DS de Maths niveau Terminale

Tof

Description

Avec correction. Ds n-4 février 2012
Devoir Surveillé (DS) en Mathématiques (2012) pour Terminale S

Sujets

• Annales
• Devoir surveillé
• Devoir scolaire
• Cours
• exercices
• Lycée
• École
• ressources pédagogiques
• Ressource

Informations

• Publié par: ressources-de-terminale
• Nombre de lectures: 136
• Langue: Français

Extrait

1 Terminale S 3

 DSde Mathématiques n° 3 Durée: 4 heures

17 novembre 2011

Exercice 1 (3points) #¥ On se propose de déterminer toutes les fonctionsfdéfinies et dérivables sur l'intervalle ]0 ;[ vérifiant 2 xf' ( x ! % ( 2x # 1 ! f ( x ! 1 8x l'équation différentielle (E) :.

#¥ 1. a.Démontrer que sif est solution de (E)alors la fonctiongdéfinie sur l'intervalle ]0 ;[ par f ( x ! g ( x ! 1 y' 1 2y # 8 x est solution de l'équation différentielle (E’) :. f ( x ! 1xh ( x ! b.Démontrer que sihest solution de (E’)alors la fonctionf définie parest solution de (E).

2.Résoudre (E')et en déduire toutes les solutions de (E).

3.Existe-t-il une fonctionf solution de l'équation différentielle (E)dont la représentation graphique dans un repère donné passe par le pointA(ln 2, 0) ? Si oui la préciser.

Exercice 2 (7 points) Liban – Juin 2011 % x [ 0 ; # ¥ [ f ( x ! 1 x # e Soitfpar .On note (C) la courbe représentative dela fonction définie surfdans un (O;i,j) repère orthonormal.

Partie A [ 0 ; # ¥ [ 1.Étudier les variations de la fonctionfsur . #¥ 2.Déterminer la limite defen . 3.Montrer que (C) admet une asymptote oblique dont on précisera une équation.

Partie B ( u ! n n ³ 1 On considère la suiteà termes positifs définie par :u 1 = 0 et, pour tout entier naturelnnon nul, %u n u 1 f ( u ! 1 u # e n#1n n . ln ( 1 # x ! £ x 1.Démontrer que, pour tout réelxOn pourra étudier la fonctionpositif, .gdéfinie sur [ 0 ; # ¥ [ g ( x ! 1 x % ln ( 1 # x ! par . 1 ln ( n#1 ! £ln ( n ! # n 2.En déduire que, pour tout entier natureln.non nul, 1 f ( ln ( n ! ! 1ln ( n ! # n 3.Démontrer que, pour tout entier natureln.non nul, ln ( n ! £ u n 4.Démontrer par récurrence que, pour tout entier natureln.non nul, ( u ! n n ³ 1 5.En déduire la limite de la suite. 1 11 u £ 1 # # # ... # n 2 3n % 1 Dans la suite de l’exercice, on admet que, pour tout entiernsupérieur ou égal à 2,. k 1 1 £ dx k ò k % 1 x 6. a.Démontrer que, pour tout entierk.supérieur ou égal à 2, on a : u £ 1 # ln ( n % 1 ! n b.En déduire que, pour tout entiern.supérieur ou égal à 2, on a :

Page1sur6

1

2

ln ( n ! £ u £ 1 # ln ( n % 1 ! n 7.Pour tout entiernsupérieur ou égal à 2, on a montré que. æ u ö n ç ¸ ln ( n ! è ø n 2 1 Démontrer que la suiteconverge vers 1.

Page2sur6

2

NOM :……………….

Prénom :…………….

Classe :…………..

Annexe à compléter et à rendre avec la copie

Exercice3Cet exercice ne concerne pas les élèves suivant la spécialité(5 points) Pour chaque proposition, une seule est exacte.Encercler la bonne réponse. Afin d’éliminer les stratégies de réponses au hasard, chaque réponse exacte est gratifiée de 0,5 points, tandis quechaque réponse fausse est pénalisée par le retrait de 0,25 point (aucune réponse : 0 point). 2 ] 0 ; # ¥ [ f(x) 1 % 2 ln(x) # 2 # x A-Soientf la fonction dérivable surdéfinie par :. f ¢ ( x ! 1 1.La dérivée def est définie par : 2 2 2 2x%2 2x#2 % 2x % 2 Aucune des trois propositions n’est correcte x x x 2.L’équation réduite de la tangente à la courbe représentative de la fonctionf au point d’abscisse 2 est : y 1 f ¢ ( x ! ( x % 2 ! # f ( 2 ! y 1 f ¢ ( x ! ( x % 2 ! % f ( 2 ! y 1 f ¢ ( 2 ! ( x % 2 ! # f ( 2 ! y 1 f ( 2 ! ( x % 2 ! # f ( 2 !

3.Le minimum def est égal à : 1 3

limf ( x ! 1 x|0 4. 0

f ( e ! 1 5. e

2

e # 1

0

e % 1

Aucune des trois propositions n’est correcte

#¥

Aucune des trois propositions n’est correcte

B-Ci-dessous la courbe représentative de la fonctionh dansun repèreorthonormal etAl’aire exprimée en unités d’aire du domaine grisé :

Page3sur6

3

4

Page4sur6

4

5

C h 6. a étant l’abscisse du point d’intersection deavec l’axe des abscisses,A est égale à : a4a4 a4a4 h(x)dx#h(x)dx h(x)dx%h(x)dx %h(x)dx#h(x)dx%h(x)dx%h(x)dx ò %1a ò ò %1a ò ò %1a ò ò %1a ò

4 h(x)dx ò % 1 7.est comprise entre –5 et –3–3 et –1

C- Résolutions d’équations et d’inéquations 2 ( ln ( x ! ! % ln ( x ! % 6 1 6 8.admet dansℝ: 0 solution1 ou 3 solutions

2 % x x e 1 % 1 9.admet dansℝ: 0 solution1 solution

1 1 x3 e2e 10.a pour solution dansℝ: ] 0 ; 3 [ ] %¥ ; % 3 [ È ] 0 ; # ¥ [

–1 et 1

2 solutions

2 solutions

ℝ

1 et 3

4 solutions

3 ou 4 solutions

Aucune des trois réponses

Exercice 4.( 5 points ) Pour chacune des 10questions, répondre par « vrai » ou « faux »,sans justification. Chaque réponse exacte rapporte 0,5 point, chaque réponse fausse enlève 0,25 point. Une absence de réponse ne rapporte ni n’enlève aucun point. Si le total des points de l’exercice est négatif, il est ramené à 0. u z1 u1 %312 i#12v1 %6 3#6 i v 1.On considère les nombres complexes., et V ou FVou F 5 π 7 π arg (u )1 [ 2 π ] arg (v )1 [ 2 π ] 3 6 | u | = 24et .| v | = 12et . Si n est un entier naturel multiple de 3, 4 4 z#z est un réel négatif. n alors uest un réel négatif. z1 %3#i .

( O; u; v) 2.. A, B et C sont les points d’affixesLe plan est muni du repère orthonormal direct 2 3%3i (#1 ) respectives 1, – 2 i et. V ou FVou F L’ensemble des points M d’affixe zL’ensemble des points M d’affixe z ( 2#i ) z#( 2%i ) z14( z#2 i )( z%2 i )14 vérifiant estla vérifiantest le droite ( AB ).cercle de centre B et de rayon 4. Le triangle ABC est isocèle.

z#4i z'1 z¹ %2i z%2i 3.Désormais, on supposeet on pose. On désigne par M le point d’affixe z Page5sur65

6  etM’ le point d’affixez’. Alors : V ou F 6i z'%11 z%2i .

Page6sur6

BM × AM’ = 6

Vou F

6