Sujets Bac de Mathématiques de niveau Terminale

Chatel

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Avec correction. Ts maths liban 2011
Sujets Bac en Mathématiques (2011) pour Terminale S

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Extrait

Terminale SJuin 2011 Liban Exercice 1    Dans l’espace muni d’un repère orthonormal (O;i,j,k) , on donne les trois points : A(1 ; 2 ; –1), B(–3 ; –2 ; 3) et C(0 ; –2 ; –3). 1.   a.Les points A, B et C ne sont pas alignés : On a AB(%4 ;%4 ; 4) et AC(%1 ;%4 ;2%) ;   Il est clair alors que AB(%4 ;%4 ; 4) et AC(%1 ;%24 ;%) ne sont pas colinéaires ; Les points A, B et C ne sont donc pas alignés ; CQFD !  b.Le vecteur n ( 2 ;%1 ; 1 ! est un vecteur normal au plan (ABC) :    · n.AB12´ ( %4 ! # ( %1 ! ´ ( 4% ! 1#4´01⇒n^AB ;    · n.AC12´ ( %1 ! # ( %1 ! ´ ( 4% ! 1# ´ ( 2% ! 10⇒n^AC ; Donc n ( 2 ;%1 ; 1 ! est orthogonal à deux vecteurs directeurs du plan (ABC) C’est donc un vecteur normal au plan (ABC) ; CQFD ! 2.Soit (P) le plan dont une équation cartésienne estx+y – z+ 2 = 0. Les plans (ABC) et (P) sont perpendiculaires :  ·Le vecteur n ( 2 ;%1 ; 1 ! est un vecteur normal au plan (ABC) ;  ·Le vecteur n' ( 1; 1 ;%1 ! est un vecteur normal au plan (P) ;   Or n.n'12´1# %1 ! ´1#1´ ( %1 ! 10⇒n^'n ; Donc (ABC)^(P) ; CQFD ! 3.On appelle G le barycentre des points pondérés (A, 1), (B, –1) et (C, 2). a.Le point G a pour coordonnées (2 ; 0 ; –5) :  x%x#2x 1#3#0 A BC x11 12  2 2   y%y#2y 2#2%4 A BC G a pour coordonnées : donc on a bien G(2 ; 0 ; –5) ; CQFD !  y1 110 2 2   z%z#2z %1%3 6% A BC z1 %1 15   2 2 b.La droite (CG) est orthogonale au plan (P) :   On a : CG(2 ; 2 ;%2) vecteur directeur de (CG) et n' ( 1; 1 ;%1 ! vecteur normal à (P) ;   Puisque CG12n' , ces deux vecteurs sont colinéaires et en conséquence, (CG)^(P) ; CQFD ! c.Une représentation paramétrique de la droite (CG) : x%01k´1  x1k     Ainsi,M ( x;y;z ! Î ( CG ! ÛCM1k n'Ûy% ( %2 ! 1k´1Ûy12% #koùkÎ.     % ( %3 ! 1k´ ( 1% ! z13%k   d.Les coordonnées du point H, intersection du plan (P) avec la droite (CG) :

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 x1k # 1# % #% % %  k ( 2k ! ( 3k ! 2 0 k1 %1     1 %# 1%   y2k   x1k   x1 H x;y;z ! Î ( CG ! Ç ( P ! ÛÛ Û; (     z1 %3%k y 1 %2# k y1 %3           x#y%z#210 z1 %3% k z1 %2      Donc on a H(–1 ; –3 ; –2) .   4.L’ensemble (S) des pointsMde l’espace tels que M A%M B#2M C112 : Comme G est le barycentre des points pondérés (A, 1), (B, –1) et (C, 2), pour tout pointMon a :    MA%MB#2MC1 ( 1# ( %1 ! #2 ! MG12MG ;    D’où MA%MB#2MC112Û2MG112Û2´MG112ÛGM16 ;   L’ensemble (S) des pointsMde l’espace tels que M A%M B#2M C112 est donc la sphère de centre G et de rayon 6. 5.La nature et les éléments caractéristiques de l’intersection du plan (P) et de la sphère (S) : Distance de G, centre de la sphère (S), au plan (P) :

x y 2#0% ( %5 ! # G # G %z G # 9 2 2 d ( G; ( P ! ! 1 11 13 3; 2 3 3 2 2 1#1# ( %1 !

Or3 306, rayon de (S), donc (P) et (S) se coupent suivant un cercle (C). ·Le centre de (C) est le projeté orthogonal de G sur le plan (P) qui est H (cf. 3.b. et c.); 2 2 22 22 ·Le rayonrde (C) est tel que GH#r1RÛr16%3 3136%2719⇒r13 . ( !

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(C)

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(S)

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Exercice 2 1.Un magasin de matériel informatique vend deux modèles d’ordinateur au même prix et de marques M 1 et M 2 . Les deux ordinateurs ont les mêmes caractéristiques et sont proposés en deux couleurs : noir et blanc. D’après une étude sur les ventes de ces deux modèles, 70 % des acheteurs ont choisi l’ordinateur M 1 et, parmi eux, 60 % ont préféré la couleur noire. Par ailleurs, 20 % des clients ayant acheté un ordinateur M 2 l’ont choisi de couleur blanche. On utilise la liste des clients ayant acheté l’un ou l’autre des ordinateurs précédemment cités et on choisit un client au hasard. Représentation des données à l’aide : ·D’un tableau à double entrée  M 1  M 2  Total Noir 42% 24% 66% Blanc 28%6% 34% Total 70%30% 100% ·D’un arbre pondéré : N 0,6 M 1 0,7 B 0,4 N 0,8 0,3 M 2 0,2 B a.La probabilité qu’un client choisi au hasard ait acheté un ordinateur M 2 de couleur noire est : 6 P ( MÇN ! 10, 241 réponse D 2 25 3 4 3 6 Réponse A :Réponse B :Réponse C :Réponse D : 5 550 25 b.La probabilité qu’un client choisi au hasard ait acheté un ordinateur de couleur noire est : 33 P ( N ! 10, 661 réponse B 50 21 333 12 Réponse A :Réponse B :Réponse C :Réponse D : 50 505 25 c.Le client a choisi un ordinateur de couleur noire. La probabilité qu’il soit de marque M 2 est : P MÇN 24 4 ( 2 ! 0, 244 P ( M ! 1 1 ou P ( M ! 1 11 réponse A N2N2 66 11 P ( N ! 110, 66

4 6 7 Réponse A :Réponse B :Réponse C : 11 25 11 2.Une urne contient 4 boules jaunes, 2 boules rouges et 3 boules bleues. Les boules sont indiscernables au toucher. L’expérience consiste à tirer au hasard et simultanément 3 boules de l’urne. a.La probabilité d’obtenir trois boules de même couleur est :

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33 Réponse D : 50

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 3   4   3  Situation d ‘équiprobabilité avec 184 cas possibles et # 14#115 cas favorables d’où :     9 33     5 p1 réponse A 84 11 25 4 Réponse A :Réponse B :Réponse C :Réponse D : 81 7 84 63 b.La probabilité d’obtenir trois boules de trois couleurs différentes est :  4   2   3  24 2 Cette fois, ´ ´ 14´2´3124 cas favorables d’où : p1 1 réponse A     1 1 1 84 7     2 1 179 Réponse A :Réponse B :Réponse C :Réponse D : 7 721 84 c.On répète plusieurs fois l’expérience, de manière indépendante, en remettant à chaque fois les trois boules dans l’urne.  4  4 1 Soit E : « obtenir boules jaunes » ; Alors 14 cas favorables d’où : p ( E ! 1 1;   3 84 21   Soit F : « ne pas obtenir trois boules jaunes lors dentirages» ; Alors : n n n  20  p ( F ! 1P ( EÇEÇ⋯ÇE ! 1P ( E ! 1 ( 1%p ( E ! ! 1 ;    21  Soit G : « obtenir au moins une fois trois boules jaunes lors dentirages» ; Alors : n  20  G1F⇒p ( G ! 11%p ( F ! 11% ;    21  Le nombre minimal d’expériences à réaliser pour que la probabilité de l’évènement G : « obtenir au moins une fois trois boules jaunes » soit supérieure ou égale à 0,99 est : n n  20   20   20  ln 0, 01 p ( G ! ³0, 99Û1% ³0, 99Û0, 01³ Ûln 0, 01³nlnÛn³ Ûn³95 réponse A     20  21   21   21  ln 21 Réponse A : 76Réponse B : 71Réponse C : 95Réponse D : 94 Exercice 3Non Spécialistes Partie A : Restitution organisée de connaissances Prérequis : Quels que soient les nombres complexes non nulszetz’, arg(z×z’)= arg(z)+arg(z’) à 2pprès. Démonstration : Quels que soient les nombres complexes non nuls z et z’, on a : arg()= arg(z)−arg(z’) à 2pprès. '  z   1   1   1  1g1arg´ 1argz#arg a⇒rg ar1g 1ar%gz01ar%gza1rg%z · arg ( 1 ! ar     ( !    ( !( !( !( ! à 2pprès.  z   z   z   z  arg ( zz' ! 1argz#argz'

 z   1   1  · arg1arg´ 1  argz ( # ! arg1  argz ( %a ! rgz' ( ! à 2pprès..      z'   z'   z'  arg ( zz' ! 1argz#argz'  1  arg1 %argz    z  Patrick CHATE4

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Partie B   Dans le plan complexe muni d’un repère orthonormal direct ( O;u,v ! , on considère les points A et B d’affixes respectives : z A = 1 − i et z B = 2 + 3 + i. p   2 2  p   p   %i 1.Le module et un argument de z A : 11%i12%i12 cos%i#sin% 12e donc : 4 4       2 2  4   4      p z12 4 et arg ( z 4 ! 1 % à à 2pprès. 4 2. 2#3#i1#i1#3#i3#3 ( ! ( ! ( !( ! z2#3#i1#3 3#3 B B a.sous forme algébrique : #1 11 1i . 2 2 z1%i22 2 A A 1# ( %1 ! p p i i   z  p p  11 3#3 3#3 B B 3 3 b. 11#3e : 1#3e11#3 cos#isin11#3#i1 #i1 . ( !( !( !   ( !   z  3 3  2 22 2 A   A c.La forme exponentielle de z B :  p p  p pp pp i% z i ii%i   i 4 4 12 B 3 33  3  1 ( 1#3 ! eÛz1 ( 1#3 ! e´z11 ( #3e ! ´2e12 ( #6e ! 12 ( #6e ! . B A z A p 3.On note B 1 l’image du point B par la rotationrde centre O et d’angle % . 6 a.L’affixe du point B 1 : p p %i i% 6 6 ra pour écriture complexe : '%z1e ( z%z ! Ûz'1e z ; 0 0 p p p p %i i% i%i 6 6 12 12 D’où : B1r ( B ! Ûz1e z1e´2#6e12#6e . 1B B ( !( ! 1  b.Le point B 1 est le symétrique du point B par rapport à l’axe ( O;u ! :  On constate que 1z donc B 1 le symétrique du point B par rapport à l’axeest bien ( O;u ! . B B 1 4.Soit M un point du plan. On note M 1  l’imagedu point M par la rotationret M’ le symétrique du  point M 1 par rapport à l’axe ( O;u ! . On désigne par (E) l’ensemble des points M du plan tels que M’ = M.  On notesla symétrie axiale par rapport à l’axe ( O;u ! . a.Les points O et B appartiennent à l’ensemble (E) : O r ( O ! 1O et O'1s ( O ! 1s ( O ! 1O donc OÎ(E) ; o 1 1 B1r ( B ! et B'1s ( B ! 1B (d’après 3.b.) doncBÎ(E) . o 1 1

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b.Soit M un point distinct du point O. i q Son affixezest égale à r e où r est un réel strictement positif et q un nombre réel.  p  i% q    6  L’affixez’ du point M’ est égale à r e : p %i 6 M1r ( M ! Ûz1e z (cf 3.a.)et M'1s ( M ! Ûz'1z ; 1 11 1 p p p pp   i% q %i i ii   i%i  6  q q 6 6 66 D’où z'1z1e´z1e´z1e´ r e1e´ r e1 r e ; CQFD ! 1 L’ensemble des valeurs du réel q telles que M appartienne à l’ensemble (E) :  p   1 r r i% q    p i q  6  Î Û1 Û1 Û1 ÛÛ q 1.M ( E ! M M'z'z r e r e  p [ p ]  q 1 % q [ 2 p ] 12    r 1 r ' i q i q ' r e1 r 'eÛ   6  q 1 q ' [ 2 p]  c. L’ensemble (E) : Donc MÎ ( E ! si et seulement si : · Siz= 0M1O; p 11 p i%i * 12 12 · Siz¹0 , z1 r eouz1 r eavec r Îℝ  droite (OB) privée de O ; Au final, (E) est donc la droite (OB).

Exercice 4 % Soitfla fonction définie sur [ 0 ;# ¥ [ par f ( x ! 1x#e .   On note (C) la courbe représentative defdans un repère orthonormal (O;i,j) . Partie A 1.Les variations de la fonctionfsur [ 0 ;# ¥ [ : % %x ·fest dérivable sur [ 0 ; [ et f' ( x ! 11# ( %e ! 11%e ; # ¥ %x%x · f' ( x ! 20Û1%e20Û12eÛ %x00Ûx20 ; La fonctionfest donc strictement croissante sur [ 0 ;# ¥ [ . %x X 2.La limite defen #¥ : limx1 #¥ et lime1lime10 d’où, par somme, limf ( x ! 1 #¥ . x|#¥x|#¥ |X% ¥x|#¥ 3.(C) admet une asymptote oblique : Soit (D) :y=x; %x · limf ( x ! %x1lime10 donc (D) est asymptote oblique à (C); x#|#¥ |x¥

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