Introduction à la fonction exponentielle

Tpautrel

Description

Introduction à la fonction exponentielle
Travaux pratiques (TP) en Mathématiques (2011) pour Terminale S

Sujets

• Annales
• Devoir surveillé
• Devoir scolaire
• Cours
• exercices
• Lycée
• École
• ressources pédagogiques
• Ressource

Informations

• Publié par: ressources-de-terminale
• Nombre de lectures: 211
• Langue: Français

Extrait

Mathématiques

Introduction à la fonction exponentielle.

TS

Le but de cette activité est de chercher une fonction dont l'image f(x) serait égale à f'(x) (autre que la fonction nulle).

Partie 1:

On suppose qu'il existe une fonction f, non nulle, définie et dérivable sur ℝ telle que f=f ' sur ℝ . 1. Soit k∈ℝ et on pose g=k f . Démontrer que g '=g sur l'ensemble des réels. 2. Soith une fonction vérifiant aussi h '=h sur ℝ . Démontrer que fh=fh' .

On suppose maintenant qu'il existe une fonction f, définie et dérivable sur ℝ vérifiant les conditions suivantes: (1) y '=y et (2) y0=1 1. Onconsidère la fonction  définie sur ℝ par  x=fxf−x . Montrer que  est une fonction constante égale à 1 sur ℝ . En déduire que f ne s'annule pas sur ℝ . g 2. Démontrerque si g est une fonction qui vérifie (1) et (2) alors g=f sur ℝ . On pourra poser h= . f

Dans tout ce qui suit, la fonction f est l'unique fonction satisfaisant les conditions (1) et (2).

Partie 2:

1) Rappelerl'approximation affine de f(a + h) pour h petit. n 2) Démontrerque pour tout ∈ℕ ., on a n f anh≈1hfa n 3) Onr Démontrerqu'ell pose la suite u n  définie sur ℕ pa u n =1hfa . eest géométrique, en précisant sa raison. n 4) Sia = 0, on a. On pose = ; démontrer que pour n suffisamment grand, on a fnh≈1h hx n n x fx≈1  n 5) Tracerles courbes des approximations de la fonction f pour les valeurs de n égales à 10, 100 et 1000. n 1 6) Enprenant n = 1000, donner une valeur approchée du nombre f1≈ 1  . n n 1 e=lim1  Le nombre f(1) est encore noté e où. n n∞ 7) Posons gx=fxyf−x . Démontrer que g est une fonction constante et que y y fxy=fxfy

La fonction f vérifiant y' = y et y(0) = 1 est appelée fonction exponentielle

T.Pautrel -Introduction à la fonction exponentielle- niveauTerminale S