Fiche d'exercices de Mathématiques de niveau BTS - loi binomiale

Kdouh

Description

Avec correction. Probabiltés conditionnelles-lois discrètes
Fiche d'exercices en Mathématiques (2010) pour BTS Génie optique

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Extrait

TP MATHEMATIQUESPROBABILITES –Loi BinomialeBTS G2O2010-2011 Exercice 1 contrôle de chaudières  Pourentretenir en bon état de fonctionnement ses installations de chauffage, une société immobilière fait  contrôlerles chaudières de son parc de logements pendant l’été.  Onsait que 20 % des chaudières sont sous garantie. 0, 01  Parmiles chaudières sous garantie, la probabilité qu’une chaudière soit défectueuse est de.  Parmiles chaudières qui ne sont plus sous garantie, la probabilité qu’une chaudière soit défectueuse est 0,1  de.On appelle G l’événement : « la chaudière est sous garantie » ;  onappelle D l’événement : « la chaudière est défectueuse ». 1. Calculer la probabilité des évènements suivants :  A: « la chaudière est garantie et est défectueuse » ; B : « la chaudière est défectueuse ». 2. Dans un logement la chaudière est défectueuse.  Montrerque la probabilité qu’elle soit sous garantie est de 1/ 41 . 3. Le contrôle est gratuit si la chaudière est sous garantie.  Ilcoûte 80 euros si la chaudière n’est plus sous garantie et n’est pas défectueuse.  Ilcoûte 280 euros si la chaudière n’est plus sous garantie et est défectueuse.  OnnoteXla variable aléatoire qui représente le coût du contrôle d’une chaudière.  Déterminerla loi deprobabilité deXet son espérance mathématique. 4. Au cours de la période de contrôle, on a trouvé 5 chaudières défectueuses.  Quelleest la probabilité qu’au moins l’une d’entre elles soit sous garantie ? Exercice 2 Contrôle de qualité, Une usine d’horlogerie fabrique une série de montres. Au cours de la fabrication peuvent apparaître deux types de défauts, désignés paraetb. 2 % des montres fabriquées présentent le défautaet 10 % le défautb. Une montre est tirée au hasard dans la production. On définit les évènements suivants : A : « la montre tirée présente le défauta» ;B : « la montre tirée présente le défautb» ; C : « la montre tirée ne présente aucun des deux défauts » ; D : « la montre tirée présente un et un seul des deux défauts ».  Onsuppose que les évènements A et B sont indépendants. 1. Montrer que la probabilité de l’évènement C est égale à 0,882. 2. Calculer la probabilité de l’évènement D. 3. Au cours de la fabrication, on prélève au hasard successivement cinq montres. On considère que le nombre de montres fabriquées est assez grand pour que l’on puisse supposer que les tirages se font avec remise et sont indépendants. SoitXla variable aléatoire qui, à chaque prélèvement de cinq montres, associe le nombre de montres ne présentant aucun des deux défautsaetb. On définit l’évènement E : « quatre montres au moins n’ont aucun défaut ». Calculer la −3 probabilité de l’évènement E. On en donnera une valeur approchée à 10près. Exercice 3 Un fabricant d'écrans plasma teste une première fois ses appareils à la sortie de la chaîne de fabrication. Si le test est positif (c'est-à-dire si l'écran fonctionne correctement), l'écran est acheminé chez le client. Sinon l'écran retourne en usine où il est réparé puis testé une seconde fois. Si ce deuxième test est positif, l'écran est acheminé chez le client, sinon il est détruit. Une étude statistique a permis de montrer que le test est positif pour 70 % des écrans neufs sortis directement des chaînes de fabrication, mais que parmi les écrans réparés, seulement 65 % d'entre eux passent le second test avec succès. On note T 1 l'événement : «le premier test est positif ». On note C l'événement : « l'écranest acheminé chez le client ». 1°.a construire un arbre de probabilité illustrant les différents cas qui peuvent se présenter pour cet écran.  Faireapparaître sur chaque branche les probabilités correspondantes.  b.Donner la probabilité pour que le premier test en fin de fabrication soit positif pour cet écran .  c.Calculer la probabilité pour que cet écran doive être révisé et soit ensuite acheminé chez le client .  d.Calculer la probabilité pour que cet écran soit finalement écarté et détruit . 2°. On choisit un écran au hasard à la sortie de la chaîne de fabrication.  Déterminerles probabilités de l’événement C. 3° La fabrication d'un écran revient à 1000 € au fabricant si l'écran n'est testé qu'une fois. Cela lui coûte  50€ de plus si l'écran doit être testé une seconde fois.  Unécran est facturé a euros (a étant un réel positif) au client.  Onintroduit la variable aléatoire X qui, à chaque écran fabriqué, associe le « gain »(éventuellement  négatif)réalisé par le fabricant. a) Déterminer la loi de probabilité de X en fonction dea. b) Exprimer l'espérance de X en fonction dea. c) A partir de quelle valeur dea, l'entreprise peut-elle espérer réaliser des bénéfices ?

Exercice 4 −2  Tousles résultats seront arrondis à10près.  Uneentreprise produit en grande quantité des stylos. La probabilité qu’un stylo présente un défaut  estégale à 0,1. 1. On prélève dans cette production, successivement et avec remise huit stylos. On noteXla variable aléatoire qui  comptele nombre de stylos présentant un défaut parmi les huit stylos prélevés. a. On admet queXsuit une loi binomiale. Donner les paramètres de cette loi. b. Calculer la probabilité des évènements suivants :  A: « il n’y a aucun stylo avec un défaut » ;  B: « il y a au moins un stylo avec un défaut » ;  C: « il y a exactement deux stylos avec un défaut ». 2. En vue d’améliorer la qualité du produit vendu, on décide de mettre en place un contrôle qui accepte tous les stylos  sansdéfaut et 20 % des stylos avec défaut.  Onprend au hasard un stylo dans la production. On note D l’évènement « le stylo présente un défaut »,  etE l’évènement « le stylo est accepté ». a. Construire un arbre traduisant les données de l’énoncé. b. Calculer la probabilité qu’un stylo soit accepté au contrôle. c. Justifier que la probabilité qu’un stylo ait un défaut sachant qu’il a été accepté au contrôle est égale à 0,022 −3  à10 près. 3. Après le contrôle, on prélève, successivement et avec remise, huit stylos parmi les stylos acceptés.  Calculerla probabilité qu’il n’y ait aucun stylo avec un défaut dans ce prélèvement de huit stylos.  Comparerce résultat avec la probabilité de l’évènement A calculée à la question n°1.  Quelcommentaire peut-on faire ? Exercice 5  Uneentreprise en matérielinformatique fabrique des clés USB . 4% des clés USB fabriquées sont  défectueuses.à l’issue de cette fabrication les clés USB sont contrôlées et triées en trois lots :  -clésUSB marquées, celles-ci porte la marque de l’entreprise ;  -clésUSB démarques ;  -clés USB à détruire. 1. L’unité de contrôle rejette 3 % des bonnes clés USB et 95 % des clés USB défectueuses.  Quellessont les probabilités :  a. p 1 qu’une clés USB soit défectueuse et acceptée? p qu’u  b. 2 ne clés USB soit bonne et refusée ?  c. p 3 qu’il y ait une erreur au contrôle ?  b. Montrer que la pr p qu’une clé soit acce obabilité 4 ptée est environ 0,933. 2. Le contrôle s’effectue par cinq contrôles successifs. Une clé reçoit la marque de l’entreprise si elle subit  avecsuccès cinq contrôles successifs, détruite si elle est refusée au moins deux fois et démarquées sinon .  Quellessont les probabilités : p  a. 5 qu’une clé USB soit démarquée ?  b. p 6 reçoivent la marque de l’entreprise ? p  c. 7 qu’une clé USB soit détruite ? Exercice 6 Une entreprise est spécialisée dans la fabrication en série des articles. Un contrôle de qualité a montré que chaque article produit par l’entreprise pouvait présenter deux types de défaut : un défaut de soudure avec une probabilité égale à 0,03 et un défaut sur composant électronique avec une probabilité égale à 0,02. Le contrôle a montré aussi que les deux défauts étaient indépendants. Un article est dit défectueux s’il présente au moins l’un des deux défauts. 1. Montrer que la probabilité qu’un article soit défectueux est égale à 0,0494 . 2. Une grande surface reçoit 800 articles de cette entreprise. Soit X la variable aléatoire qui à cet ensemble  de800 articles associe le nombre d’article défectueux .  Définirla loi de probabilité de X. Calculer son espérance mathématique .Quel est le sens de ce nombre? 3 .a. Un petit commerçant passe une commande de 25 articles à cette entreprise.  Calculerla probabilité qu’il y ait plus de 2 articles défectueux dans sa commande.  b.Il veut que sur sa commande la probabilité d’avoir au moins un article défectueux reste inférieure à 50 % .  Déterminerla valeur maximale du nombre N d’articles qu’il peut commander.

Exercice 1 Correction |Faite un arbre pondéré: en général, les calculs avec des probabilités conditionnelles s’y prêtent p ( G ! 10, 2 1. G : « être sous garantie » : p(G) = 20% , donc  D 0,01 G 0,2 D 0,99 D 0,1 0,8 G D 0,9 ( ! p ( B ! 101  B: « être défectueux » p G B11% soit G 0, et pB110% .soitpB10,1 d’où l’arbre suivant : ( !( ! G G  A: « garantie et défectueux » donc A1GÇB ( ! 1 ( GÇB ! ( G ! ( B ! 0, 00, 21 pAp1p´p G 1 ´002 ;1 0,  Onutilise alors la formule des probabilités totales puisque G et G forment une partition de l’univers p ( B ! 1p ( GÇB ! #p ( GÇB ! 1p ( G ! ´p ( B ! #p ( G ! ´p ( B ! 10, 002#0, 8´0,110, 082 . G G p ( BÇG ! 12 2 0, 00 p ( G ! 1 11 1 2. On cherche B . p ( B ! 82 410, 082 3.Xpeut prendre les valeurs G|0 €, GÇB |80 € ou  GÇB |280 € ;Xla v.a. qui désigne le coût du ( 1 ! 1 ( ! 1  contrôled’une chaudière. X prend les valeurs 0 ; 80 et 280. p X0pG 0,2 ; p X1801p ( GÇB ! 1p ( G ! p ( B ! 10, 8´ ( 1%0,1 ! 10, 72 G ; à l’aide d’un arbre ( ! 12801 ( GÇB ! 1 ( G ( B ! 10,8´0,1 p Xp p ! p G 1 0,08 . à l’aide d’un arbre ( ! ( ! 1 ´# ´# ´1  EX72 800 0,0, 2 . Soit E(X) = 80 : en moyenne, le coût de contrôles d’une 280 800, 08  chaudièreest de 80€ 4. Soit Y le nombre de chaudières sous garantie parmi les chaudières défectueuses.Y la va qui compte le  nombrede chaudières sous garantie : on peut supposer que le fait qu’une chaudière défectueuse soit sous  garantieest indépendant du fait qu’une autre chaudière défectueuse soit sous garantie.: Y suit une loi 1 k5%k k ( G !  binomialede paramètres n15 , p1p D 1 . On a donc p(Y1k)1C ( 1/ 41 ! ´ ( 40 / 41 ! 5 41  Onveut déterminer p(Y³1) : passons par l’évènement contraire Y = 0.La probabilité cherchée est 0 55 0 p ( Y³1 ! 11%p ( Y10 ! 11%C ( 1/ 41 ! ´ ( 40 / 41 ! 11 ( %40 / 41 ! »0,116 .Soitp ( Y³1 ! 1 11,6% 5 Exercice 2Correction p A)1p(A) p A)1p(A) 1. CommeAetB ( sont indépendants on a B et ( B  A 0,02 B 0,1 A 0,98  A 0,02 0,9 B 0,98 A p(AÇB)1p(A)´p(B)10, 02´0,1 ; or È 1 Ç et ÇB1AÈB . A B A BA  onen déduit donc que p(C)1p(AÇB)1p(AÈB)11%p(AÈB)11% [ p(A)#p(B)%p(AÇB) ]  . p(C)11%0, 02%0,1#(0, 02´0,1)10,882 2. D : « la montre tirée présente un et un seul des deux défauts ».  A: « la montre tirée présente le défauta» ;B : « la montre tirée présente le défautb» ;  ona donc: D1AÈB\ (AÇB)1 ( AÇB ! È ( AÇB ! .comme les événements ( AÇB ! et ( AÇB ! sont ( ! p(D)1p AÇB#p AÇB1p A´p ( B ! #p ( A ! ´p ( B !  incompatibles, on a donc ( !( ! B ( ! B p(D)10, 98´0,1#0, 02´0, 910, 098#0, 01810,116

 Autre méthodeIl y a 0,02 − 0,002 = 0,018 chances de tomber sur une montre n’ayant que le défauta;  demême il y a0,1 − 0,002 = 0,098 chances de tomber sur une montre n’ayant que le défautb;  ona donc p(D)10, 018#0, 09810,116 . 3. C : « la montre tirée ne présente aucun des deux défauts » .on considère l’expérience aléatoire X qui  consisteà choisir une montre et regarder si elle vérifie l’événement C. On répète n 1 5 fois cette  expériencede manière indépendante et on note X la variable aléatoire égale au nombre des montres  vérifiantl’événement C. X suit donc une loi binomiale B(n15 ;p10,882) ;  ona : E1X³4 ; comme les événements X14 etX15 sont incompatibles, on a { }{ }{ } 4 41 55 0 ( )( 4)( 4) p E1p X³ 1p X1 #p(X15)1C 5 ´0,882´0,118#C 5 ´0, 882´0,118»0,891 . Exercice 3 TTTT 1. Soient 1 et 2 les événements : 1 : «le premier test est positif ». 2 : «le second test est positif.  Onchoisit un écran au hasard à la sortie de la chaîne de fabrication. ¾ 0,35 T ¾ 2 T 1 0,3 0,65 T 2 0,7 T 1  Commele test est positif pour 70% des écrans neufs sortis directement ( ! 0,  deschaînes de fabrication, signifie p T 1 1 la probabilité 7 .donc T p T1 %p ( T ! 11%0, 710, 3  de T ,événement contraire de 1 est ( 1 ! 1 1 1 b. L’écran est écarté et détruit si T et T sont réalisés .la probabilité 1 2 p TÇT1p T´p T10,3´0,3510,105  quel’écran soit écarté et détruit est ( 1 2 ! ( 1 ! T ( 2 ! 1 c. l’écran est révisé si l’événement T est réalisé et il est acheminé chez 1 ( ! 650,3 0,  leclient si l’événementest réalisé .Il s’agit de calcule. T r p ( T 1 ÇT 2 ! 1p ( T 1 ! ´p T 2 1 ´10,195 2 T 1 d. pourque l’écran soit acheminé, soit le 1er test est positif, soit le 2ème l’est , On note C l'événement : C ( ! È Ç 1 T TÇT 1  «l'écran estacheminé chez le client ». 1T 1 ( T 2 T ! les événements, or 1 et ( 2 ! sont p(C)1p(T)#p(TÇT 1 )10, 7#p(T)´p(T)10, 7#0,3´0, 6510,895  incompatiblesdonc : 1 2 T 2 2 . 1 2. (a) La variable aléatoireXqui, à chaque écran fabriqué, associe le « gain » (éventuellement  négatif)réalisé par le fabricant prend les valeurs en fonction dea: e l’écran réussit le 1er test de p ( T ! 10, 7 .  •a −probabilité1 000 lorsqu 1  •a −1 050 lorsque l’écran ne réussit pas le 1er test, mais réussit le 2è, ( l’écran est révisé , le second p ( T ! 10, 3´0, 6510,195 est positif )de probabilité 2 .  test T 1  •−1 050 lorsque l’écran ne réussit ni le 1er test, ni le 2è, T 1 ÇTÇT T T 1 21 2 X a – 1000a – 1050– 1050 p 0,70,195 0,105  (l’écrana été révisé et détruit )de probabilité  . p ( T 2 ! 10,3´0,3510,105 T 1  (b)L’espérance deXen fonction deaest : E(X)10, 7(a%1000)#0,195´(a%1050)#0,105´( 1%050)10,895a1%015 E(X)  représentele bénéfice moyen réalisé sur la vente d’un écran lorsque l’entreprise en vend un grand E(X)20  nombre.l’entreprise fera un bénéfice positif , en vendant un grand nombre d’écrans , si 1015 E(X)20Û0,895a%101520Ûa2 »1134, 08  ,en arrondissantau centimes d’euro , l’entreprise 0,895  Feraun bénéfice positif en vendant un grand nombre d’écrans, si le prix de vente est supérieur ou égal  à1134,10 € . Exercice 4

1. a. On répète 8 fois la même épreuve avec deux issues , soit le stylo présente un défaut dont la probabilité  est0,1 soit il ne l’est pas. La variable X suit une loi binomiale de paramètresn= 8 etp= 0,1. 0 08 −2  b. p(A)1p(X10)1C 8 ´(0,1)´(1%0,1)»0, 43 à 10près. 0,2E 0,1 D E 0,8 1 0,9 E D 0 E 0 08 −2 ) ( p(B1p X³1)11%p(X10)11%C 8 ´(0,1)´(1%0,1)»0,57 , à 10près. 2 26 −2 ( 2)(0,1) (10,1) 0, p(C)1p X1 1C 8 % »´ ´148»0,15 à 10 près. 1 2. a. On a l’arbre de probabilités suivant : p(D) 0,1 et p(D)11%0,110, 9 1  Lecontrôle accepte tous les stylo sans défaut don p(E et ) 1 p(E)10 c D D  Lecontrôle accepte 20 % des stylo avec défaut donc p D (E)10, 20 . p(E)10,80 D et mentune partition de l’ensemble des stylos .En utilisant les branches conduisan b. D D àfor tEet en  utilisantla formule des probabilités totales : p(E)1p(D)´p(E)#p(D)´p(E)1(0,1)´0, 2#0,8´110,92 D D p(EÇD)1p(D)´p(E)10,1´0, 210, 02 D  c.la probabilité qu’un stylo ait un défaut sachant qu’il a été accepté au contrôle est égale à : p(EÇD02 1) 0, −3 p(D)1 11 »0, 022 E près., à 10 p(E) 0,9246 3. Onnote Y la variable aléatoire qui compte le nombre de stylos présentant un défaut parmi le huit  stylosprélevés. On a à nouveau une épreuve binomiale de paramètren= 8 etp= 0,022 .  onrépète 8 fois la même épreuve avec deux issues , soit le stylo présente un défaut dont la probabilité ( )10, 022  est p E D .La probabilité qu’il n’y ait aucun stylo avec un défaut dans ce prélèvement de huit 0 08 −2 0)  stylosest : p1p(Y1 1C 8 ´(0, 022)´0, 978»0,84 à 10 près.Donc p(Y10)»2´p(A)  Conclusion : Le contrôle est efficace puisquela probabilité qu’il n’y ait aucun stylo avec un défaut  aété doublée. Exercice 5 Dans un exercice de probabilité conditionnelles , il faut toujours commencer par traduire les hypothèses de l’énoncé . On noteDla clé USBl’événement «la clé USB est défectueuse » et doncl’événement « D est bonne » et donc R : « l’unité de contrôle ne rejette: « l’unité de contrôle rejette la clé USB » et donc R 1 pas la clé USB ». 4% des clés USB fabriquées sont défectueuses » soit p(D)1 déduit que 0, 04 ,on4 /100 p(R)10, 03 p(D)11%0, 0410, 96 . De plus «l’unité de contrôle rejette 3 % des bonnes clés USB » D . D’où p(R)11%0, 031 l’unité de contrôle rejette 95 % des clés USB défectueuses » : 0, 97 . On a aussi « D p R195 5 D 0,( ) . D’où 1%p D (R)1 . 0, 0 R 0,05 D 0,04 R 0,95 R 0,03 0,96 D 0,97 R On peut aussi résumer ces données dans un arbre 1. a. p1p(DÇR)1p(D)´p(R)10, 04´0, 0510, 0002 1D  )( )( )0 p 1 1p(DÇR1p D´p R1, 96´0, 0310, 0288 . D  L’événement: «il y a erreur de contrôle » est (DÇR)È(DÇR)  Lesévénements etsont incompatibles donc DÇR DÇR é ù 0, 0,0288 0, p1p(DÇR)È(DÇR)1p(DÇR)#p(DÇR) et on a :p 3 10020# 1310 . ë û 3

 b.D’après la loi des probabilités totales : R1(DÇR)È(DÇR ,) ,les événementsD etforment R D  unepartition disjointe d’ l’univers .donc ( )( ) p 4 1p(R)1p D´p R#p(D)´p(R)10, 04´0, 05#0, 96´0, 9710, 002#0, 93121 . 0, 9332 D D 2. On est en présence d’une expérience aléatoire de Bernoulli : tirage à deux isse répétéde ues R t R  Façonindépendante 5 fois .on a : p(R)11%p(R)11%0, 93310, 67  D’aprèsla loi binomiale : si on répète de façon indépendante n fois une expérience à deux issues  possibles, alors la probabilité qfois ( et do n%k fois )est : ue R se réalise knc R k kn%k X k p(1)1C n ´p´(1%p Ainsi pour ) . p 5 , on a n15 etk11 ; donc 1 15%1 450 0%50 0 p1C´p´(1%p)15´0, 067´0, 933»C (10, 249 5 5 . p 6 1 5 ´p´ %p)10, 067´0, 933»0, 708 .  Uneclé USB étant soit détruite , soit démarquée ou soit marquée, alors p 5 #p#p11 7 7 .  D’où p11% ( p#p ! 11% ( 0, 249#0, 708 ! 11%0, 95710, 043 . 7 56 Exercice 6 1. on note S l’événement «l’article possède un défaut de soudure » E l’événement : «l’article possède  undéfaut sur un composant électronique » et D l’événement : «l’article possède un défaut ».  lesévénements S et E sont indépendants donc p(SÇE)1p(S)´p(E)10, 03´0, 0210, 0006  d’où p(D)1p(SÈE)1p(S)#p(E)%p(SÇE)10, 03#0, 02%0, 000610, 0494 . 2. La réception des 800 articles peut être modélisée comme une expérience aléatoire à deux issues  possibles:« avoir un défaut » ou « ne pas avoir un défaut » qu’on répète 800 fois avec remise d’une  façonindépendante .  Donc X , qui compte le nombre de fois où on aboutit au résultat « avoir un défaut »,suit une loi binomiale  Deparamètres 800 et p10, 0494 . k k800%k £ £ p(X1k)1C´0, 0494´0, 09506  Donc,pour tout entier k tel que 0k800 : 800 1 ´1 ´1 E(X)n p800 0,52 . Le nombre moyen d’articles défectueux dans la livraison des0494 39,  800articles est en théorie 39,52. 3. a. Soit Y la variable aléatoire correspondant au nombre d’articles défectueux sur le 25 articles livrés  DoncY suit une loi binomiale de paramètres 25 et p10, 0494  Ondemande de calculer : p(Y22)11%p(Y£2)11%[p(Y10)#p(Y11)#p(Y12)] . k k25%k p(Y1k)1C´0, 0494´0,88 25 0 025 25 p(Y10)1C´0, 0494´0, 950610, 9506»0, 2818  Or 25 ; 1 125%1 24 p(Y11)1C 25 ´0, 0494´0, 9506125´0, 0494´0, 9506»0, 3661 et 2 225%2 223 p(Y12)1C´0, 0494´0,881300´0, 0494´0, 9506»0, 2283 25 .  Donc p(Y22)11%p(Y£2)11%[02818#0, 3661#0, 2883]11%0, 872410,1276  b.Soit Z la variable aléatoire correspondantau nombre d’articles défectueux sur le n articles livrés. 1  Zsuit une loi binomiale de paramètres n et p . On cherche n tel que : 0, 0494 p(Z³1)£11/ 2 , soit%p(Z£1)£1/ 2d’où 1%p(Z10)£1/ 2 , soitp(Z10)³1/ 2 . 0 0n n ´ ´³  C n 0, 04940, 095061/ 2 Û0, 09506³ sont strictement positifs 1/ 2 , les deux membres n %ln 2 ln 0, 09506³ln(1/ 2)Ûn£ »13, 68  Donc. Il peut commander au maximum 13 articles ln(0, 9506)  Pourque la probabilité d’avoir au moins un article défectueux reste inférieure à 50% .