DS de Mathématiques de Terminale STG

Kdouh

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Avec correction. Probabilités -nombres complexes-tle-stlch
Devoir Surveillé (DS) en Mathématiques (2011) pour Terminale STL CH

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Extrait

DS N°2 MATHEMATIQUES TERM –STL-CH-GMEF 2010-2011 Exercice 1 6 points Partie A  En 2008, les ateliers Ouest et Est d’une même entreprise produisent respectivement 1100 et 900  pièces d’un unique modèle chaque jour.  On estime que 2 % de la production de l’atelier Ouest est défectueuse ainsi que 3 % de la production  de l’atelier Est. 1.Compléter sur l’annexeàrendre avec la copie, le tableau suivant :

Oue st Est Tota l

Pièces défectueuses 22

Pièces non défectueuses

Tota l

200 0

2.On prélève, au hasard, une pièce dans la production totale. Toutes les pièces ont la même probabilité  d’être prélevées.

a.On définit lesévènements suivants : – E :« la pièce prélevée est produite dans l’atelier Est », –D: « la pièce prélevée est défectueuse ». p(D)  On note la probabilitéde l’évènementE. p(E)p(D)p(EÇD)p(EÈD)  Calculer , , puis .

b.On a prélevéau hasard une pièce dans la production de l’entreprise. Elle est défectueuse.  Calculer la probabilitéqu’elle provienne de l’atelier Ouest. Partie B  En 2009, la production journalière est la suivante :

Pièces Pièces non Tota défectueuses défectueuses l Oue 20 980 100 st 0 Est 24 776 800 Tota 44 1756 180 l 0  Chaque pièce coûte 7€àproduire et est testée.  La réparation d’une pièce défectueuse produite dans l’atelier Ouest coûte 3€et celle d’une pièce  défectueuse produite dans l’atelier Est 5€  Chaque pièce est ensuite vendue 10€. Ainsi, par exemple, une pièce défectueuse produite par l’atelier  Ouest rapporte : 10 % 7 % 3 soit 0€àl’entreprise.

 On appelle B le gain journalier de l’entreprise.

1.Calculer le gain journalier B de l’entreprise.

2.Durant l’année, les ateliers fonctionnent 300 jours. Estimer le gain annuel, expriméen euros, de  l’entreprise.

3.Le chef d’entreprise envisage d’éliminer les pièces défectueuses avant réparation pour ne vendre que les  pièces non défectueuses.  Cette stratégie lui coûte 100 000€par an compte tenu du recyclage.  Cette stratégie est-elle rentable pour l’entreprise ?

Exercice2nistjiu:6op20n-)10  Un conteneur contient 100 flacons de même capacité, remplis d’une solution liquide contenant un produit  P et dosée de la manière suivante : · solution dosée àremplis d’une 5 flacons sont 10% du produit P ; · 30 flacons sont remplis d’une solution dosée à 20% du produit P ; · 40 flacons sont solution dosée àremplis d’une 30% du produit P ; · 20 flacons sont remplis d’une solution dosée à 40% du produit P ; · 5 flacons sont solution dosée àremplis d’une 50% du produit P.  On tire au hasard un flacon du conteneur . On admet que tout les flacons ont la même probabilité  d’être tirés.  On appelle X la variable aléatoire qui, à chaque tirage d’un flacon , associe le nombre exprimant le  pourcentage de la solution contenue dans ce flacon . Ainsi , si on tire l’un des cinq flacons dont le  contenu est dosée à 10% , X prend la valeur 10 .

1. Donner, sous forme d’un tableau, la loi de probabilité de la variable aléatoire X .

2. Calculer l’espérance mathématique de l E ! a variable aléatoire X . ( X

3. Déterminer le dosage de la solution obtenue en mélangeant le contenu de 100 flacons dans un  même récipient.

4. Dans cette question , toute trace de recherche , même incomplète ,ou d’initiative même non fructueuse,  sera prise en compte dans l’évaluation .  Le produit P étant toujours dosé soit à 10% , soit à20%, soit à 30% , soit à40%, soit à 50% , on ( ! 1  souhaite obtenir E X29, 2 en modifiant le dosage de la solution contenue dans un seul des flacons .  Proposer une manière de parvenir à ce résultat .

Exercice 3- 8 points 3 1.Soit P(z)1z%8 , où z désigne un nombre complexe. 2  a.Vérifier que P(z)1(z%2)(z#2z#4) .  b.Résoudre, dans l’ensemble C nombres complexes, l’équ P(z)10  des ation Le plan complexe est rapportéau repère orthonormal (O;u,v) (unitégraphique : 2 cm). La figure sera complétée au fur etàmesure que l’énoncéle demandera. Soit les points A, B et C z12 d’affixes respectives :z 1 % 1 # i3; z1z A B A et C .

z On rappelle que z représente le nombre complexe conjuguéde A . A

z 2. a.Calculer le module et un argument du nombre complexe A .  b. z En déduire le module et un argument du nombre complexe B .

 c.Placer les points A, B et C sur la figure.

 d.Démontrer que le triangle ABC est un triangleéquilatéral.

% i p / 3 3. z Soit D le point d’affixe D définie par : z 1 e z . D B

 a. z Déterminer l’écriture algébrique de D .

 b.Placer le point D sur la figure.

c.Quelle est la nature du quadrilatère BDAO? Justifier votre réponse.

Exercice3:8opnist Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal (O;u,v) .  L’unité graphique est égale à 1 cm.d On ésigne par i le nombre complexe de module 1 et p d’argument 2 3 1.Soit P(z)1z%27 , oùzdésigne un nombre complexe. 2  a.Vérifier que P(z)1(z%3)(z#3z#9) . P(z)10  b.Résoudre, dans l’ensemble C des nombres complexes, l’équation

2.On considère les points A, B et C d’affixes respectives : 3 3 3 3 3 3 z13 A z1 % #i  et z1 % %i B C 2 2 2 2  a.Déterminer le module et un argument de chacun des nombres complexes iq z  b.Écrire le nombre complexe C sous la forme re oùrest un nombre réel strictement positif et q p p un nombre réel compris entreet .  c.Justifier que les points A, B et C sont sur un même cercle , dont on précisera le centre et le rayon.  d.Placer les points A, B et C dans le plan muni du repère (O;u,v)

%ip/ 3 3.dLe point D est éfini par z1z´e . D C z z1 %3  On appelle D l’affixe du point D. Montrer que D , puis placer le point D sur la figure précédente.

4.Soit F l’ensemble des points M d z z#313 ont l’affixe vérifie l’égalité: .  Démontrer queles points O, B et C appartiennentàl’ensemble F .

Correction Exercice 1 6 points Partie A 1. Tableau récapitulatif : Pièces défectueuses Pièces non défectueuses Total Ouest 22 1078 1100 Est 27 873 900 Total 49 1951 20000 900 49 · ·  2. (a) p ( E ! 1 10, 45p ( D ! 1 10, 0245 2000 2000 27 · p ( EÇD ! 1 10, 0135 2000 900 49 27 922 · p ( EÈD ! 1p ( E ! #p ( D ! %p ( EÇD ! 1 # % 1 10, 461 2000 2000 2000 2000 p ( DÇE ! p ( DÇO ! 22  (b) p ( E ! 1 1 1 »0, 449 D p ( D ! p ( D ! 49 Partie B En 2009, la production journalière est la suivante : Pièces PièTotaces non défectueuses défectueuses l Oue 20 980 100 st 0 Est 24 776 800 Tota 44 1756 200 l 0 1. · Gain pour une pièce non défectueuse : 10 % 7 1 3€ .

· Gain pour une pièce défectueuse provenant de l’atelier Ouest : 10 % 7 % 3 1 0€ . ·  Gain pour une pièce défectueuse provenant de l’atelier Est : 10%7%512%€ .  D’où le gain journalier de l’entreprise : B11756´3#20´0#24´ %215220€ . ( ! G15220´30011566000€ 2. Le gain annuel est de : a . 3. Le gain journalier est de G11756´315268€ . J  Le gain annuel, compte tenu de l’éviction des pièces défectueuses est alors de : ' 5268 300 100000 1480400€G'0G  G1 ´ % 1 euros ; d’où a a . a  Cette stratégie n’est donc pas rentable pour l’entreprise.

Exercice 2 (5 points)  Un conteneur contient 100 flacons de même capacité, remplis d'une solution liquide contenant un  produit P. 1) On tire au hasard un flacon du conteneur. On appelle X la variable aléatoire qui, à chaque  tirage d'un flacon, associe le nombre exprimant le pourcentage de la solution contenue  dans ce flacon. 5  5 flacons sont remplis d'une solution dosée à 10% du produit P : p ( X110 ! 1 10, 05 100 30  30 flacons sont remplis d'une solution dosée à 20% du produit : p ( X120 ! 1 10, 3 100 40  40 flacons sont remplis d'une solution dosée à 30% du produit P : p ( X130 ! 1 10, 4 100 20  20 flacons sont remplis d'une solution dosée à 40% du produit P : p ( X140 ! 1 10, 2 100 5  5 flacons sont remplis d'une solution dosée à 50% du produit P : p ( X120 ! 1 10, 05 . 100  D’où la loi de probabilité de la variable aléatoire X :

X1x 10 20 30 40 50 i p ( ! 0,05 0,3 0,4 0,2 0,05 X1x i 2) Espérance mathématique de X : E ( X ! 110´0, 05#20´0, 3#30´0, 4#40´0, 2#50´0, 05129 3) Le dosage de la solution obtenue en mélangeant le contenu des 100 flacons dans un même récipient serait  donc un dosage moyen, soit puisque E X1 un dosage moyen de 29 , 29% ( ! 4)Le produit P étant toujours dosé soit à 10%, soit à 20%, soit à 30%, soit à 40%, soit à 50%, on souhaite  obtenir E X129, 2 en modifiant le dosage de la solution contenue dans un seul des flacons. ( ! 20  Il faut donc une espérance supérieure à la précédente de 10, 2 . 100  Voici trois compositions possibles :

Nombre de flacons X1x i p ( X1x ! i Nombre de flacons X1x i p ( X1x ! i Nombre de flacons X1x i

5 10 0,05 4 10 0,04 5 10

30 20 0,3 30 20 0,3 29 20

39 30 0,39 41 30 0,41 40 30

20 40 0,2 20 40 0,2 21 40

6 50 0,06 5 50 0,05 5 50

p ( X x ! 0,050,290,400,210,05 1 i er  1 cas : E X110´0, 05#20´0, 3#30´0, 39#40´0, 2#50´0, 06129, 2 ( ! e  2 cas : E X110´0, 04#20´0, 3#30´0, 41#40´0, 2#50´0, 05129, 2 ( ! e  3 cas : E X110´0, 04#20´0, 29#30´0, 41#40´0, 21#50´0, 05129, 2 ( !  Ainsi en modifiant le dosage de la solution contenue dans un flacons à 30 % et en transformant  ce flacon en un flacon à 50 %, on obtient E X129, 2 . ( ! EXERCICE 1 2 3 2 2 3 1. a (z%3)(z#3z#9)1z#3z#9z%3z%271z%27 . 2 2 P(z)10Û(z%3)(z#3z#9)10Ûz%310ou z#3z#910Ûz13ouD 19%361 %27  b. %3%3 3i3%3#3i z1ou z1 1 1 2 2 2 2 æ ö æ %3 ö 9 273 3 2. a z# 11 # 1 913 B ç ¸ ç ¸ è 2 ø 2 4 4 è ø z z z z C et B sont deux nombres complexes conjugués ils ont le même module donc C et B sont deux 13  nombres complexes conjugués ils ont le même module donc z C .  Soit q l’argument de z B p p % 2 2 3 1 3 1 q1 z  cosq%1 1  sinq1 1 dedonc l’argument B est 2 3 2 2 2 3 3 z z z C et B sont deux nombres complexes conjugués leurs arguments sont opposés, l’argument de C est %2p 3 %2ip/ 3  b) z13e C z1z1z1  c) A B C A,B,C sont situés sur un cercle de centre O et de rayon 3 3 donc d) figure %ip2/ 3 %ip/ 3i%p/ 3ip% 3) z1z´e13e´e13e1 %3 D C z10z#313z#313 4) a) 0 , donc 0 et 0 . 2 2 æ ö %3#3 3i3#3 3i æ 3 ö 9 273 3 z#31 #31  et z#31 # 11 # 913 B B ç ¸ ç ¸ 2 2 è 2 ø 2 4 4 è ø 2 2 æ ö %3%3 3i3 3%3i æ 3 ö 3 3 9 27 z#31 #31  et z#31 # % 1 # 1913 C C ç ¸ ç ¸ 2 2 è 2 ø 2 4 4 è ø  Les point O,B,C appartiennent à F

-6

-5

-4

D -3

-2

A

B

-1

y

3

2

1

-1

-2

-3

O

1

2

C 3