Fiche de Méthodes de Mathématiques de niveau Terminale

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Méthodes en pratiques
Fiche de Méthodes en Mathématiques (2012) pour Terminale S

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Extrait

Méthodes en pratique TS

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Méthodes en analyse

Comment trouver le signe d’une dérivée ? Factoriser et tableau de signes Repérer exponentielles, somme de carrés Fonction auxiliaire Dérivée seconde… Etude du signe sur les différents intervalles Utiliser le sens de variation de fonctions connues. Mettree x en facteur le cas échéant

Comment calculer une dérivée ? Utiliser les dérivées des fonctions usuelles Utiliser les formules de dérivation Pièges des dérivées attention aux produits(x)xe x , ( x)xlnx , (x)xsinx

Comment mettre en évidence une droite asymptote oblique en Mettre (x) sous la forme (x)axbg(x) avec limg(x)0 x Montrer que limf(x)(axb)0 x  a b f x imf(x)ax x li  m  ( ) x l   

y

3

2

1

es exponentielles :

y

3 2 1

-3 -2 -1 0 1 x -2 -1 0 1 2 x -1 -1 e x e x x lim e   limx n e x 0 x n x Dérivée de(x)e x :'(x)e x

e u 'u'e u

L’essentiel sur les fonctions puissances  a b e blna Dérivée : u' u'u 1

2

-1

y 3 2 1

0 -1 -2 -3

1

2

3

4 5

6 x

hmes

lim lnx lim lnx il ln m x 0 x0  xx La dérivée de (x)lnx est f'(x) 1

'  lnu  ' u u

Comment trouver le signe d’un nombre ? Factoriser par des facteurs de signes connus Tableau de signes Signe du trinôme Repérer les sommes de nombres positifs Repérer les exponentielles du signe sur les différents intervallesEtude Utiliser le sens de variation de fonctions connues.

Comment comparer deux nombres ? Calculer leur différence et la comparer à 1 (factorisations) Si positifs : calculer leur quotients et le comparer à 1 Nombre intermédiaire « moyens détournés » (carrés et th de rangement ,….) Utiliser la géométrie (associer des longueurs ou des surfaces à ces nombres) Sens de variation de la fonction différence Utiliser le sens de variation d’une fonction

Comment contrôler mes résultats Egalité : Remplacer 1 dans l’énoncé et dans le résultat xpar Egalité de fonctions : table ou graphique des fonctions Signe d’un nombre dépendant d’une variable : fonction sur calculatrice Refaire le calcul sans regarder Faire un calcul analogue dont le résultat est connu Repérer les invraisemblances

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Les différents statuts de l’égalité signe = introduit une définition : relation vraie parce que tu l’as décidé ainsi Deux écritures différentes du même objet : relation vraie Une identité : relation vraie pour toute valeurs des variables Une équation : Relation potentiellement vraie : elle est vraie pour les solutions de l’équation, fausse pour les autres valeurs.

Comment trouver un nombre dérivé en a Si dérivée connue calculer '(a) a h  f'(a)li  m 0 ( h )f(a) h

Comment trouver l’équation d’une tangente  yf'(a)(xa)f(a)

Comment montrer qu’une suite est croissante Compareru n1 etu n Raisonnement par récurrence Utiliser le sens de variation de la fonction de variable réelle associée (suites fonctionnelles seulement)

Comment montrer qu’une suite est convergente Trouver sa limite et utilisation de la définition Suite croissante majorée Th des gendarmes Suites adjacentes Suite majorée par une suite convergente

Le raisonnement par récurrence Vérifier que la propriété (n) est vraie pour l’indice initial Montrer que la propriété (n)  rangest passe du rang naun1 (Si (n) , alors P(n1) est vraie) Conclure que (n) est vraie en explicitant la récurrence : la propriété est vraie au rang initial, elle se transmet d’un rang au suivant, elle est donc vraiepourtoutn.

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L’essentiel sur les suites géométriques     u u 1 n  .. u . n . 1 q q: quotient de deux termes consécutifs   q n u n u 1 n1 u n u 0 q Somme   Sl'.à...io.tnerd làe'. . ..  Snvers.. Convergence vers 0 si q1

L’essentiel sur les suites arithmétiques   u 1 .... r: différences de deux termes consécutifs   u n u n1 r u n u 0 nr u n u 1 (n1)r  Somme    S.... q.S... Croissante sir0

Comment trouver la limite d’une fonction en? Mettre le terme dominant en facteur Utiliser les limites des fonctions de référen Utiliser le critère de domination Utiliser les limites du cours Changer de variable Limite de fonctions composées

ce et les opérations

Comment trouver la limite d’une fonction en a? Remplacer par a Mettre  a  en facteur Utiliser les limites des fonctions de référence et les opérations Utiliser les limites du cours Changer de variable Utiliser la définition du nombre dérivé Limite de fonctions composées Si racines : quantités conjuguées

Comment situer la courbe représentative de fpar rapport à la courbe représentative de g? Graphique Etudier le signe de (x)g(x)

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Comment montrer qu’une courbe présente un centre de symétrie : (a,b)  h:Pour tout (ah)f(ah)2b

Comment montrer qu’une courbe présente un axe de symétrie  : hPour tout (ah)f(ah)

Comment trouver un encadrement

Partir d’un encadrement évident Utiliser les théorèmes de rangement Utiliser le sens de variation des fonctions Utiliser une intégrale Utiliser l’inégalité de la moyenne

a

L’essentiel sur le calcul intégral   a b (x).dxF(b)F(a)   b a f(x).dxAire xa,xb,C f  positivesi f t dt Pr   a x ( ).  fquiimitive de a s’annule en   a c (x).dx  a b f(x).dx  c b f(x).dx (Chasles)   a b  g  (x).dx  a b f(x).dx  a b g(x).dx   a b  kf  (x).dxk  a b f(x).dx (linéarité) Si f(x)0 sur  a,b  alors  a b f(x).dx0 sur  a,b  b b Si (x)g(x) sur  a,b  alors  (x).dx  g(x).dx sur  a,b  a a b Si mf(x)M etabalors m(ba)  f(x).dxM(ba) a b Si (x)M etabalors  (x).dxM(ba) (inégalités de la a moyenne)



Intégration par parties



b b  udv  uv  b a   vdu a a

(intégration par parties)

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Comment calculer une intégrale

Recherche de primitives Utiliser la linéarité Utiliser la formule d’intégration par parties éléments faciles à intégrer (déterminer a etDécompose la fonction en b….)

Comment calculer l’aire d’un domaine délimité par deux courbes , les droites a etb

Siabet

g sur  a,b 

b A   g(x)f(x)  dx a

Comment résoudre l’équation différentielle y'ayf(x) a) Déterminer une solution particulière g b) Montrer que g est solution de l’équation « sans second membre » y'ay0 c)(x)g(x)Ce ax d) Eventuellement, déterminer Cà l’aide des conditions particulières ( ex image de 0….)

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Questions sur les courbes 1) Montrer que la courbe C admet : (a,b) comme centre de symétrie Pour tout h: (ah)f(ah)2b   'x a  ne la foncti Effectuer le changement de repère   y'yb . Dans ce repèr o est impaire

2) Montrer que la courbe C admet la droite a comme axe de symétrie  : hPour tout (ah)f(ah) Effectuer le changement de repère   'xa D s ce repère la fonct . an ion  y'y est paire.

3) Déterminer les coordonnées du point d’intersection Ide la courbe C l’axe des x solution def(x)0

Résoudre f(x)0 I 0

4) Déterminer les coordonnées du point d’intersection Ide la courbe l’axedesy. Calculer 0 ( 0) I (0)

C

5) Déterminer les coordonnées du point d’intersection Ide la courbe C la courbe C .

Résoudre (x)g(x)

nd I solutio e (x)g(x) f() oug()

6) Etudier la position de la courbe C par rapport à la courbe les positions relatives de C et C Etudier le signe de (x)g(x)

7) ….La courbe C passe par A: (a,b) Vérifier (a)b

8) Montrer que la courbe C  f'(a)0

avec

avec

avec

C ou étudier

présente au point d’abscisse aun extrémum local

8

9) Pour Quelle valeurs de x, la courbe C présente t-elle un maximum local ? Tableau de variations et résolution de f'(x)0 10) Montrer que la courbe C admet enA: (x 0 ,f(x 0 ))une tangente parallèle à la droite d’équation yaxb '(x 0 )a

11) Montrer que les tangentes en deux points A A  a,f(a)  et B A  b,f(b)  de la courbe C sont parallèles.  '(a)f'(b) 12) Montrer que la droite d’équation yaxb est asymptote à la courbe en  (x) s’écrit (x)axb(x) avec lim(x)0 ( x ( )f(x)(axb) )

13) Etudier la position de la courbe yaxb Etudier le signe de (x)y

C par rapport à la droite d’équation

14) Vérifier que la courbe C rencontre la droite d’équation yaxb en un seul point  (x)axb a une seule solution 15) Déterminer les abscisses des points de la courbe C admettant une tangente parallèle à la droite d’équation yaxb .  '(x)a 16) Le point Ade la courbe C  aquelle est son ordonnée ?a pour abscisse L’ordonnée est (a) 17) Le point Ade la courbe C a pour ordonnée b quelle est son abscisse ? L’une des solutions de f(x)0

18) Expliquer comment on obtient la courbe C à partir de la courbe Rechercher une transformation (translation, homothétie,…) qui transforme l’une en l’autre.

C

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19) Déterminer graphiquement au bout de combien de temps…..condition à l’aide de la fonction et penser à convertir lesTraduire la condition heures sexagésimales en heures décimales.

20) Montrer que la courbe  donnée par une équation cartésienne (avec desy 2 ) est la réunion de 2 courbes  C 1  et  C 2 

Exprimery 2 en fonction de :y 2 h(x),  C 1  représente  C 2  représente (x) h(x)

(x)

21) Interpréter  a b (x).dx  sur fpositiveen terme d’aire (  a,b  ) L’intégrale mesure l’aire comprise entre la droite a , la droite courbe C

23) Calculer en unité d’aire l’aire du domaine plan limité par C d’équation a et la droite d’équationb b Calculer  (x).dx a

h(x) et

bet la

,la droite

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Questions sur les fonctions

1) Etudier les variations de f. a)Préciser son ensemble de définition préparer le tableau de variations en y indiquant les valeurs interdites b)Calculer sa dérivée, c)de la dérivée en la factorisant au maximumDéterminer le signe d)théorème liant le sens de variation d’une fonction au signe de saUtiliser le dérivée

2) Déterminer le signe de '(x) Factoriser la dérivée tableau de signes Voir si le signe de cette dérivée n’est pas lié à l’étude d’une fonction auxiliaire Utiliser éventuellement la représentation graphique de la dérivée



3) Déterminer le signe de (x) Tableau de variations Tableau de signes Représentation graphique de la fonction

4) Démontrer que la fonction f est paire Montrer que (x) et (x) sont égaux

5) Démontrer que la fonction f est impaire Montrer que (x) et (x) sont opposés Montrer que f(x)f(x)0

6) Démontrer que la fonction f est périodique de période P Montrer que (xP)f(x)

7) Résoudre f(x)0 ( fcontinue) Tableau de variations, nombre de solutions, encadrement de chacune d’elles avec le corollaire du TVI (méthode du balayage avec la calculatrice)

8) Vérifier que f est continue que f est somme produit , composées de fonctions continuesVérifier

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