Sujets Bac de Mathématiques de niveau Terminale

Kdouh

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Avec correction. Sujet et corrige- bac sti-gmaf
Sujets Bac en Mathématiques (2011) pour Terminale GMEF

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Durée : 4 heures Baccalauréat STI Génie mécanique, civil -Métropole 21 juin 2011 EXERCICE 1 5 points Au libre-service d’un restaurant d’entreprise, un repas est composé obligatoirement d’une entrée, d’un plat et d’un dessert. Pour chaque repas, un employé choisit au hasard : – une entrée parmi trois : Crudités (C), Salade (S) ou Quiche (Q), – un plat parmi deux : Poisson (P) ou Viande (V) – un dessert parmi trois : Glace (G), Fruits (F) ou Laitage (L). 1. Sur l’annexe fournie (à rendre avec la copie), compléter l’arbre des repas. 2. En déduire le nombre de repas que peut composer un employé. 3. On appelle :  A l’évènement : « le repas composé contient le plat de poisson »,  B l’évènement : « le repas composé contient des fruits au dessert ».  On note P A la probabilité de l’évènement A . ( !  Calculer P A , P B , P ( AÇB ! et en déduire P AÈB . ( ! ( ! ( ! 4. Le tableau suivant donne en kcal le bilan calorique des mets proposés :

Entrées

Crudités (C) : 300

Salade composée (S) : 300

Quiche (Q) : 400

Plats Viande (V) : 900 Poisson (P) :600 Desserts Glace (G) : 300 Laitage (L) : 100 Fruits (F) : 100  Compléter, sur l’annexe, le bilan calorique de chaque repas. 5. On appelleRla variable aléatoire qui à chaque repas associe son bilan calorique.  a. Donner l’ensemble des valeurs que peut prendre la variable aléatoireR.  b. Établir la loi de probabilité de la variable aléatoireR.  c. Montrer que le bilan calorique moyen d’un repas est 1 250 kcal.

EXERCICE 2 5 points Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Les questions sont indépendantes les unes des autres. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Une seule réponse par question est acceptée et aucune justification n’est demandée. Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse ou l’absence de réponse n’apporte ni n’enlève de point. Indiquer sur la copie le numéro de la question et la réponse choisie correspondante. 2x C 1. Soitfla fonction définie pour tout nombre réelxpar f(x)13e . On note f sa courbe représentative  dans un repère donné.  Une équation de la tangente à la courbe C f au point de la courbe d’abscisse 0 est :  A. y13x#3 B.y16x#6 C.y13x#6 D.y16x#3 . a 2x 2.Pour tout nombre réela, on définit le nombre I1e dx . La valeur de I est : ò 0 2a2a%0,5 2a2a  A. I10, 5e% B. 0, 5 I10, 5e  C. I10, 5%e  D. I10, 5%0, 5e 1 3.Soit l’équation différentielle : y'#y10 où ydésigne une fonction dérivable de la variable réellex. 2  Trouver parmi ces fonctions dérivables sur l’ensemble des nombres réels R, une solution de l’équation  proposée. 0,5x 1 % ( #  A. f(x)140e  B. g(x5) 10 cos 0, x ! 12 sin ( 0, 5x ! %0,5x 1 %  C. h(x)1120e D. i(x) 0, 5x 3 3 4.Une écriture sous forme exponentielle du nombre complexe z#1 % i est : 2 2

p2p %i i  A. B. C. 3 3 z13e z13 e z1

5p i  D. 6 3e z1

2p i 3 3e

5.Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé. On considère le point W d’affixe 3i et le cercle C  de centre W . Trouver parmi les points proposés un point du cercle C . 2 2 et de rayon  A. M d’affixe 1 % 3i  B. N d’affixe 2#i3  C. P d’affixe 2%2i Q d’affixe3 D. 0 PROBLÈME 10 points Objectif :Le but de ce problème est de comparer, sur un exemple, deux méthodes de calcul de volumes.  On considère la fonctionfdéfinie pour tout nombre réelxde l’intervalle [ 1 ;10 ] par  f(x)1 %xlnx#2x . 1.Montrer que la fonction dérivée f' de la fonctionfest définie pour tout nombre réelxde l’intervalle  [ 1 ;10 ] par : f'(x)1 %lnx#1 . 2. a.Étudier le signe de f'(x) en fonction des valeurs du nombre réel xde l’intervalle [ 1 ;10 ] .  b.En déduire le tableau de variations de la fonctionf [ 1 ;10 sur l’intervalle ] . 3.On appelle C la représentation graphique de la fonctionfdans un repère orthonormé du plan  (unités : 1 cm en abscisses, 1 cm en ordonnées).  Représenter graphiquement C dans ce repère. 4.On considère l’équation (E) : f(x)1] .0 sur 1 ;10 l’intervalle [  a.Déterminer le nombre de solutions de l’équation (E). %2  b.Pour chacune des solutions trouvées, donner une valeur approchée à 10 près, en explicitant  votre méthode. 5.On considère la fonctionF, définie pour tout nombre réelx appartenant à l’intervalle [ 1 ;10 ] , par 2 æ 5 1 ö F(x)1x%lnx ç ¸ è 2 2 ø  a.Montrer que la fonctionFest une primitive de la fonctionf ] .[ 1 ;10 sur l’intervalle  b.Sur la représentation graphique réalisée précédemment, hachurer la portionSdu plan comprise  entre C , l’axe des abscisses et les droites d’équations x11 etx17 .  c.À l’aide de la représentation graphique, évaluer (en unités d’aire) l’aire de la portionS.  Justifier la méthode utilisée.

 d.Calculer la valeur exacte de cette aire en unités d’aire. 6.On veut déterminer le volumeVsdu solide engendré

 par la rotation de la partie hachurée autour de  l’axe des abscisses.  a.Méthode par calcul formel :  À l’aide d’un logiciel de calcul formel on obtient : 2 æ ö 343(ln 7) 4802 ln 7 1900 V% # 1 p ´u.v S . ç ¸ 3 9 3 è ø %2  En déduire une valeur approchée de V à S 10 près.  b.Méthode des trois niveaux :  La méthode, dite des trois niveaux, permet d’estimer  le volume d’un solide.  Par cette méthode, le volume estimé d’un solide de  révolution de hauteurhest égale à : 1 A Ve1h ( A 0 #4A 1 #A 2 ! où 0 est l’aire de la section 6 A A  gauche, 1 l’aire de la section intermédiaire et 2  l’aire de la section droite.  Compléter, par des valeurs approchées au centième, le %2  tableau des surfaces figurant en annexe. En déduire une valeur approchée à 10 près de Ve . V e c.On considère que la méthode des trois niveaux est acceptable si le rapport est compris entre 0,95 et V S  1,05. Peut-on affirmer que cette méthode des trois niveaux est acceptable pour cet exemple ? ANNEXE (à rendre avec la copie)

W

C

S

Q

Problème : tableau des surfaces

Surface Rayons

Section gauche

Exercice 1 : arbre des repas

V

P

Section intermédiaire f(4)1 %4 ln(4)#8»2, 45

Section droite

G L F

1500KCAL 1300KCAL

Aires

12, 57

Exercice 1 1 1) et 2) il y a 18 repas possibles , chaque possibilité a une probabilité p1 18 3) probabilités : 1 • P ( A ! 1  car les trois événements « entrée », « plat » et « dessert » sont indépendants 2 1 • P ( A ! 1  pour la même raison 3 1 1 1 • P ( AÇB ! 1P ( A ! ´P ( B ! 1 ´ 1  car A et B ont indépendant 2 3 6 1 1 1 3#2%1 4 2 • P ( AÈB ! 1P ( A ! #P ( B ! %P ( AÇB ! 1 # % 1 1 1 . 2 3 6 6 6 3 4) voir annexe 5)a) RÎ { 1000 ; 1100 ; 1200 ; 1300 ; 1400 ; 1500 ;1600 }  b) cette loi s’exprime sous forme d’un tableau r 1000 1100 1200 1300 1400 1500 1600 i 4 2 2 1 2 1 5 2 1 2 1 1 P ( R1r ! i 1 1 1 1 1 18 9 18 9 18 9 18 18 9 18 9 18

c) l’espérance de cette loi est n 4´1000#2´1100#2´1200#5´1300#2´1400#2´1500#1´1600 å E ( R ! 1p´r1 11250 i i 18 i11

W

1/3

1/3

1/3

C

S

Q

1/2

1/2

1/2

1/2

1/2

1/2

V

P

V

P

V

P

1500KCAL G L 1300KCAL 1300KCAL F G 1200KCAL L 1000KCAL 1000KCAL F G 1500KCAL L 1300KCAL F 1300KCAL G 1200KCAL 1000KCAL L 1000KCAL F G 1600KCAL L 1400KCAL F 1400KCAL G 1300KCAL L 1100KCAL 1100KCAL F

EXERCICE 2 5 points  Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Les questions sont indépendantes  les unes des autres. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Une seule réponse par question est acceptée et aucune justification n’est demandée. Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse ou l’absence de réponse n’apporte ni n’enlève de point. Indiquer sur la copie le numéro de la question et la réponse choisie correspondante. 2x 1. Soitfla fonction définie pour tout nombre réelxpar f(x)13e . On note C f sa courbe représentative  dans un repère donné. C  Une équation de la tangente à la courbe f au point de la courbe d’abscisse 0 est :  A. y13x#3 B.y16x#6 C.y13x#6 D. y =6x +3 . 2x2x0 0  Puisque f'(x)13´2e16e et f'(0)16e1 6 ; f(0)13e1 3 . 1  Puis appliquer la formule de la tangente : y f'(a)(x%a)#f(a) a 2x 2.Pour tout nombre réela, on définit le nombre I1e dx . La valeur de I est : ò 0 2a2a%0,5 2a2a  A. I10, 5e%0, 5  B. I10, 5e  C. I10, 5%e  D. I10, 5%0, 5e a a 2x é 1 2x ù 2a0 2a I1e dx1e10, 5e%0, 5´e10, 5e%0, 5 ò 0 ê ú ë 2 û 0 1 3.Soit l’équation différentielle : y'#y10 où ydésigne une fonction dérivable de la variable réellex. 2  Trouver parmi ces fonctions dérivables sur l’ensemble des nombres réels R, une solution de l’équation

 proposée. 0,5x  A. f(x)140e  B. g(x)1 %0, 510 cos x#12 sin 0, 5x ( ! ( ! %0,5x D. i(x)1 %0, 5x C. h(x)1120e %ax  L’ensemble des solution de l’équation différentielle y'#ay1 de la forme : 0 est y1ke où k est une %0,5x 1 %  constante réelle .ici a donc 0, 5 , y1ke , avec k1120 . 3 3 4.Une écriture sous forme exponentielle du nombre complexe z#1 % i est : 2 2 p2p 5p2p %i i ii  A. B.C. 6  D. 3 3 3 z13e z13e z13ez13e 2 æ ö 2 2 æ 3 ö 3 9 3 12 z1a#b1# 1 # 1 1 % 3 ç ¸ ç ¸ è 2 ø 2 4 4 4 è ø ì %33 / 2 cos1 %q 1 ï ï 5 3 2 p q 1argz avec í , donc #q 1 2kp , où k΢ 6 3 / 2 1 ï sinq 1 1 ï î 3 2 5.Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé. On considère le point W d’affixe 3 % i et le cercle C  de centre W 2 2 . Trouver parmi les points proposés un point du cercle C .et de rayon % A. M d’affixe 1 3i 2 N d’affixe  B. #i3  C. P d’affixe 2%2i Q d’affixe3 D. 0 2 2 uuuur z1z%z11%3i%3i# 12%2i W  et . W M R1 WM1 ( %2 ! # ( %2 ! 14#41812 2 M Problème 1 1) f'(x)1 %lnx%x´ #21 %lnx1%2#11ln%x x 2)a) f'(x)³0Û1%lnx³0Ûlnx£1Ûx£e et f'(x)£0Û1%lnx£0Ûlnx³1Ûx³e b) x e 1 10 f'(x 0 ) + e f(x) 2 %3, 025 f(e)1 %elne#2e1ef(10)1 %10 ln10#20» %3, 025 3) on obtient quelque chose qui ressemble à ceci :

y

3

2

1

0

-1

-2

-3

1

2

3

4

Intégrale = 12,3252

5

6

7

8

9

10

x

f(1)12 ;f(7)»0, 372l16 8 0 (8) 4) et f1 %n 8» %0, 635 .f[7;8] , est continue dérivable sur l’intervalle a  d’après le théorème des valeurs intermédiaires l’équation f(x)10 admet une solution unique sur  l’intervalle [7;8] . J’utilise la calculatrice, je trouve : x»7, 39 æ 5 1 ö 2 æ 1 ö 5x 5)a) F'(x)12x%lnx#x% 1x%xlnx%21x x%lnx f1(x) ç ¸ ç ¸ è 4 2 ø è 2x ø 2 2  donc F est bien une primitive de f . b) voir schéma c) Je compte le nombre de carrés qui rentrent dans cette aire, je fais une estimation du reste; je  trouve 12 environ 7 7 d) S1f(x)dx1 [ F(x) ] 1F ( 7 ! %F ( 1 ! . ò 1 1 æ 5 1 æ 5 1 ö 5  Or F(7)149% ; ln 7 F(1)1 %ln11 , donc on a : ç ¸ ç ¸ è 4 2 ø è 4 2 ø 4 æ 5 1 ö 5 49 S149%ln 7% 112%ln 7 1»2, 33 ç ¸ è 4 2 ø 4 2 6) a) je dois donner une valeur approchée de cette formule; je ne dois pas me tromper dans les 188  parenthèses. Je trouve V S environ. En fait, plus précisément, 2 æ ö 343(ln 7) 4802 ln 7 1900 %2 V´% # 1 p u v»u.v88, 0051 S . 88, 00515415V S 1 à 10 5 donc près ç ¸ 3 9 3 è ø V188, 0  cela donne S 1  b) Surface Section gauche Section intermédiaire Section droite Rayons f(1)1 %1´ln1#2´112f(4)1 %4 ln(4)#8»2, 45f(7)1 %7 ln(7)#14»0, 3786 Aires 12, 57 18, 93 0, 45 2  On utilise le fait que Aire´1 p R 1  On trouve Ve1 ´6 ( 12, 57#4´18, 93#0, 45 ! 188, 74 (voir feuille annexe) 6 V 88, 01 e 1 »0, 991773721»0, 992  c) ici donc oui, la méthode des trois niveaux ne marche pas bien ici. V88, 74 S  Puisque 0, 992Ï[0, 995 ; 1, 05]