Fiche d exercices de Mathématiques de niveau Terminale
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Fiche d'exercices de Mathématiques de niveau Terminale

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Avec correction. Exercices sur les suites réelles
Fiche d'exercices en Mathématiques (2010) pour Terminale S

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Langue Français

Extrait

Séried'exercicessurles suitesréelles4èmeExercice n°1 2 **α+(n1) r : Soitαet la suite u définie surpaun= α 1) Montrer que u est une suite arithmétique dont on précisera la raison  et le premier terme.
* 2) Pour toutS un pose , onn=1+u2+...+un.
CalculerSen fonction deαet n. n S * n v définie sur par : 3) Soit la suitevn=n Montrer que la suit v est convergente et déterminer sa limite. Exercice n°2* Soient les suites u et v définies surpar : n 1 1 1 1 u= + +...+ =. n 1 2 2 3 n(n 1) k(k 1) × × +k=1+
n 1 1 1 1 v=1+ + +...+ = . 2 22 n 3 n k k=1 Montrer que les suites u et v sont convergentes et déterminer la limite de la suite u (On pourra
1 1 1 remarquer que= −) k(k+k1) k +1 Exercice n°3 n *1 e définie suru Soit u la suitpar :n=. 2 =n+k k 1 *n n iern, Montrer que pour tout entun. 2 2 n+n n+1
En déduire que la suite u est convergente et déterminer sa limite.
Exercice n°4 1 u11 *2 Soit la suite (un) définie surpar : n#1* u u (n) n#11nÎ2n 1 1°) Pour tout entier naturel non nul n , on posev1u n n n
v a)Montrer quen
est une suite géométrique
Dhaouadi Nejibhttp://www.sigmaths.co.cc
Page : 1
Séried'exercicessurles suitesréelles4èmen b)Exprimer vnet déduire que pour touten fonction de n non a :u1n n 2 *22 12 2°) a) En remarquant que pournÎ,(n#1!1n1# #; montrer à l’aide 2n n
2n d’un raisonnement par récurrence que pour tout entiern³4on an£2
b) Déduire alors que la suite (u ) est convergente et préciser sa limite. n
Exercice n°5
Soient a et b deux réels tels quea<bet les deux suites u et v définies par : u+v u+3v * n n n n u=a ; v=b etn; u=et v=. 1 1 n+1 n+1 4
* vw u . 1) Considérons la suite w définie surpar :n=nn
Montrer que(w )est une suite géométrique et exprimerwen fonction de a, b et n. n n
2) Montrer que les suites u et v sont adjacentes.
1 3) Calculer, pour tout entier naturel non nul,u v n+n. Conclure. 2 Exercice n°6 On considère les deux suites u et v définies par :
u 2v u 3 * n+n n+vn u0=1 ; v0= −3 etn; un 1=et vn 1=. + + 3 4 1) Trouver deux réelsαetβtels que les suites S et T définies pour toutnpar:
S u vetvT u n=n+αn n=n+βnsoient géométriques.
2) ExprimerS et Ten fonction de n et déduireu et ven fonction de n. n n n n
3) Déduire alors que les suites(u ) )et (v sont convergentes et donner leurs limites. n n
Exercice n°7 Soit la suite( x )définie par :=0etn, x= n 0 n+1
0 x 2 1) a) Montrer que pour tout entier naturel n;n
x+2n
b) En déduire que)( x est convergente et déterminer sa limite. n
2) On pose
2 n= −xn.
a) Montrer quen; yn+1
n . 2
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Séried'exercicessurles suitesréelles4èmeb) Retrouver alors le résultat de 1) b) πosen=z2 cos( n)avec0,. 3) On p n 2a) Montrer que( z )est une suite géométrique dont on déterminera la raison et le premier n
terme.
b) Exprimerzet puis en fonction de n. n n Retrouver alors le résultat de 1) b)Exercice n°8 Soit (u ) la suite réelle à termes non nuls définie par : n 12 u11 ;u1etpourtoutentiernatureln, u12u u0 1n#1n#2n 2 u n1 1°) Pour e1toutn, on posvn u n Montrer que (v ) est une suite géométrique dont on précisera la raison n n#1 12°) En déduire que pour tout entier naturel n on a :u1u   n#1n 2n( n#1) 2 13°) Montrer alors que pour tout entier naturel n on a :u1  n 2   4°) En déduire que la suite (u ) est convergente et déterminer sa limite n
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Séried'exercicessurles suitesréelles4èmeCorrection Exercice n°1 2 2 α+nα+(n1) 11 1) un 1un== − donc u est une suite arithmétique de raison + α α αα et de premier terme u1=α.
n n 2)S u u u (somm n=k=(1+n)e de termes consécutifs d'une suite arithmétique)2 k=1 2   n (n 1) n n α+ −22 2 . =α+ =(α+α+n1)=(2α+n1) 2α2α2α
2 2 1 1 *Sn12α3)nPour tout ,v 2 n 1 n= =α+ − = +. 2( ) n 2nα2αn 2α 2 α1 La suiten֏est convergente et elle converge vers 0 nα
1 Donc la suite v est converg ente etlim vn=. 2α n→+∞
Exercice n°2 Etude de la suite(u )n
* Soitn. n n n n n n+1 11 11 1 1 1 u= = − = − = k(k 1)1k k kk 1kk n k=1+k=1 + k=1 k=1+k=1 k=2
n n+1 1 1 1 1 1 Car...= + + + = ∑ ∑ k 1 k=1+n2 3 +1k=2k n n 11 11 Donc un=1+ =+ − 1. k=2kk=2k n+1n+1
Si vous détester le symbole
alors vous pouvez le faire autrement:
n n 11 1u= = ∑ ∑n + k+1k=1k(k 1)k=1k         1 1 1 1 1 1 1 1 =1− + − + − +...+ − =12 233 4n n+1n+1      
1 doncm u 1. *lim=0lin= n+1 Dhaouadi Nejibhttp://www.sigmaths.co.cc
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Séried'exercicessurles suitesréelles4èmeEtude de la suite(v )n
1 1 Pour tout entierk2, on a :. 2 k k(k1)
Donc1+
1 1 1 1 ou encorev+...+ ≤1+ +...+n1+un1 2 2 n 2×1 n(n1)
1 1 D'où pour t1 2 2v 1 (ce qui est vrai pour n=1 aussi) out entiern2,n≤ + − = − n n
1 vv= >0donc la suite(v )est Pour tout entiern1,n+2 n1 n croissante. n+1 ( )
Conclusion: La suite(v )est croissante et majorée ( par 2) donc elle est convergente. n
Exercice n°3 On a :k..., n1, 2,
Donc
;
2 n+1
1 2 n+n
2 n+k
1 2 n+k
2 n+n.
1 . 2 n+1
En faisant la somme membre à membre de ces n encadrements on obtient :
n = 2 n+n n
Donclim n→+∞
n 1 1+ n
=
n un 2 n+n
1  et 1 1+ n
n =lim 2 n→+∞ n+n
1 1 1+ n
n . 2 n+1
n = 2 n+1 n
=1etlim n→+∞
n 1 1+ n
=
n =lim 2 n→+∞ n+1
1 . 1 1+ 2 n
1 1 1+ 2 n
n n * Pour tout n,un 2 2 n+n n+1 n n lim=lim=1 n→+∞2 n→+∞2 n+n n+1 Donc, d'après le théorème des gendarmes, la suite(u )est convergente n
etlim un=1n→+∞
Exercice n°4
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=1.
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Séried'exercicessurles suitesréelles4ème1 1n1 11 1 1) a)v1u1u1. u1vdoncvest une suite n#1n#1n nn n#1n#1 2n2n2 1 géométrique de raison . 2
n%1n%1n 1 1 1 1b)v1v .1.1tout entier naturel n non nul, pour n1       2 2 2 2
n *1n Donc pour toutnÎ,un1nv1n1.  n n 22
2n 2) a) On note P(n) la propriété «n£2»
2 4 P(4) est vraie car4116£2116. Hérédité:Soitntel quen³4. Supposons que P(n) est vraie et montrons que P(n+1) est
aussi vraie.
2 2 On a(n#1!1n#2n#11
1 1 2 £d’où 2 n16n
2n1#
2 # n
12 2 1 et puisquen³4alors£ 1et 2nn4 2
2 1n2 1 1 12 n1 £ # 01et alorsn1# # £2.2(n#1!£2. 22n2 16n n
2n b) Pour tout entier naturel n supérieur à 4 on a :n£2donc0
n1 £n 2n
1 00u£pourn³4 n n st convergente etlim u10la suite(un!en 1 lim10 n
Exercice n°5 1 1 1 1)w=uv=(uv)=w(w)etest une suite géométrique de raison n+1 n+1 n+n1 n n n 4 4 4 termeu v. de premierw1=11=ab
n1 *1Doncbn ; w a . ∀ ∈n=() 4
* w u v 0 be n;n<cara<tlim w 2) Remarquons que∈ = n=0n n n→+∞
*un+vnvnunwn Pour toutn, uu= −u= = − >0n+n1 n 2 2
Donc la suite(u )est croissante. n
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Séried'exercicessurles suitesréelles4èmeu+3v uv w * n n n n n Pour toutn, vv= −v= = <0n+n1 n 4 4 4
Donc la suite(v )est décroissante. n
Conclusion:
* n , u v ∀ ∈nn (u ) croissante et (v ) décroissante Les suites u et v sont adjacentesn nlim (unvn)=0 n→+∞ 1 un+vnun+3vn2un+4v 1 n 3)u+v u v n+1 n+1= == + n+n. Donc la suite 4 4 4 2
1*11 1 n֏u+vest constante etn; u+v=u+v=a+b. n n n n 1 1 2 2 2 En plusles suites u et v sont adjacentesdonc elles convergent vers une même limite l.
1 1 3 1 Par passage à la limite da ns l'égalitéun+vn=a+b, on obtientl=a+bce qui 2 2
11 2 donnel=a+b=a+b cqfd. 323 3
Exercice n°6
1) Soit
4+3x 8+5x3x ,u+xv=(u+xv)+n+1 n+n1 n 12 12
2 8+5x3x Pour que la suiteu+xvsoit géométrique, il suffit de poser=0( ) n 12 8 Ce qui est équivaut à= −1oux=. 3 Ainsi, on obtient deux suites géométriques :
43 1 S : n urai on ֏nvnest une suite géométrique de s= 12 12
et de premier termeS=uv=4. 0 0 0 8 4+3× 812 3 T : n֏u+vest une suite géométrique de rais n non= =1312 12
et de premier termeT 0
= −7 (suite constante)
n 1S 4 b) Pour tout entier naturel n,n= etT= −7. n 12
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