Sujets Bac de Mathématiques de niveau Terminale

Chatel

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Avec correction. Pondichery2011
Sujets Bac en Mathématiques (2011) pour Terminale S

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Extrait

Terminale SAvril 2011 Pondichéry Exercice 1 Partie I Sur le graphique ci-dessous, on a représenté dans un repère orthonormal, les courbes C 1 et C 2 représentatives de deux fonctionsf 1 etf 2 définies sur l’intervalle ] 0 ;# ¥ [ .

On sait que : – l’axe des ordonnées est asymptote aux courbes C 1 et C 2 ; – l’axe des abscisses est asymptote à la courbe C 2 ; – la fonctionf 2 est continue et strictement décroissante sur l’intervalle ] 0 ;# ¥ [ ; – la fonctionf 1 est continue et strictement croissante sur l’intervalle ] 0 ;# ¥ [ ; – la limite quandxtend vers #¥ de ( x ! est #¥ . 1 1.La limite quandxtend vers 0 de ( x ! est : 2 0 #¥  Onne peut pas conclure car il est dit quel’axe des ordonnées est asymptote à C 2 . 2.La limite quandxtend vers #¥ de ( x ! est : 2 0 0,2On ne peut pas conclure car il est dit que l’axe des abscisses est asymptote à la courbe C 2 . 3.En ¥ , C 1 admet une asymptote oblique : Oui NonOn ne peut pas conclure 4.Le tableau de signes de ( x ! %f ( x ! est : 2 1 0 #¥ 0 #¥ 0 1 #¥  +– +0 – f x%f xf ( x ! %f ( x ! f ( x ! %f ( x ! 2 12 12 1 Les deux premiers étant incompatibles avec le graphique.

Patrick CHATE

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Terminale S

Partie II 1 On considère la fonctionfdéfinie sur l’intervalle ] 0 ;# ¥ [ par f ( x ! 1ln ( x ! #1% . x 1.Limites de la fonctionfaux bornes de son ensemble de définition : 1 En 0 : lim lnx1 %¥ etlim1 #¥d’où, par différence, limf ( x ! 1 %¥ ; ### x|0x|0 x x|0 1 En +µ:lim lnx1 #¥et lim10 d’où, par différence,limf ( x ! 1 #¥. x x|#¥ x|#¥ x|#¥ 2.Variations de la fonctionfsur l’intervalle ] 0 ;# ¥ [ : fest dérivable sur ] 0 ;# ¥ [ comme différence de fonctions qui le sont et : 1  %1  1 1 f' ( x ! 1 #0% 1#;   2 2 x  x  x x CommexÎ ] 0 ;# ¥ [ , il est clair quef' ( x ! 20:fest donc strictement croissante sur ] 0 ;# ¥ [ .

3.Signe de ( x ! lorsquexdécrit l’intervalle ] 0 ;# ¥ [ : 1 f ( 1 ! 1ln ( 1 ! #1% 10#1%110etfétant strictement croissante, il vient : 1 x + 0 1 µ f(x)   0 + 4.La fonctionFdéfinie sur l’intervalle ] 0 ;# ¥ [ par F ( x ! 1xlnx%lnx est une primitive de la fonctionfsur cet  1  1 1 intervalle :Fest dérivable sur l’ 1 ´# ´lnx11f x ; intervalle ] 0 ;# ¥ [ et F' ( x !  1 lnx x  # %% 1 ( ! x xx   PuisqueFétant dérivable sur ] 0 ;# ¥ [ et queF’=f,Fest bien une primitive de f sur ] 0 ;# ¥ [ ; CQFD ! 5.La fonctionFest strictement croissante sur l’intervalle [ 1 ;# ¥ [ : F’=fetf> 0 sur1;#¥ [ ;Fest donc bien strictement croissante sur [ 1 ;# ¥ [ ; CQFD ! 1 ervalle (qu’onnote ): 6.L’équation F ( x ! 11% admet une unique solution dans l’int [ 1 ;# ¥ [ a e | F ( 1 ! 11´ln1%ln111´0%01001 ; |limF ( x ! 1limxlnx%lnx1lim lnx ( x%1 ! 1 #¥carlim lnx1 #¥etlimx%11 #¥; x|#¥ |#x¥ |#¥xx|#¥x|#¥ Ainsi,Fest définie, continue (puisque dérivable) et strictement croissante sur l’intervalle [ 1;#¥ [ ;   Fréalise donc une bijection de l’intervalle [ 1;#¥ [ sur l’intervalleF ( 1 ! ; limF ( x ! 1 [ 0;#¥ [ ;  x|#¥    1 1 Comme 1% Î [ 0;#¥ [ , il admet parFunique antécédent dans , autrement dit, l’équation unF ( x ! 11% e e admet une unique solution dans l’intervalle [ 1 ;# ¥ [ , notée a par la suite. –1 7.Un encadrement de a d’amplitude 10: 1,9 a  2,0 1 F(x)  0,58 = 1% 0,63 0,70 e D’où 1,9 < a < 2,0. Partie III 1 Soitgethles fonctions définies sur l’intervalle ] 0 ;# ¥ [ par : g ( x ! 1 et h ( x ! 1ln ( x ! #1 . x

Patrick CHATE

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Sur le graphique ci-dessous, on a représenté dans un repère orthonormal, les courbes C g et C h représentatives des fonctionsgeth.

1.A est le point d’intersection de la courbe C h et de l’axe des abscisses ; Coordonnées du point A : AÎCÛy1h ( x ! Ûy1ln ( x ! #1  et AÎ ( x'x ! Ûy10 h AA AA A %1 1  1  D’oùln ( x ! 110Ûln ( x ! 1 %1Ûx1e1et par conséquent,A; 0. A AA   e  e  2.P est le point d’intersection des courbes C g et C h ; Les coordonnées du point P sont (1 ; 1) : 1 ( 1 ! 1 11⇒AÎCeth ( 1 ! 1ln ( 1 ! #110#111⇒AÎC; CQFD h 1 3.On noteAdu domaine délimité par les courbes C l’aire g , C h et les droites d’équations respectivesx= 1/e et x= 1 (domaine noir sur le graphique).  1  a.AireA àl’aide de la fonctionf: Sur l’intervalle; 1, C g située au-dessus de C est h le (d’après    e  graphique ou d’après l’étude du signe def3.) d’où :(cf. II. 1 11 1 1 A1 % ( lnx#1 ! dx1 %lnx#1%dx1 %f ( x ! dxu.a. ∫ x ∫ x ∫ 1 11 e ee 1 1 1  1  b. A1% : A1 %f ( x ! dx1 %F ( x !  1 1 %F ( 1 ! F% ; ∫   1    e  e e    e  1  1 ln1 1e1 OrF1 ! 10etF1ln%ln1 %#lne1 %1#;    e  ee ee e  1  1 1 D’où A1 %F ( 1 ! %F1 %0%1%11 ; CQFD !        e    e   e 4.Soittun nombre réel de l’intervalle ] 1 ;# ¥ [ . On noteB t l’aire du domaine délimité par les droites d’équations respectivesx= 1,x=tet les courbes C g et C h (domaine grisé sur le graphique). On souhaite déterminer une valeur dettelle queA=B t . a.B1tln ( t ! %ln ( t ! : Sur l’intervalle [ 1 ;t(avect> 1), C h située au-dessus de C est g  (d’aprèsle t graphique ou d’après l’étude du signe def(cf. II.3.) d’où :

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t tt 1 t B1h(x)%g(x)dx1 ( lnx#1 ! %dx1f ( x ! dx1F ( x ! 1F ( t ! %F ( 1 ! 1tlnt%lnt; CQFD ! ∫ 1 ∫ 1 x ∫ 1 t   1 1 1 b.Conclusion : A1BÛ1% 1t%lntÛF ( t ! 11% Ût1 a car c’est la seule solution sur [ 1;#¥ [ . t e e

Exercice 2 Partie 1 Dans cette partie, ABCD est un tétraèdre régulier, c’est-à-dire un solide dont les quatre faces sont des triangles équilatéraux. A’ est le centre de gravité du triangle BCD. Dans un tétraèdre, le segment joignant un sommet au centre de gravité de la face opposée est appelé médiane. Ainsi, le segment [AA’] est une médiane du tétraèdre ABCD. 1.On souhaite démontrer la propriété suivante : (P 1 ) :Dans un tétraèdre régulier, chaque médiane est orthogonale à la face opposée. a.          1 : 1 #1 # où I est le milieu du segment [BD] ; AA'.BD0AA'.BD ( AI IA' ! .BD AI.BD IA'.BD (AI) est une médiane de ABD donc aussi une hauteur puisque ABD est équilatéral ; (A’I) est une médiane de BCD donc aussi une hauteur puisque BCD est équilatéral ;         AI^BDÛAI.BD10  Donc⇒1 #; CQFD !     AA'.BD AI.BD IA'.BD10#010  A'I^BDÛA'I.BD10    AA'.BC10: démonstration identique en considérant cette fois le milieu J du segment [BC]. b.La médiane (AA’) est orthogonale à la face BCD :

Patrick CHATE

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