Sujets Bac de Mathématiques de niveau Terminale
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Avec correction. Ccentresetranger
Sujets Bac en Mathématiques (2011) pour Terminale S

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Langue Français

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Terminale SJuin 2011 Centres étrangers Exercice 1: 4 points On considère une droite D munie d’un repère(O;i!. Soit (An) la suite de points de la droite D ainsi définie : |A0est le point O; |A1est le point d’abscisse 1 ; | pour tout entier natureln, le pointAn+2est le milieu du segment [AnAn+1]. 1. a. Placersur un dessin la droite D, les pointsA0,A1,A2,A3,A4,A5etA6. On prendra 10 cm comme unité graphique. b. Pourtout entier natureln, on noteanl’abscisse du pointAn. Calculera2,a3,a4,a5eta6. a#a n#1n c. Pourtout entier natureln, justifier l’égalité :a1. n#2 2 1 2. Démontrerpar récurrence, que pour tout entiern,a1 %a#1.n#1n 2 2 3. Soit(vn) la suite définie, pour tout entier natureln, parv1a%. n n 3 1 Démontrer que (vn) est une suite géométrique de raison%. 2 4. Déterminerla limite de la suite (vn), puis celle de la suite (an). Exercice 2: 5points Non spécialistes Les cinq questions sont indépendantes. Pour chaque question une affirmation est proposée. Indiquer si elle est vraie ou fausse, en justifiant la réponse. Une réponse qui n’est pas justifiée ne sera pas prise en compte. Toute justification incomplète sera valorisée. Question 1   On considère, dans le plan complexe muni d’un repère orthonormal direct(O;u,v!, les points A, B et C   13 d’affixes respectives :a11#i,b13ietc13# #i#2.    22   Affirmation :Le triangle ABC est un triangle équilatéral.   Question 2On considère, dans le plan complexe muni d’un repère orthonormal direct(O;u,v!, la 2itransformationfdont une écriture complexe est :'1z.   3#ip Affirmation :La transformationf.est la rotation de centre O et d’angle 3 Question 3 2011 On considère le nombre complexea1 %3#i. ( ! Affirmation :Le nombre complexeaest un nombre imaginaire pur. Patrick CHATE1 TerminaleS
Question 4 SoitXune variable aléatoire qui suit la loi exponentielle de paramètrel, oùlest un nombre strictement positif. On rappelle que, pour tout réeltstrictement positif, la probabilité de l’événement (Xt) s’exprime par : %lt P(X£t!11%e. %l Affirmation :Sachant queX2, la probabilité queXappartienne à l’intervalle [2 ; 3] est égale à1%e.Question 5 Une urne contient au totalnboules dont cinq sont blanches et les autres noires. On effectue 10 tirages successifs indépendants en remettant la boule dans l’urne après chaque tirage. Affirmation :La plus petite valeur de l’entiern, pour laquelle la probabilité d’obtenir au moins une boule noire sur les 10 tirages est supérieure ou égale à 0,9999, est égale à 13. Exercice 2: 5points spécialistes Les cinq questions sont indépendantes. Pour chaque question une affirmation est proposée. Indiquer si elle est vraie ou fausse, en justifiant la réponse. Une réponse non justifiée ne sera pas prise en compte. Toute justification complète sera valorisée. Question 1 On considère l’équation (E) : 2x+11y=7, oùxetysont des entiers relatifs. Affirmation :Les seuls couples solutions de (E) sont les couples (22k2 ;4k+1), aveckappartenant à l’ensembledes entiers relatifs. Question 2 2012 On considère l’entierN=11 . Affirmation :L’entierNest congru à 4 modulo 7. Question 3 On considère, dans le plan complexe, les points A, B et C d’affixes respectives : a11#i,b13ietc11%2 2#i1%2. ( !( ! Affirmation :Le point C est l’image du point B par la similitude directe de centre A, de rapport2et p d’angle%.2 Question 4 On considère, dans le plan complexe, les points A et B d’affixes respectives :a=1+i ;b=2i. 3 4 12 6Soitfla similitude d’écriture complexe :'1 % %i z# #i.    5 5 5 5Affirmation :La transformationfest la réflexion d’axe (AB). Question 5    L’espace est muni d’un repère orthonormal(O;i,j,k!. On considère la surface S dont une équation est :z=4xy. Affirmation :La section de la surface S par le plan d’équationz=0 est la réunion de deux droites orthogonales. Patrick CHATE2 TerminaleS
Exercice 3 :5 points La figure ci-dessous représente un cube ABCDEFGH d’arête 1.
On désigne par I et J les milieux respectifs des arêtes [BC] et [CD]. Soit M un point quelconque du segment [CE].    Dans tout l’exercice, on se place dans le repère orthonormal(A;AB,AD,AE!. 1. a. Donner,sans justification, les coordonnées des points C, E, I et J. b. Justifierl’existence d’un réelt appartenantà l’intervalle [0 ; 1], tel que les coordonnées du point M soient (1 −t; 1 −t;t). 2. a. Démontrerque les points C et E appartiennent au plan médiateur du segment [IJ]. b. Endéduire que le triangle MIJ est un triangle isocèle en M. 2 c. ExprimerIM enfonction det. 3. Lebut de cette question est de déterminer la position du point M sur le segment [CE] pour laquelle la mesure de l’angleIMJest maximale. On désigne parqla mesure en radian de l’angleIMJa. Enadmettant que la mesureqà l’intervalle [0 ; appartientp], démontrer que la mesureqqest maximale lorsquesinest maximal.   2b. Endéduire que la mesure est maximale lorsque la longueur IM est minimale. 21 c. Étudierles variations de la fonctionfdéfinie sur l’intervalle [0 ; 1] par :f(t!13t%t#. 4 d. Endéduire qu’il existe une unique position M0 dupoint M sur le segment [EC] telle que la mesure de l’angleIMJsoit maximale. e. Démontrerque le point M0est le projeté orthogonal du point I sur le segment [EC]. Patrick CHATE3 TerminaleS
Exercice 4 :5 points Soientfetgles fonctions définies sur l’ensembledes nombres réels par : 1%2 1% (x!1xe et(x!1x e  Les courbes représentatives des fonctionsf etg dansun repère orthogonal(O;i,j!respectivement sont
notées C et C’ ; leur tracé est donné ci-dessous :
1. Étudedes fonctionsfetga. Déterminerles limites des fonctionsfetgen. b. Justifierle fait que les fonctionsfetgont pour limite 0 en. c. Étudierle sens de variations de chacune des fonctionsf etg etdresser leurs tableaux de variations respectifs.
2. Calculd’intégrales 1 1 1%x n1%x Pour tout entier natureln, on définit l’intégrale Inpar :0et , sin>1,I1x edx.I1e dx 00 n a. Calculerla valeur exacte de I0.
b. Àl’aide d’une intégration par parties, démontrer que pour tout entier natureln: I1 %1#(n#1!In#1n c. Endéduire la valeur exacte de I1, puis celle de I2. Patrick CHATE4
Terminale S
3. Calculd’une aire plane a. Étudierla position relative des courbes C et C’. b. On désigne par A l’aire, exprimée en unité d’aire, de la partie du plan comprise d’une part entre les courbes C et C’, d’autre part entre les droites d’équations respectivesx= 0 etx= 1. En exprimant A comme différence de deux aires que l’on précisera, démontrer l’égalité : A = 3 −e. 4. Étudede l’égalité de deux aires Soitaun réel strictement supérieur à 1. On désigne par S(a) l’aire, exprimée en unité d’aire, de la partie du plan comprise d’une part entre les courbes C et C’, d’autre part entre les droites d’équations respectivesx= 1 etx=a. 1%a2 On admet que S(a) s’exprime par :S(a!13%e(a#a#1!.L’objectif de cette question est de prouver qu’il existe une et une seule valeur deapour laquelle les aires A et S(a) sont égales. a2 a. Démontrerque l’équation S(a) = A est équivalente à l’équation :e1a#a#1.b. Conclure,quant à l’existence et l’unicité du réela, solution du problème posé. Dans cette question, toute trace d’argumentation, même incomplète, ou d’initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.
Patrick CHATE
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