Sujets Bac de Mathématiques de niveau Terminale

Pat Rick

Description

Avec correction. Ccentresetranger
Sujets Bac en Mathématiques (2011) pour Terminale S

Sujets

• Ressource
• ressources pédagogiques
• École
• Lycée
• exercices
• Cours
• Devoir scolaire
• Devoir surveillé
• Annales

Informations

• Publié par: ressources-de-terminale
• Nombre de lectures: 99
• Langue: Français

Extrait

Terminale S Centres étrangers Exercice 1:  ; On considère une droite D munie d’un repère. ( O i ! Soit (A n ) la suite de points de la droite D ainsi définie : |A 0 est le point O; |A 1 est le point d’abscisse 1 ; |pour tout entier natureln, le pointA n+2 est le milieu du segment [A n A n+1 ]. 1. a. Placementsur un dessin de la droite D, des pointsA 0 ,A 1 ,A 2 ,A 3 ,A 4 ,A 5 etA 6 :

Juin 2011

b. Pourtout entier natureln, on notea n l’abscisse du pointA n ; Calcul de : a#a 1#0 1 1 0  a1 11 2 ; 2 22 a#a 3 2 1  a1 1 3 ; 2 4 a#a 5 3 2  a1 1 4 ; 2 8 a#a 11 4 3  a1 1 5 2 16 a#a 21 5 4  a1 1 6 . 2 32 a#a n#1n a1 c. Pourtout entier natureln, n#2 : 2 a#a n#1n PuisqueA n+2 est le milieu du segment [A n A n+1 ], n#2 ! a1 2 1 a1 %a#1 2. Pourtout entiern, n#1n : 2 1 a1 %a#1 Effectuons un raisonnement par récurrence ; Appelons P n la propriété : « n#1n » ; 2 1 1 · %a#1´1 %0#1111a Initialisation: 0 1 donc P 0 est vraie (1) 2 2 1 · a1 %a#1 Hérédité: Supposons que, pour un entierndonné, P n soit vraie, à savoir : n#1n ; 2 1 a%1 a#a n#1 n#1n a1 %a#1Ûa1 1%2 ( a%1 ! a1 Or n#1nn n#1 et n#2 (cf. 1.c.), 2 1 2 % 2 a# %2 ( a%1 ! n#1 ( n#1 ! %a#2 1 n#1 a1 11 %a#1 D’où n#2n#1 ; 2 22 Ainsi la propriété P n+1 est vraie (si P n l’est) (2)

·Î Finalement, de (1) et (2), la propriété P n est vraie quelque soitnCQFD ! ; Patrick CHATE1

Terminale S

2 v1a% 3. Soit(v n ) la suite définie, pour tout entier natureln, par n n ; 3 1 (v n ) est une suite géométrique de raison: % 2 2  1  1 12 1  2  1 n#1n#1  n  n  n  n ; v1a% 1%a#1%% 1a# 1%a% 1v% 3  2  3 23 2  3  2 1 % (v n ) est donc bien une suite géométrique de raison; CQFD ! 2 4. Lalimite : 1 er · % de la suite (v n ) :(v n ) étant une suite géométrique de raison, et de 1terme 2 n 2 22 n n 2  1  0 0 , n0 0   ; v1a% 10% 1%v1v q1v q%1 % 3 33 3  2  n 1  1  %100 %1 lim % 1 0 limv10 Et comme,   , et par conséquent, n . 2  2  n|#¥ n|#¥ 2 22 · v1a% Ûa1v# limv10 lim v1 de la suite (a n ) : n nn n ; Et comme, n , n 3 33 n|#¥ n|#¥ Interprétation: Les pointsA n se rapproche du point L(2/3). Exercice 2: Question 1   On considère, dans le plan complexe muni d’un repère orthonormal direct, les points A, B et C d’affixes ( O;u,v !    1  3 respectives :, et   . a11#ib13i c13# #i#2    2  2   Affirmation :Le triangle ABC est un triangle équilatéral. Méthode 1 : · AB1z%z1b%a13i% ( 1i# ! 11%2#i15 B A ;     1  3  1  3 · BC1z%z13# #i#2%3i13# #i%1 C B        2  2  2  2    2 2    1  3 13   ; 13%# #113#3# # %3#115    2  42 4         1  3  1  3 · CA1z%z1 ( 1#i ! %3# #i#21 %3i# %1% A C           2  2  2  2     2 2    1  33 1   ; 1 %3# %1%% 13#3# #3#115    2  2 4 4   Ainsi, AB = BC = CA donc ABC est équilatéral. Méthode 2 :           1  3  1  3 1  3 # ## %#3% #i#1 ( %1%2i !  3  i2 ( 1i !  3%  #i  #1             2  2 2 2  2  2 z%z c %a          c A · 11 11 z%z b%a3i ( %1i# ! 1%2i# 5 B A

Patrick CHATE

2

Terminale S

          1  33 1   %3% #2  #1  #i%2 3#% %1     35 5   2   2    2  2   p %i   %      i   1 3 2 2 3 ; 1 %1 1i1e 525 2 p p z%z %i%i c A 3 3 1eÛz%z1e ( z%z ! ÛC1r ( B ! Or c AB A p doncc ABC est équilatéral. A;% z%z B A 3  VRAI !   Question 2, la transformationOn considère, dans le plan complexe muni d’un repère orthonormal directf ( O;u,v ! 2i '1z dont une écriture complexe est :   .  3#i  p Affirmation :La transformationfest la rotation de centre O et d’angle. 3 pp p % ( 2i ! 3i ! i i i i 2i2#2 3i1 32 3 33 1 11 #i1e'1zÛz'1e zÛz'%z1e ( z%z ! On ad’où   O O ; 3#i 2 24 4  3#i  p La transformationfest donc bien la rotation de centre O et d’angle 3  VRAI ! Question 3 2011 a1 %3#i On considère le nombre complexe ( ! . Affirmation :Le nombre complexeaest un nombre imaginaire pur. 2011  5 p  5 p 5 p   i2011´   i 2011 i   3 1  5 p 5 p  6 2011  6  6   %3#i12% #i12 cos#sini12e a1 %3#i12e12e On a :   d’où ( !     2 2  6 6      5 p p 5 5 p    p i335 p #i p # i ( 335´6#1 ! ´    %i 6    2011 6 2011 20116 2011 6 12e12e12e12eÏiℝ  FAUX ! Question 4 l l SoitXest un nombre strictement positif., oùune variable aléatoire qui suit la loi exponentielle de paramètre On rappelle que, pour tout réeltstrictement positif, la probabilité de l’événement (X≤t) s’exprime par : % l t P ( X£t ! 11%e . % l 1%e Affirmation :Sachant queX≥ 2, la probabilité queX.appartienne à l’intervalle [2 ; 3] est égale à £ £ dz P ( ( 2X3 ! ( X2 ! ! P ( 2£X£3 ! P ( X£3 ! %P ( 2£X ! P ( 2£X£3 /X³2 ! 1 11 P ( X³2 ! P ( X³2 ! 1%P ( X02 ! %3 l 2% l 1%e%1e% %2 l 3% l l 3% ( !( ! e%e e l % . 1 111% 11%e %2 l %2 l %2 l 1% ( 1%e ! e e  VRAI ! Question 5 Une urne contient au totalnboules dont cinq sont blanches et les autres noires. On effectue 10 tirages successifs indépendants en remettant la boule dans l’urne après chaque tirage. Affirmation :La plus petite valeur de l’entiern, pour laquelle la probabilité d’obtenir au moins une boule noire sur les 10 tirages est supérieure ou égale à 0,9999, est égale à 13. 5 Il s’agit d’un schéma de Bernoulli de paramètresn= 10 et p = p(B) =; n

Patrick CHATE

3

Terminale S

 5  Soit X la variable aléatoire égale au nombre de succès lors des 10 tirages ; X suit la loi binomiale   ; B10;  n  SoitEl’événement : "’obtenir au moins une boule noire sur les 10 tirages"; Alors estl’événement :"’obtenir aucune boule noire sur les 10 tirages" , soit encore : "’obtenir que des boules E blanches sur les 10 tirages" donc= "X = 10" ; E 10 10  5   5  On a : ( !   d’où P E1 ( ! 1   ; P E1 ( ! 1 %P E1 %  n   n  10 1010    5   5   5  P ( E ! ³0, 9999Û1% ³0, 9999Û0, 0001³ Ûln 0, 0001³ln  Donc          n   n   n  ln croissante   ln 0,0001  5  ln 0, 0001  5  5 10 Ûln 0, 0001³10 lnÛ ³lnÛe³       n  10  n  n nexp croissante "x20,"nÎℕ,lnx1nlnx ln 0,0001 % n1 10 Û ³Ûn³5e»12, 56Ûn³13 ( ! ln 0,0001 5 10 e  VRAI ! Exercice 3 : La figure ci-dessous représente un cube ABCDEFGH d’arête 1.

On désigne par I et J les milieux respectifs des arêtes [BC] et [CD]. Soit M un point quelconque du segment [CE].    Dans tout l’exercice, on se place dans le repère orthonormal ( AB AD AE ! . A; , , 1. a. Coordonnéesdes points C, E, I et J : Il vient immédiatement : C(1 ;1 ;0), E(0 ;0 ;1), I(1 ;1/2 ;0) et J(1/2 ;1 ;0). b. Existenced’un réeltappartenant à l’intervalle [0 ; 1], tel que les coordonnées du point M soient (1 − t; 1 −t;t) :   MÎ [ CE ] Û Î CM1tCE  ilexiste un réelt[0 ; 1] tel que

Patrick CHATE

4

Terminale S

x%11t ( 0%1 !  x11t% M M   Û Î y%11t ( 0%1 ! Ûy11t% il existe un réelt; 1] tel que [0  M  M ; CQFD !   %01t ( 1%0 ! z1t  M  M 2. a. Lespoints C et E appartiennent au plan médiateur du segment [IJ] : Le plan médiateur du segment [IJ] est l’ensemble des points équidistants de I et J ; Or : 2 2 2  1  2 1 1  1  2 2 1 1 · CI1 ( 1%1 ! # %1# ( 0%0 ! 1 1CJ1 %1# ( 1%1 ! # ( 0%0 ! 1 1   et   ,  2  4 2  2  4 2 2 2 2  1  2 9 3  1  2 2 9 3 · EI1 ( 1%0 ! # %0# ( 0 1% ! 1 1EJ1 %0# ( 1%0 ! # ( 0%1 ! 1 1   et   ;  2  4 2  2  4 2 Donc C et E appartiennent au plan médiateur du segment [IJ] ; CQFD ! b. Letriangle MIJ est un triangle isocèle en M : Puisque C et E appartiennent au plan médiateur du segment [IJ] , le segment [CE] aussi donc le point M aussi d’où MI = MJ ; MIJ est donc bien isocèle de sommet principal M. 2 c. IMen fonction det: 2 2 2 1 2 2 1 1 2    2 2 ( !    . IM1 ( 1%t ! %1# ( 1t% ! % ( t#0% ! ( 1t ! % #t%t#3t1t%  2   2  4 3. Lebut de cette question est de déterminer la position du point M sur le segment [CE] pour laquelle la  mesure de l’angleest maximale. IMJ  On désigne parla mesure en radian de l’angle q IMJ  q  q Î p q sin a. Pour[ 0 ;], la mesureest maximale lorsque   est maximal : On a :  2  q p  0 q p 2 0 2  q   1   sin  2  0  q  q Î pq sin Donc , pour[ 0 ;], estmaximale lorsque   est maximal, et réciproquement.  2  q b. Lamesure estmaximale lorsque la longueur IM est minimale :  q  q Î p q sin Ainsi, pour[ 0 ;], estmaximale lorsque   est maximal ;  2  IJ  q  IJ1 2 Or, IMJ étant isocèle,   ; sin´1 1  2  IM2IM  q  1IJ Donc   est maximale lorsqueest maximale (carest constant) donc quand la longueur sin  2  IM2 1 x֏  IM est minimale (cardécroissante sur ]0 ; +[) ;CQFD ! x 1 2 f ( t ! 13t%t# c. Lesvariations de la fonctionf:définie sur l’intervalle [0 ; 1] par 4 1 ' ( t ! 16t%1f' ( t ! 20Û6t%120Ût2 et ; 6 Patrick CHATE5 TerminaleS

0 f’(t) 0 f(t)

1/6 1   0+  1

 IMJ d. Ilexiste une unique position M 0 du point M sur le segment [EC] telle que la mesure de l’angle soit maximale : 2 2 x֏x  IM est minimale lorsque IMest minimal (carcroissante sur [0 ; +[) ; 2 2 1 1 Or quiest minimal quand; IM13t%t# 1f ( t ! t1 Î [ 0;1 ] 4 6

Donc, au final, Il existe une unique position M 0 du point M sur le segment [EC] telle que la mesure de 1  l’angle soitmaximale, le point M 0 correspondant à. IMJ t1 6 e. Lepoint M 0 est le projeté orthogonal du point I sur le segment [EC] :

Î ( IM ! ^ ( EC ! M 0  [EC]; il ne reste donc plus qu’à vérifier que 0 ;   1 1 1  M 0 (5/6 ; 5/6 ; 1/6) (d’après 1.b.) d’où 0   et ; IM%; ; CE ( % 1; % 1;1 !  6 3 6      1  1 1 IM.CE1 %´ ( %1 ! # ´ ( 1% ! #1´01 ÛIM^CE ( IM ! ^ ( EC ! Donc 0   0 0 ; CQFD !  6  3 6

Exercice 4 : 1%2 1%  ( x ! 1xe ( x ! 1x e Soientfetgdes nombres réels par :et .les fonctions définies sur l’ensemble   Les courbes représentatives des fonctionsfetgdans un repère orthogonal ( ! sont respectivement notées C O;i,j et C’ ; leur tracé est donné ci-dessous : Patrick CHATE6 TerminaleS