les coordonnées de P: 1 11  x= x=x=y= Il s'agit de résoudre x−2  x1=x . Comme P est sur D: y = x,<=> <=> P P . 2 44 2 2 1 1 Calculons  −1 −1 : 4 4 2 22 1 13 9  −1 −1 =2×− = ≠1 . Donc P ne vérifie par l'équation proposée. 4 44 8 On aboutit donc à une contradiction. Ainsi par l'absurde, on a démontré que C n'est pas un arc de cercle.

Exercice 2: U U=1 2U=U−1 On considère la suite n définie par 0 et pour tout entier naturel n, n1n . U 1. Calculerles cinq premiers termes de la suite n . Premier terme donné: U=1 0 Deuxième terme: U−1 0 U=0 U= 1 <=> 1 . 2 Troisième terme: −1 U 1 1 U= U=− 2 <=> 2 . 2 2 Quatrième terme: 1 2 U−1 − − 3 2 2 2 U=− U= <=> <=> 3 3 2 U 3 = 4 2 Cinquième terme: 3 4 U 3 −1 − − 7 U= 4 4 U=− 4 <=> <=> 4 U= 2 4 8 2 V V=Ua 2. Soit n la suite définie par n n , a réel fixé. V a) Déterminer le réel a pour que n soit géométrique. (*) V=q V On doit donc avoir n1n , q réel fixé. V : Exprimons n1 V=Ua ∀n∈ℕ,2U=U−1 n1n1 . Or n1n . U−1U−12a nn V= aV= D'où, n1 c'est-à-dire n1 . 22 1 V= U−12a U−12a=V On a donc n1n . La condition nécessaire (*) impose donc que n n , c'est-à-dire que 2 − = = 1 2a a . La résolution de cette équation affine admet une unique solution et permet donc d'affirmer a1 . V Bilan:la suite n et seulement si a = 1.soit géométrique (ici de raison ½ ) si V U b) En déduire les valeurs de n et de n en fonction de n. n 1 1 V q= Pour a = 1, la suite n . Donc on peut écrireest géométrique de raison V n = V 0 . 2 2 n 1 V=U1=2 Ici 0 0 . D'où V n =2  . 2 n 1 Il vient par suite que U n =V n −a⇔U n =2 −1 . 2 U c)Étudier le sens de variations et la convergence de la suite n : n 1 U On a démontré que la suite n pouvait s'écrire explicitement de la manière suivante: U n =2 −1 . D'où: 2

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n1n 1 1 U n1 −U n =2− 1−2 1 2 2 n1n 1 1 =  −2  U  −U n 2 n1 2 2 n nn 1 1 11 −U U−U=2  −1  −  U U ue n1 0⇔U 1  n1n  Or 0 , donc 0 . Il vient q nn n . 2 2 22 ¿ 1 1 −U=2 −  U 1n n 2 2 n 1 U−U=−  n1n 2 U La suite n est donc strictement décroissante. limU n Étudions sa convergence:déterminons n∞ nnn 1 1 11 0 1 limU n =lim 2− 1 . Icidonc lim =0 , par conséquent lim 2 =0 . 2 2 22 n 1 Il vient que lim 2 −1=−1 . 2 U La suite n converge donc vers -1. −4 U110 d)Trouver le plus petit entier naturel n tel que n . n n −4 1 −4 1 −4 U n 110⇔2 −1110⇔2 10 2 2 n 1 −5  <=>  5×10 2 n 1 −5 ∞  <=> ln ln5×10 par stricte croissance du logarithme sur ] 0; [ 2 −nln2ln5−5 ln10  <=>par les propriétés sur les logarithmes. ln 5−5 ln 10 n  <=> −ln2 n14,28  <=>. −4 U110 Le plus petit entier naturel n tel que n est donc 15. i=n S n lim 3. Calculer n ∑ i . En déduire n . S=U i=0 n∞ n n ∑ S=UU...U S=V−1V−1...V−1 V  ×−  n0 1n <=> n0 1n <=> S= i n1 1 . i=0 n1 1 n 1−  2 La suite n étant géométrique de raison ½ et de premier terme 2, on a: ∑ i = V 0 et V V ×  i=0 1 1− 2 n1n1 1 1 1− 1−  n n1 2 2 1 0 × ∑ [1]−  . V V =2[ ] <=> i = 4 1 1 i=0 2 1− 2 2 n1n 1 1 On a donc S n =4−2×2−× n−1=3−2 −n . 2 2 n n 1−2 13 n S −2 −n3n − 1  n −2 13 ∀ ∈ℕ S S n ,n0 , n 2 n n2n <=>  −= 1 . = ⇔= n n2n n nn n nn S n −32 1 1 1 0 1 lim=lim− 1 . Comme, lim =0 . n n2n 2 2 −2 3 S n lim=0 lim=0 Par ailleurs,et .On obtient donc lim=−1 . n n n

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